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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第6章 第3节 等比数列


第六章

第三节

一、选择题 1.(2014· 山西大学附中月考)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 a3 等于( A.15 C .9 [答案] B [解析] 设公比为 q(q>0), 则 3+3q+3q2=21, ∴q2+q-6=0, ∴q=2, ∴a3=a1q2=3×4 =12. 2. (文

)(2014· 宁夏银川市一中二模)已知等比数列{an}的公比大于 1, a3a7=72, a2+a8=27, 则 a12=( A.96 C.72 [答案] A [解析] a2a8=a3a7=72,a2+a8=27,∵q>1,
?a2=3 ? ∴? ,∴q2=2,∴a12=a8q4=96. ?a8=24 ?

) B.12 D.6

) B.64 D.48

(理)(2014· 山西重点中学四校联考)等比数列{an}满足 an>0, n∈N+, 且 a3· a2n-3=22n(n≥2), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n2 [答案] A
2 [解析] ∵a3· a2n-3=an =22n,∴an=2n,∴log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=log2(a1a2?a2n- 2n-1 =(2n-1)log2an=n(2n-1). 1)=log2an

) B.(n+1)2 D.(n-1)2

3.(文)(2013· 西安模拟)已知 a,b,m,n,x,y 均为正数,且 a≠b,若 a,m,b,x 成等 差数列,a,n,b,y 成等比数列,则有( A.m>n,x>y C.m<n,x<y [答案] B [解析] 由条件得,2m=a+b,n2=ab,∵a、b、x、y、m、n 都是正数且 a≠b,∴n= ab a+b 11 < =m,排除 C、D;取 a=1,b=4,则 x= ,y=8,排除 A,∴选 B. 2 2 ) B.m>n,x<y D.m<n,x>y

-1-

(理)在由正数组成的等比数列{an}中,设 x=a5+a10,y=a2+a13,则 x 与 y 的大小关系是 ( ) A.x=y C.x≤y [答案] C [解析] x-y=a1q(1-q3)(q8-1). 当 q=1 时,x=y; 当 q>1 时,1-q3<0 而 q8-1>0,x-y<0; 当 0<q<1 时,1-q3>0 而 q8-1<0,x-y<0.故选 C.
2 4.(文)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 Sn=2n-1(n∈N*),则数列{an }的前 n 项的和为

B.x≥y D.不确定

(

) A.4n-1 4 C. (4n-1) 3 [答案] B [解析] n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n 1-1)=2n 1,
- -

1 B. (4n-1) 3 D.(2n-1)2

又 a1=S1=21-1=1 也满足,∴an=2n 1(n∈N*).


n 1 2 设 bn=a2 ) =4n 1, n,则 bn=(2
- -

1×?4n-1? 1 n ∴数列{bn}是首项 b1=1,公比为 4 的等比数列,故{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 3 4-1 -1). (理)(2013· 西安标准化考试)等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则公比 q 为( A.q=-2 C.q=-2 或 q=1 [答案] A [ 解析 ]


) B.q=1 D.q=2 或 q=-1

本题有两种处理策略,一是设出首项 a1 ,建立方程

2a1?1-qn? a1?1-qn 1? = + 1-q 1-q


a1?1-qn 2? 求解,解得 q=-2.此法为通法,但运算复杂;二是特例探路,不妨设 n=1,则 Sn 1-q
+1

,Sn,Sn+2 即是 S2,S1,S3,根据等差数列的性质可知,2S1=S2+S3,即 2a1=a1(1+q)+a1(1

+q+q2),易得 q=-2.故选 A. 5.(文)(2013· 安徽省级示范高中名校联考)三个实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=3, 则 b 的取值范围是( A.[-1,0) ) B.(0,1]

-2-

C.[-1,0)∪(0,3] [答案] D

D.[-3,0)∪(0,1]

1 3 [解析] 设公比为 q,显然 q≠0,a+b+c=b( +1+q)=3?b= . q 1 1+ +q q 1 1 当 q>0 时,q+ ≥2,当且仅当 q=1 时等号成立,∴0<b≤1;当 q<0 时,q+ ≤-2,当 q q 且仅当 q=-1 时等号成立,∴-3≤b<0.故选 D. (理)若数列{an}是正项递减等比数列,Tn 表示其前 n 项的积,且 T8=T12,则当 Tn 取最大 值时,n 的值等于( A.9 C.11 [答案] B [解析] ∵T8=T12,∴a9a10a11a12=1,又 a9a12=a10a11=1,且数列{an}是正项递减数列, 所以 a9>a10>1>a11>a12,因此 T10 取最大值. 6.将正偶数集合{2,4,6,?}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组如下: 第一组 第二组 第三组 ? ) B.10 D.12

