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韦达定理在解析几何解题中的应用


1 9 8 4

年 第 二 期

于是

a

,




c o s

月一
2




_



_ 一

,

自 “ ,



2 尽一 一
,

Za

=

0,

史 类 ) 试 题 五 面 积 最 值答案 ( 四 ) 当 扇 形 中 心 角月任 ( o


“,

90 〕 时


,

牟 4

月、 时
R

,

两 类 内接 拒 形 面 积 最 大 值 的 比 较
_



设 第 一 类 内接 矩 形 面 积 的 最大值 为 8
_

:

,

_



又 1

一 U 心万 二 j
~






第 二 类内 接 矩 形 面 积 的 最 大 值 为 S

=
j为
2 _

:

,



:


_

8





=

一。

… 一一 赢覃

,

U




1

一.



西

1

=

R
Z



,


g

七g

下二,






:



R

:

tg



。,

.

下 面我 们 取尽的 特殊 角
及 8 的最 大值


计 算1 的 最 小 值
.

工 .

一 毛

8 尸 一 4
. 、

: t


,


p

叭 牛 一 g

=


4
_

,

日任 ( o

90

( 1 ) 月二 6 0 时 1 , 卜 汽 二 丫 万 R 了厄二 又 ) R 夕 百 二 (了 百 1
,


,
.


o

_

S

‘ :

从 =

R



七 1 5 9






(2
=



了 百) R

“。

.

U

‘、 、

‘g



/

1

, 丁 、、 任


1 ,

即得
_
_


。< 1



tg



/ 月 、、

,
,



l

( 2 ) 月= 9 0 时
}、

,

l




=

R 侧 3
R
2


0


30

5
‘ =

、 匕 匕 亚二 亘
2

R
Z

,



从 烤


2 一 而 声

‘g


丁 任
2



。,

_

1



9 七

4 母 一

户夕

乙 ‘g


s丁 e
~

,



S

L

七 舰 =

tg 2


(、/





1 )R



,

(即 半 圆面 )


5


1

R 侧 了灭花 下花

. R

g “ ‘
:
.

显然

,

此 时 内 接矩 形 缩


成 一 条线 段
8
?

_

_

: 大 、 =

R
.

Z

t

4 g

5



=

R

2

(矩 形 的
Z R

卜一一泌黔一一 州

/

/

/ 子\
L

粤 鲁警 5 鲁
=
=
2 ,

.

g ‘

>

?

2‘ g



} }
_

\ 、


即S : > S : , 由 此可 知


第 一 类 内接 矩 形 面 积 的最 大 值 大 于 第二 类内接 矩 形 面 积 的 最 大 值 (此 时 9 0 〕 ) 这 个结 论 十 分 有趣 也 有 日〔 ( o
,
,

长 和宽 分 别 为 了




一 点实 用价 值



R 丝 2

) 此时 即 为 一 九八 三 年 高 考数 学 (文

(作 者 单 位

:

江 苏省 吴 县 望 亭 中 学 )

韦 达 定 理 在解 析 几 何解 题 中 的应 用

韦达 定 理 是代 数 中 的 一个 重 要 定 理





国 例 1 在 以原 点 O 为 中 心 的 椭 圆 上任 取 两
_

.

,

在解 析 几何 中也 有 广 泛 的 应 用 在 解 析 几 何 复 习 中 对 学 生 加 强 用 韦 达 定理解 题 的 指 导 是

点P



, Q

设匕


_

很必要 的



为 此 目的

,

笔 者试 图 通 过 几 例 来
,

o P

_

Q

_












试证

一:




1

.

厄‘

1


?

说明 用 韦 达 定理 解 题 的一 般 特征 和规 律



为 一 定值 证 设 椭 圆方 程为 乙X O P
=

供参 考

1
.





韦 达 定 理 和直线 的 参 数方 程 合 用

纂蓄



1

,

求 线 段乘 积



,

则 O P 和 O Q 所在 直 线 的参

?

16









数方 程 分别 为
x
=




x



y

二 毛5 l f l 以

)9夕



?

七么

+

2

二 粤旦函 t 华擎弊竺 具 擎
D


C OS
Z



众 一 a



S ln
Z





c 七

。。

。 、

(

2

y

=

,

。i n

(言 ) (普 )

+

+

,

b h b Ze o


一 a “

k

“ 2

一 a

b
“ a





s

“a

一 a

8

n 主

0

.

?



?

?

将 ? 代人 ?



