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高中数学 第七章 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第2讲

二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

?x≥0, 1 .(2012· 合肥二模 )不等式组 ?x+3y≥4, ?3x+y≤4
________. 解析

所表示的平面区域的面积等于

画图可知,不等式组所表示的平面区域是一个三角形,且三个顶点的

4? 4? 1 ? 4 ? 坐标分别是?0,3?,(0,4),(1,1),所以三角形的面积 S=2×?4-3?×1=3. ? ? ? ? 4 答案 3

?y≤2, 2.(2012· 广东卷改编)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x-y≤1,
最大值为________.

则 z=3x+y 的

解析 先画出可行域(如图中的阴影部分)及直线 l0:3x+y=0,则将直线 l0 平 移到(3,2)处时,z 取得最大值,于是得到 zmax=3×3+2=11.

答案 11

?x+y≤6, 3.(2011· 全国卷改编)若变量 x、y 满足约束条件?x-3y≤-2, ?x≥1,
的最小值为________.

则 z=2x+3y

解析 作出可行域(如图),当目标函数过点 A(1,1)时取 最小值,故 zmin=2×1+3×1=5, 答案 5 4.(2011· 福建改编)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域

?x+y≥2, ?x≤1, ?y≤2

→ OM → 上的一个动点,则OA· 的取值范围是________.

→ OM → 解析 OA· =(-1,1)· y)=y-x,画出线性约 (x,

?x+y≥2, 束条件 ?x≤1, ?y≤2

表示的平面区域,如图所

示. 可以看出当 z=y-x 过点 D(1,1)时有最小值 0, → 过点 C(0,2)时有最大值 2, → · 的取值范围是 则OA OM [0,2]. 答案 [0,2]

?x-3y+5≥0, 5.(2012· 扬州调研)已知实数 x,y 满足? x>0, ?y>0,
2x-y≤0, 值为________. 解析 可行域如图所示,当直线 2x+y=t 经过点 ?1? B(1,2)时,tmax=4,又 z=?2?2x+y, ? ?

?1? ?1? ? 则 z=?4?x·2?y 的最小 ? ? ? ?

1 ?1? 所以 zmin=?2?4=16. ? ? 1 答案 16

?y≤x+1, 6.(2012· 盐城调研)设 x,y 满足约束条件?y≥2x-1, ?x≥0,y≥0,
解析 可行域如图所示,当直线 abx+y=z(a>0,b

若目标函数 z=abx+

y(a>0,b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为________.

>0)过点 B(2,3)时,z 取最大值 2ab+3,于是有 2ab +3=35,ab=16,所以 a+b≥2 ab=2 16=8,当 且仅当 a=b=4 时等号成立,所以(a+b)min=8. 答案 8 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.2010 年中国汽车产销双双超过 1 800 万辆,再创历史新高,稳居全球产销第 一.已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件,已知生产 每万件甲种配件要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每万件乙种配件要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每件甲配件可获得利润 5 元,每件乙配件可获 得利润 3 元.已知该企业在一年内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,求该企业在一年内可获得的最大利润. 解 设生产甲种配件 x 万件,生产乙种配件 y 万件,则有关系: A 原料 甲种配件 x 万件 乙种配件 y 万件 3x y B 原料 2x 3y

?y>0, 有? 3x+y≤13, ?2x+3y≤18,
x>0,

目标函数 z=5x+3y.

如图所示,作出可行域,求出可行域边界上各端点 ?13 ? 的坐标,A? 3 ,0?,B(0,6),C(3,4).由图形可知, ? ?

目标函数在点 C(3,4)处取得最大值,最大值为 z=5×3+3×4=27 万元. 答:该企业在一年内可获得的最大利润是 27 万元.

