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导数综合复习教案2016


导数教案
一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化率为:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

2. 导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,若 ? x 无限趋近于 0 时,比



?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A,则称函数 f (x) 在 x ? x0 处可导, ? ?x ?x

并称该常数 A 为函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)求平均变 化率:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (3)取极限,当 ? x 无限趋近与 0 时, 无限趋 ?x ?x

近与一个常数 A,则 f ?( x0 ) ? A . 4. 导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。由此, 可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,即为曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 当点 P( x0 , y0 ) 不在 y ? f ( x) 上时,求经过点 P 的 y ? f ( x) 的切线方程,可设切点坐标, 由切点坐标得到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线 y ? f ( x) 在点
( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行与 y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 。

5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v?(t ) 表 示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1) (kx ? b)? ? k (k, b 为常数); (3) ( x)? ? 1 ; (5) ( x3 )? ? 3x2 ; (2) C ? ? 0 (C 为常数); (4) ( x 2 )? ? 2 x ; (6) ( 1 )? ? ? 12 ; x x

(7) ( x )? ? 1 ; 2 x (9) (a x )? ? a x ln a(a ? 0, a ? 1) ;

(8) ( xα )? ? αxα ?1 (α 为常数) ;

(10) (log a x)? ? 1 log a e ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; x x ln a (11) (e x )? ? e x ; (13) (sin x)? ? cos x ; (12) (ln x)? ? 1 ; x (14) (cos x)? ? ? sin x 。

2. 函数的和、差、积、商的导数: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (2) [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) (C 为常数) ; (3) [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? ( g ( x) ? 0) 。 (4) [ g ( x) g 2 ( x) 3. 简单复合函数的导数:
? ? yu ? ? ux ? ,即 y x ? ? yu ? ?a。 若 y ? f (u ), u ? ax ? b ,则 yx

三、导数的应用 1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数; (2)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数; (3)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集 在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围) : 设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b ) 上为增函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (2) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (3) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ?( x) ? 0 恒成立。

[举例 1]已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R ) 若 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 是增函数, 求实数 a 的范 x

围。 解析: f ( x) ? 2 x ?
/

a 3 ≥0 在 ? 2, ?? ? 上恒成立 ? a ? 2 x 在 ? 2, ?? ? 上恒成立 2 x

3 而 2 x 在 ? 2, ?? ? 上的最小值为 16,故 a ? 16 。

[举例 2]已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数 f/(x)在 R 上也可导,且其导函数[f/(x)]/<0,

则 y=f(x)的图象可能是下图中的 A.①② B.①③ C.②③ y y

( C D.③④ y y



x O ①

x O ② O ③

x O ④

x

解析:由[f/(x)]/<0 知 f/(x)在 R 上递减,即函数 y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递 减,不难看出图象②③满足这一要求。 [举例 3] f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、b, 若 a<b,则必有 ( ) (07 陕西理 11) A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a) / / 解析:xf (x)+f(x)≤0 ? [xf(x)] ≤0 ? 函数 F(x)= xf(x) 在(0,+∞)上为常函数或递减, 又 0<a<b 且 f(x)非负,于是有:af(a)≥bf(b)≥0 ①②两式相乘得: ①

1 1 ? 2 ?0 2 a b



f (a ) f (b) ? ? 0 ? af(b) ≤bf(a),故选 A。 a b


注:本题的难点在对不等式②的设计,需要经验更需要灵感。 [巩固 1]函数 f ( x) ? x ln x ? ax, ( x ? 0) 在 [e,?? )上递增, a 的取值范围是

[巩固 2 设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是( y ) y (07 浙江理 8) y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D. ( )

x

[巩固 3]函数 f(x)、g(x)在 R 上可导,且 f/(x)>g/(x),若 a>b,则 A.f(a)>g(b) B .g(a)<f(b)

C.f(a) -f(b) <g(a)- g(b) 2. 求函数的极值:

D .f(a) -f(b) >g(a)- g(b)

设函数 y ? f ( x) 在 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或
f ( x) ? f ( x0 ) ) ,则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值(或极大值) 。

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是: (1)确定函数 f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x) ; (3)求方程 f ?( x) ? 0 的全部实根,
x1 ? x2 ? ? ? xn ,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 值的

变化情况: x
f ?( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )

?

xn

( xn , ??)