,


2

+

2( b

he

o sa 一 a
Z



k

s

i

n a

)

把 ? 和 ? 分 别 代 人?

b

2

e o s

a 一 a “s

in
.

“a




,

,

(b

e o s

Z

夕+
0,

a



s

in



8)

Z Z “ b “h 一 a 下 k一 = 厂 下 中 i , 万一 甲一 刁 一 一 一 甲 二 “ 一 “ 一‘ “ D C 0 8 众 一 a S ln

0

.

?

t t

Z

一 a “

b
in

“ =


?
2

(b
.



5


0

+ a

e o 8

2

0 )

七 和七

3

Z

一 a

? , : ? 式 中 t 的 两根 为 t 和 t 则
,

b
,



=

0

.

若? 式 t 的 两 根 为 t 和 t ‘ 则 1 : = }七 一 t } }PR I

,

Z

? 式两 根 为

,

I t

l



l七
4

:

}

.



}t , It }t

,

:

一 一 一

t‘ ! = 3 七 1= t‘ }
,

}SQ } 1S Q I

.

,

:

=

? 式中 t 的 两 根 为 七 和 七

3

‘,


, ,

PR 】 】
.

1 由 t 的 几 何 意 义 和 韦 达 定 理 从 ? 式得 Z : OP = }t; } 〔 }
l七 1
. ?


[

t

3

=

由韦 达 定 理
+

从 ? 式 和? 式得
“ “



:

=



2 (b

he


o sa 一 a
“a

Z

k s in
in
Z

a

)

b
=

e o s

一 a

28

a

=

: l七 七 !
?

;

a



b

Z


t


3

+

t



b

Z

e o 3



8

+ a

s

in



8

?

所以

,



,




:

=

t‘



t

。 :

从? 式 得
=

,

OQ
4

“ =

I七
b
2

3

lL


3

?

t

a
s

r t I .


!t



t 3 】=

b

“ “

in



8

+ a

e o 总2 8

= 故 }P R I 即 夹 于 曲 线 和 渐近 线 间 的 线 段 相 等
,

{t S 1 Q }
y



七 !


.



所以
a


1 二 石, 二 二 蕊

.

U 尸





1 之二一二犷

3

.

求曲 线 f ( x
.

,

)



0

的切 线 方程




U Q

例3
0)
a
+


(e
+


o 8

2

0

+ 8

in

2

b ( s in
Z



8

+ e o g

2

0)

(



6

,

3
2

b



a



b
Z




a

b
.

( 定 值)

物 线 2y 方程




求经 过 A ) 且切抛 g x 的直 线


线 方程 为

设 所求 的 切

x =


2

求 直 线 在 曲 线 中的 截 线 长 , 2 直 线截 一 双 曲 线 及 它的渐 近 线 例

3

证 明夹于渐 近 线 与 曲 线 间 的 线 段 相 等

b



x


6 + 〔

c o sa

,



设 双 曲线为
一 a


y

=

5 in 3+ 七



.

?
,

y

“ Z

=

a


Z

b

“ “

,

则它 的渐 近 线 是 b 又设直 线 为
(h


x

一 a

y





0

.

? ?
?

把 ? 式 代人 抛 物 线方 程
2七 s i n
2 “a

消去x



y
=


0


+

( ] Zs i n

以 一

g

e o s “)

七+ 7 2

{



X 二

y
a



卜{
+

C 。 “以 ,


K

+

七5 l f l a

k





由切 线 定 义 和 L的 几 何 意 义 知 的t 有等 根 所 以 有
,

,

? ? 式中
Za

都是 变数 ) 直 线? 交 双 曲浅 ? 于P Q 两 点 S 交渐 近 线 ? 于 R


( 12 s i n
?

a 一


g

e o sa

)

“ 一

4 ( Zs i n
.

)

72

=

0

,

解 ? 式得
CO S戊 二



两点

.

将 ? 代入 ? 得

}纽



{

:

,

。。 =

一 3 石 一

4 5 一
.

,

?

1

9

8

4

年 第 二 期
4

C O 居侧 =

(X
17

Z ,

y


:

)
Z



{


1

?
17
,

根 得

,

y

和y
,

: : 则 x 和 x 是方 程 ( 3 ) 的 两 是 方程 ? 的两 根 设 A B 中 点坐
,


5 In 以 二

标为 ( x
,

y

)

,

则 由 中 点公 式 和 韦 达 定 理
,



把 ? 和? 代 人? 式
x =


得 所求 切 线 的参 数


入 二

1

_

_


1

、入



十 入





=

k k
1

+

l

。一
3 ‘

2
+

方程 为

{


y

=

告 ‘ 蚤
;

_

y
。一


=

百(y
=

:

+

y

Z

1

)



,

性 汀l 认 y

k
x


不丁

k


+



~

X
. ,子 、 、





6

+



了 17
1

生t
L
.