?7x-5y-23≤0, 8.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0.
求: (1) y+7 的取值范围; x+4

且 M(2,1),P(x,y),

(2)x2+y2 的最大值和最小值; → OP (3)OM· →的最大值; → (4)|OP|cos∠MOP 的最小值. 解 画出不等式组表示的平面区域如图

所示. 其中 A(4,1), B(-1, -6), C(-3,2). (1) y+7 表示区域内点 P(x,y)与点 D(-4, x+4

-7)连线的斜率, 所以 kDB≤ y+7 1 y+7 ≤kCD,即3≤ ≤9. x+4 x+4

(2)x2+y2 表示区域内点 P(x, y)到原点距离的平方, 所以(x2+y2)max=(-1)2+(- 6)2=37,(x2+y2)min=0. → OP → (3)设OM· =(2,1)· y)=2x+y=z, (x, 则当直线 2x+y=z 经过点 A(4,1)时,max z =2×4+1=9. → |OP → → OP → → |cos∠MOP=|OM|· |cos∠MOP=OM· =2x+y=z,则当直线 2x (4)设|OP → 5 5 |OM| +y= 5z 经过点 B(-1,-6)时,zmin= 1 8 5 [2×(-1)-6]=- 5 . 5

分层训练 B 级
1.(2012· 郑州一检)若实数 x,y

创新能力提升
则 z=3x+2y 的最小值是

?x-y+1≥0, 满足?x+y≥0, ?x≤0,

________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组

表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及 直线 x+2y=0, 平移直线 x+2y=0, 当平移 到经过该平面区域内的点(0,0)时,相应直线 在 x 轴上的截距最小,此时 x+2y 取得最小 值,3x+2y 取得最小值,则 z=3x+2y 的最小值 是 30+2×0=1. 答案 1

?x≤0, 2.(2013· 日照调研)若 A 为不等式组?y≥0, ?y-x≤2
解析

表示的平面区域,则当 a 从-2

连续变化到 1 时, 动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________. 1 平面区域 A 如图所示,所求面积为 S= 2

1 2 2 1 7 ×2×2-2× 2 × 2 =2-4=4. 7 答案 4

? ??3x-4y+3≥0, ? ? 3.(2013· 南京模拟)已知集合 P=??x,y? ?4x+3y-6≤0, ??y≥0,x≥0 ? ? ?
要条件,则当 r 最大时,ab 的值是________. 解析 集合 P 所在区间如图阴影部分所示,由题 意,Q?P,且 AB⊥BC,所以当 r 最大时,圆(x-

? ? ? ? ?



Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2,r>0}.若“点 M∈P”是“点 M∈Q”的必

a)2+(y-b)2=r2 是四边形 OABC 的内切圆,从而 a=b=r,于是由 |4a+3a-6| 1 1 =a 且 =a,解得 a=b=2,所以 ab=4. 5 1 答案 4

|3a-4a+3| 5

4.(2012· 江苏卷)已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c, b 则a的取值范围是________.

解析

? ?a b 由条件可得?c +c≤4, ?b≥ea, ?c c

a b 3·+c≥5, c a b 令 c=x,c =y,

?3x+y≥5, 则问题转化为约束条件为 ?x+y≤4, ?y=ex

求目标函数

b y z= = 的取值范围.作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),过 a x 原点作 y=ex 的切线,切线方程为 y=ex,切点 P(1,e)在区域内.故当直线 y b ?1 7? =zx 过点 P(1,e)时,zmin=e;当直线 y=zx 过点 C?2,2?时,zmax=7,故a∈ ? ? [e,7]. 答案 [e,7] 5. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的 碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿 童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质 和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元, 那么要满足上述的营 养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的

?12x+8y≥64 费用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足? 6x+6y≥42, ?6x+10y≥54.
x≥0,y≥0,



?3x+2y≥16, ?x+y≥7, ?3x+5y≥27.
x≥0,y≥0,

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由

此可知 z=2.5x+4y 在(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订 4 个单位 的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

?x≥0, 6.若 a≥0,b≥0,且当?y≥0, ?x+y≤1 ?x≥0, 作出线性约束条件 ?y≥0, ?x+y≤1

时,恒有 ax+by≤1,求以 a,b 为坐标的

点 P(a,b)所形成的平面区域的面积.



对应的可行域如图(1)所

示,在此条件下,要使 ax+by≤1 恒成立,只要 ax+by 的最 大值不超过 1 即可. a z 令 z=ax+by,则 y=-bx+b. a a 因为 a≥0,b≥0,则-1<-b≤0 时,b≤1,或-b≤-1 时,a≤1. 此时对应的可行域如图(2), 所以以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成的面积为 1. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.



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