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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.5(一) 课时作业


§1.5

函数 y=Asin(ω x+φ)的图象(一)

课时目标 1.了解 φ、ω、A 对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的影响.2.掌握 y=sin x 与 f(x)= Asin(ωx+φ)图象间的变换关系.

用“图象变换法”作 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响 y=sin(x+φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线 y=sin x 上所有的点______(当 φ>0 时)或 ________(当 φ<0 时)平行移动________个单位长度而得到. 2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标________(当 ω>1 时)或________(当 0<ω<1 时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到. 3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标________(当 A>1 时)或________(当 0<A<1 时)到原来的________(横坐标不变)而得到,函数 y=Asin x 的值 域为________,最大值为________,最小值为________. 4.函数 y=sin x 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.

y=sin x 的图象

__________的图象

______________的图象

______________的图象.

一、选择题 π x- ?的图象,只要将 y=sin x 的图象( 1.要得到 y=sin? ? 3? π A.向左平移 个单位长度 3 π B.向右平移 个单位长度 3 π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向右平移 个单位长度 6 π 2.为得到函数 y=cos(x+ )的图象,只需将函数 y=sin x 的图象( 3 π A.向左平移 个单位长度 6 π B.向右平移 个单位长度 6 ) )

5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6 π π 2x- ?的图象向右平移 个单位,所得图象对应的函数是( 3.把函数 y=sin? ) 4? ? 8 A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数 π 4.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4 是( ) A.y=cos 2x B.y=1+cos 2x π C.y=1+sin(2x+ ) D.y=cos 2x-1 4 π? π? ? 5.为了得到函数 y=sin? ) ?2x-3?的图象,只需把函数 y=sin?2x+6?的图象( π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2 π 6.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把所得图象上所有 3 1 点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) 2 π? A.y=sin? ?2x-3?,x∈R x π? B.y=sin? ?2+6?,x∈R π 2x+ ?,x∈R C.y=sin? 3? ? 2π? D.y=sin? ?2x+ 3 ?,x∈R 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.函数 y=sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,所得图象的函数解析 式为 f(x)=____________. π π 2x+ ?的图象向左平移 个单位,所得函数的解析式为____________. 8.将函数 y=sin? 6 ? ? 6 9.为得到函数 y=cos x 的图象,可以把 y=sin x 的图象向右平移 φ 个单位得到,那么 φ 的最 小正值是________. 10.某同学给出了以下论断: π ①将 y=cos x 的图象向右平移 个单位,得到 y=sin x 的图象; 2 ②将 y=sin x 的图象向右平移 2 个单位,可得到 y=sin(x+2)的图象; ③将 y=sin(-x)的图象向左平移 2 个单位,得到 y=sin(-x-2)的图象;

π? π ④函数 y=sin? ?2x+3?的图象是由 y=sin 2x 的图象向左平移3个单位而得到的. 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上). 三、解答题 π? 11.怎样由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=sin? ?2x-3?的图象,试叙述这一过程.

π ? 12.已知函数 f(x)=sin? ?3-2x? (x∈R). (1)求 f(x)的单调减区间; (2)经过怎样的图象变换使 f(x)的图象关于 y 轴对称?(仅叙述一种方案即可).

能力提升 π? 13.要得到 y=cos? ?2x-4?的图象,只要将 y=sin 2x 的图象( π A.向左平移 个单位 8 π B.向右平移 个单位 8 π C.向左平移 个单位 4 π D.向右平移 个单位 4 1 14.使函数 y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的 倍,然后再将其图 2 π 象沿 x 轴向左平移 个单位得到的曲线与 y=sin 2x 的图象相同,则 f(x)的表达式为( ) 6 π? π? A.y=sin? B.y=sin? ?4x-3? ?x-6? π ?x-π? 4x+ ? C.y=sin? D . y = sin 3? ? ? 3? )

1.由 y=sin x 的图象,通过变换可得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,其变化途径有两条: (1)y=sin x ― ― → y=sin(x+φ) ― ― →
振幅变换 相位变换 周期变换

y=sin(ωx+φ) ― ― → y=Asin(ωx+φ).