=

2 1)
:
,

l)

( Zx
2


3x 4
.

3

即 A B 中 点 轨 迹 为抛 物线
y
.



化 成 一般 式 为
+


训 17
=

=

2x

一 x

.

4y + 6

0和x



4y + 18



0

.

例 6 证 明 双 曲 线 中 一 组 平 行弦 的 中 点在 一 条直 线 上


求 圆的切 线 长 4 例 求 圆外 一 点 P ( x
.


l ,

设 双 曲 线的方 程为
b


y

:

) 到圆 ( x

一 a

)



x

Z

一 a



y

Z

=

a
=



b
h



.

?
te o sa
5 in 七
a
,

+

(y



) b

“ =

r



的切 线长
,
,



: 平行 弓 一至 、的方 程 为


解 数方程 为

设经 过P ( x
x
= =

y

) 点 的直 线 的 参

{
)

x

+

y

=

(。为
.

k
Z

+

x

,

+
:

七 t

e o s

o

,

y

y

+

s

in
o

s

.

?
,

定 值) 工 又 设P (x
=

: ,

y

:

,

P

(x

Z ,

洛2

:

) 是h
,

把 (

+
2

1 )
2〔 (x

代 人 圆 的 方程 并整 理 得
:

时某 一 弦 与 双 曲 线 的 两 交 点 工 Z 即 弦 的 两 个端 点 则 P P 所 在 直 线 的 方 程


h
:

: ,

k



k

;

+

一 a
,

)e


o s

+
一 r

(y
Z =

;



七 b ) s in o〕



(x

,

一 a

)

2

+

(y

b)
,



若 所 求切 线 长 为 l 意义


? 则 由? 式 中 七 的几 何
,

0

.

{


“ 二

韦 达定 理 和 切 割 线 定 理可 知
2

y



) {




C O ““ ”

?
z


K

z

+ 屯5 I n a
,

1

=

(x

:

一 a

)

2

+


(y )

;


一 +

b)
(y


l

一 r 一

2

.

把 ? 式代 人? 式


整理 得
,

,

所以 l = 侧 (x

y
Z

.

一 a

b)

一 r

“.

:

2

.





2 ( b “h 一 一, 了 一
D

e o s “


,

一 a




韦 达 定 理 和 中点 公 式 合 用
.

一 C O 尽 戊

一 一
:

万 下 , 了 一 一 a 一 8 lf 戊l 一 a


k

;
.

s

in

a

,

)


i



=

例 5 通 过 原 点任 作 直 线 与 抛 物 线 x Z 一 x + 3 相 交于 A B 两 点 求 A B
、 。 。



b “h
f
石 一

;

2
一甲

一 a







k


,





D

C O S

以 ! 一 a


,
,

万 ,




b



_






U

8 1 11
,



以1



中 点 之轨 迹 解 设 过 原 点 的直 线 方程 为
y
=

: 若 ? 式 中 t 的两 根 为 t 和 t


=
=
/

x
x

‘ :

= =

h

,

+
,

t

,

e o sa o s“

y y
,

: :

k

,

+ +
,

t

, Z

s s

jn in

“, 以,

,

kx
x


.

( k 为 参数 )

h

+

t2 e

, ,

k
)

,



.

则A



B 两点 坐 标 是 方 程 组
( y


; : ‘ 若P P 的 中 点 为 P ( x ,

y

则 由中 点

= =

k
x

,

?
x 十 3

公 式得


y




=

的解



由? 和 ? 消去 y 得
x


X



一 一

一 i 2

X ‘

l

+ x

Z

,




h
,

l

+



(k (k

+

1) x + 3

0

.
_ _


.

“!
, 1

+

‘,



2

C O S “1

,

,

_

由? 和 ? 消去 得
y


x

J

=

1

,

_

_

_ _

_

育 乙



J

l





Z

j =

1

_

,

_




z



二 气L z

+

L 么 ) 名 1 11 “ l





+

1)

k

手 + 3k
?

=

0

.

?
, ,

?

若A



B 两 点 的 坐 标 分 别为 ( x

y

;

)

由韦 达 定 理 从 ? 式得

?

18
.
.

?