正负 单调性

0

正负 单调性

0

正负 单调性

f ( x)

(4)检查 f ?( x) 的符号并由表格判断极值。 [举例 1] 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取 3

得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 . (1)证明 a ? 0 ; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 解析:函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? 2 ? b . (Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?( x) ? 0 的两个根.所以 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ;当 x ? x1 时, f ( x ) 为增函数, f ?( x) ? 0 ,由

x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .
? f ?(0) ? 0 ? (Ⅱ)在题设下, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 等价于 ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ?2 ? b ? 0 ? 即 ? a ? 2b ? 2 ? b ? 0 . ? 4a ? 4b ? 2 ? b ? 0 ?

?2 ? b ? 0 ? 化简得 ? a ? 3b ? 2 ? 0 .此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ?
2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0, 4a ? 5b ? 2 ? 0 所围成的 △ ABC 的内部,由“线性规划”的知识
容易求得: z 的取值范围为 ?

? 16 ? , 8? . ? 7 ?

3 2 2 [举例 2] 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 f (2) ?

解析: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 ,∴ f / (1) = 2a ? b ? 3 ? 0



?a ? 4 ?a ? ?3 或? f (1) ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ② 由①②得: ? ?b ? ?11 ?b ? 3
当?

?a ? ?3 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0 ,此时函数 f ( x) 无极值,舍去; ?b ? 3 ?a ? 4 时 f / ( x) ? 3x 2 ? 8x ? 11,函数 f ( x) 在 x ? 1 处左减右增,有极小值; ?b ? ?11

当?

此时∴ f (2) ? 18 。注:在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时,为避免“增根” , 需将求出的参变量的值代入 f / ( x) 检验其是否为完全平方式,若是则函数无极值(单调) , 否则有极值; 也可以对 f / ( x) 再次求导, 看f 为负则有极大值。
//

( x0 ) 的值,为 0 则无极值,为正则有极小值,

[巩固 1]已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函 数,又 f ?( ) ?

1 2

3 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立, 2

求 m 的取值范围.

2 [巩固 2]设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ,其中 ab ? 0 .证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极

值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点,并求出极值. (07 高考山东文 21)

3. 求函数的最大值与最小值: 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 , 使得对任意的 x ? I , 总有 f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f ( x0 ) 为函数在定义域上的最大值。 函数在定义域内的极值不一定唯一, 但在定义域内的最值是唯 一的。 求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤: (1)求 f ( x) 在区间 (a, b) 上的极值; (2)将第一步中求得的极值与 f (a), f (b) 比较,得到 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值与最 小值。

[举例 1] 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b ,由 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .解得 a ? ?3 , b ? 4 .

3] (Ⅱ) f ( x) ? c2 在[0,3]上恒成立即 c 2 ? f max ( x) , x ? [0,
由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .

1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (0,
即 f ( x ) 在 [ 0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值

f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (3) ? 9 ? 8c .故当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .
于是有: 9 ? 8c ? c ,解得
2

c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) 。

[ 举例 2] 已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 2

a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.用 a 表示 b ,
并求 b 的最大值; 解析:设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . x ? 2 a ? 2 0 3 a x 0 ? x0 ? 2a ? , ? x0 ?
即有 b ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2
. 于是当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 , 即0 ? t ? e
1 3

5 2 2 t ? 2( t 1 3 n l? ) t 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) , 则 h?() 2
1

时, h?(t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .故 h(t ) 在 ? 0,e 3 ? 为增函数,

? ?

1

? ?

? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? 在 ? e 3, ? ∞? 为减函数,∴ h(t ) 在 (0,

? ?

1

? ?

? ?

1

? ?

2 3 3 e . 2

[巩固 1] 设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x2 ,求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

[巩固 2] 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b ,其图象为曲线 C (1) 直线 l:y=x+1 与曲线 C 相切于 x 轴上一点,求的 a、b 的值 (2)是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1、2]上取得最大值为 3,最小值为-29。若存在,求 出 a、b 的值,并指出函数 y=f(x)的单调递增区间;若不存在,请说明理由。

答案
3 2 ?0 ? m ≤ 1、 [巩固 1] a ? ?2 , [巩固 2]D, [巩固 3]D, 2、 [巩固 1] ? f ( x) ? ?2 x ? 3x .

1 . 2

[巩固 2]; 3、 [巩固 1] f ?

1 7 7 ?1? 1 a= ,b= (2)a=2, b=3 f(x)在(-1,0) ? ? ? ln [巩固 2] (1) 15 15 2 ? 4 ? 16

上单调递增;a=-2,b=-29 f(x)在(0、2)上单调递增。4、[巩固 1] D,[巩固 2] C


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