(2)y=sin x ― ― → y=sin ωx ― ― → φ 振幅变换 y=sin[ω(x+ )]=sin(ωx+φ) ― ― → ω y=Asin(ωx+φ). 注意:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换, |φ| 平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移 个单位,这是很易出错的地方,应特别 ω 注意. 2.类似地 y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象也可由 y=cos x 的图象变换得到.

周期变换

相位变换

§1.5

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(一) 答案

知识梳理 1 不变 ω 3.伸长 缩短 A 倍 [-A,A] A -A 4.y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ) 作业设计 1.B 2.C 3.D π π π 4.B [将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin2(x+ ),即 y=sin(2x+ ) 4 4 2 =cos 2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x.] 1.向左 向右 |φ| 2.缩短 伸长
向右平移 个长度单位 π π π π 4 ? y=sin[2(x-4)+6]=sin(2x-3).] 5.B [y=sin(2x+ ) ??????? 6 π? π 6.C [把函数 y=sin x 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度后得到函数 y=sin? ?x+3? 3 π 1 2x+ ?的图象. 的图象, 再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍, 得到函数 y=sin? ] 3? ? 2 7.sin x 8.y=cos 2x 3 9. π 2 π ? π? ? π? ? 解析 y=sin x=cos? ?2-x?=cos?x-2?向右平移 φ 个单位后得 y=cos?x-φ-2?, π π ∴φ+ =2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ- ,k∈Z. 2 2 3 ∴φ 的最小正值是 π. 2 10.①③ π? 11.解 由 y=sin x 的图象通过变换得到函数 y=sin? ?2x-3?的图象有两种变化途径: 向右平移 纵坐标不变 ?x-π?—— ?2x-π? π 1 ①y=sin x———— y = sin — — — — → y = sin ? 3? 个单位 ? 3? 横坐标缩短为2 ? 3

?

π ②y=sin x横坐标缩短为 — — — — →1y=sin 2x— — — — — — → 个单位 2 6

纵坐标不变

向右平移

π? y=sin? ?2x-3?.

π? π? ? 12.解 (1)由已知函数化为 y=-sin? ?2x-3?.欲求函数的单调递减区间,只需求 y=sin?2x-3?

的单调递增区间. π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 π 5 解得 kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z), 12 12 π 5 ? ∴原函数的单调减区间为? ?kπ-12,kπ+12π? (k∈Z). π π? ?π ?π ?? ? ? ? π? (2)f(x)=sin? ?3-2x?=cos?2-?3-2x??=cos?2x+6?=cos2?x+12?. ∵y=cos 2x 是偶函数,图象关于 y 轴对称, π ∴只需把 y=f(x)的图象向右平移 个单位即可. 12 π π? ? ? π? π?向左平移 ? ? ? ? π?? 13.A [y=sin 2x=cos? ― ― → 个单位 ?2-2x?=cos?2x-2?=cos?2?x-4??=cos?2?x-8?-4? π 8 π π π π y=cos[2(x- + )- ]=cos(2x- ).] 8 8 4 4 14.D [方法一 正向变换 π π 横坐标缩小到 沿x轴向左平 x+ ??,即 y=f?2x+ ?, 1 π— y=f(x)— — — — — — →y=f(2x)— — — — — →y=f? 2? 6 3? 原来的 移 个单位 ? ? ? ? ? 2 6 π? π π ? π? ? π? 所以 f? ?2x+3?=sin 2x.令 2x+3=t,则 2x=t-3,∴f(t)=sin?t-3?,即 f(x)=sin?x-3?. 方法二 逆向变换 π? π?横坐标伸长到原来的2倍 ? ? y=sin2? 据题意,y=sin 2x ?????? ― ― → 纵坐标不变 ?x-6?=sin?2x-3?
向右平移 个单位 6

?

π? y=sin? ?x-3?.]


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