2 (a
~







、. . . . .

卜1 十 毛 2 =

把 ? 式代 人 ? 得
x
,

=
=

h

y

/

k




k


,

5





而-

in



一 一 一飞

一 b
, 一


D

C 0 8




a z

一 一 歹下
a


,

+

a



k

1

s

in

a ,



b

Z Z

1 8 一 玩
.

b



e o s

Z“1

一 a

s

l

弓:豁
工 z

会 只 介 攀 默黯
工,

从 ? 式 消去 h 和 k
b
e o s
=
“,
?



.

,




Z

h

,

e o sa



:

)、
-

8 1

l f

a


z

、 g 夕

又 以 r 为 半 径的 一 组 圆 的方 程 是 “ “ ( x 一 。) + ( y 一 月 ) “= r
,

此处

a

,

月为 参 数
一 2“ x


C O Sa l
Za z

自 ? 和 ? 分别消 去 y


in

COS

“1

x

+

k

5 ll a

z

和y

‘ 一

一一



?

x






+

(

““ +





一 r

)x





2月 k x

=

0

,

?

Zp y
=
,



+

(a

Z

+





一 r



) y )






Za

k

y

+

?
,

k



0
,

.

?
y y
,

以 (x
,

)
4 工, 3 ,

,

(x
x
:
,

: ,

y

:

,


(x

。 ,


x

,

一 a Z s

in

a

:

?

y

,

=

o

y



)

(x
y

4 ,

) 分 别 表 示P
x
3 ,

Q



R

S

即 因x
,


y

,

x 互 甲些 护
a


四点的坐 标

,



x

x

将 是? 的

8 If l 优

z

?
, ,

根;

y

,

,

Z ,

y

y
,

4

将 是? 的根
4



和 y 产 都是 变数 又 恒 有 ? 式 成 立
“’

由 韦达 定理 得












~

、 斗 且 郁 足 正 1


口。
,

卜目

b

瓦蕊 I而 丁

c o s“ 厄


:

(x
=

,

+ x

Z

,

卜x




+ x
Z



)

2 一

2




x
,

,

x

:



‘ l J

足 即

( Za ) 2
x
=
l “

2(a
。“

+



2

一 r + x

)

定值

,

所 以 这 组 平 行 弦 的 中 点 轨迹 是
y
=
,

+ x
a


+ x
2

3 “ “

‘2

显然



m X 这 是 过 原 点 的一 条 直 线


2(
l ’





+ r

)
+

.

,

所 以这

同理
=

y

+

y

Z “

+

y


3 2

y

4 2

组 平 行 弦 的 中 点 都 在 一 条直 线 上



2(日
,



一 a




+ r
, “

)

.



7

.

韦 达 定 理 和两 点 间 的 距 离 公 式 合 用 以 定 点 C 为 中心 的 一 组 位 似 直 角
、 、 、 。

所以

x
+

,

+
5 2

y

+ x
4 2

Z “

+
‘2

y
=

Z “

+ x
2
.

。 “

y

+ x

+

y

4r

双 曲线 中 的 一 个 与 有 定半 径 r 的一 组 圆 中 的 一 个交 于 P Q R S 四 点 试 证:
P C“
+

由两 点 间距离公 式
PC R C
“ =


,


2 , “ QC

x x

工“

+

y

,

=

x

:



+

y

: “
.

QC



+

R C



+

S C 为 定值
,





=

3 “ “

+

y

。“,

SC

Z =

x

4 “


+

y 4r

‘ 2 2

以 定 点 C 为原 点 直角 双 曲 线 的 两 , 条渐 近 线 为 坐 标轴 则 这 组 位 似 直 角双 曲 线 证

所以

,

P C

+

么 QC R C + S C


=



常数



方 程可 写 作
x y 二

k

,

?

( 作 者 单位

:

辽 宁省 昌 图 县 教 师 进 修 学校 )

此 处 k 是 参数

.

怎 样 求 无 理 不 等 式 的 解




无 理 不 等 式类 型 繁 多 出错
,

等式

供 参考 ( 一 ) 应 用 算 术 根 概念 求 解 算 术 根 是 非 负实 数 由 此 可 以直 接 确 定
,


,

难 度较 大 归 纳若 干 解 法



求 解 时 容 易疏 漏 木 文 就 比 较 简单的 无 理不
, ,


例1

.

解不 等式
1


训l




4x



(

3


( 1 )



未 知 数 x 的允 许 值 集 为

一 类特 殊 无 理 不等 式的解



‘“


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