{2,4} {6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} ? 则 2014 位于( A.第 7 组 C.第 9 组 [答案] C 2×?2n-1? n+1 [解析] 前 n 组共有 2+4+8+?+2n= =2 -2 个数. 2-1 由 an=2n=2014 知,n=1007,∴2014 为第 1007 个偶数, ∵29=512,210=1024, 故前 8 组共有 510 个数, 前 9 组共有 1022 个数, 即 2014 在第 9 组. 二、填空题 7.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数 中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. [答案] 3 5


) B.第 8 组 D.第 10 组

[解析] 等比数列的通项公式为 an=(-3)n 1.所以此数列中偶数项都为负值,奇数项全为 正值. 若 an≥8,则 n 为奇数且(-3)n 1=3n 1≥8,则 n-1≥2,∴n≥3,∴n=3,5,7,9,共四项
- -

4 3 满足要求.∴p=1- = . 10 5

-3-

[点评] 直接考虑情况较多时,可以从其对立面来考虑问题. 8. (文)(2013· 浙江湖州中学)已知数列{an}是正项等比数列, 若 a1=32, a4=4, 则数列{log2an} 的前 n 项和 Sn 的最大值为________. [答案] 15 1 1 - 1 - 1 [解析] ∵a1=32,a4=4,∴q= ,an=32· ( )n 1,log2an=log2[32· ( )n 1]=5+(n-1)log2 2 2 2 2 =6-n, 由 6-n≥0,得 n≤6,∴前 5 项(或 6 项)和最大,S5= 5×?5+1? =15. 2

15 9 (理)(2014· 河北衡水中学二调)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= ,a8· a9=- ,则 8 8 1 1 1 1 + + + =________. a7 a8 a9 a10 5 [答案] - 3 1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 [解析] ∵ + = , + = ,而 a8a9=a7a10, a7 a10 a7a10 a8 a9 a8a9 15 1 1 1 1 a7+a8+a9+a10 8 5 ∴ + + + = = =- . a7 a8 a9 a10 a7a10 9 3 - 8 a c 9.已知 a、b、c 成等比数列,如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,则 + =________. x y [答案] 2 a+b b+c b [解析] 由条件知 x= ,y= ,c=bq,a= , 2 2 q 2b q a c 2a 2c 2bq ∴ + = + = + x y a+b b+c b b+bq +b q = 2 2q + =2. 1+q 1+q

三、解答题 10.(文)已知数列{an}中,a1=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N*,有 an+1= kSn+1(k 为常数). (1)当 k=2 时,求 a2、a3 的值; (2)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. [解析] (1)当 k=2 时,an+1=2Sn+1, 令 n=1 得 a2=2S1+1,又 a1=S1=1,得 a2=3; 令 n=2 得 a3=2S2+1=2(a1+a2)+1=9,∴a3=9.

-4-

∴a2=3,a3=9. (2)由 an+1=kSn+1,得 an=kSn-1+1, 两式相减,得 an+1-an=kan(n≥2), 即 an+1=(k+1)an(n≥2), a2 k+1 且 = =k+1,故 an+1=(k+1)an. a1 1
? ?1,?n=1?, 故当 k=-1 时,an=? ?0.?n≥2?. ?

此时,{an}不是等比数列; an+1 当 k≠-1 时, =k+1≠0,此时,{an}是首项为 1,公比为 k+1 的等比数列. an 综上,当 k=-1 时,{an}不是等比数列; 当 k≠-1 时,{an}是等比数列. (理)(2013· 湖北)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+ a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由. [解析] (1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0,
?2S2=S3+S4, ? 由条件易知 q≠1.由题意得? ? ?a2+a3+a4=-18.

2a ?1-q ? a1?1-q ? a1?1-q ? ? ? 1 = + , 1-q 1-q 即? 1-q ? ?a1q?1+q+q2?=-18.
?a1=3, ? 解得? ?q=-2. ?

2

3

4

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1.


3· [1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2013,则 1-(-2)n≥2013, 即(-2)n≤-2012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2012,即 2n≥2012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

-5-

一、选择题 11.(文)已知等比数列{an}的公比 q>0,其前 n 项的和为 Sn,则 S4a5 与 S5a4 的大小关系是 ( ) A.S4a5<S5a4 C.S4a5=S5a4 [答案] A
2 2 [解析] (1)当 q=1 时,S4a5-S5a4=4a2 1-5a1=-a1<0.

B.S4a5>S5a4 D.不确定

(2)当 q≠1 且 q>0 时,
2 2 3 a1 a1 q S4a5-S5a4= (q4-q8-q3+q8)= (q-1) 1-q 1-q 3 =-a2 1q <0.

[点评] 作差,依据前 n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法,应 注意对公比分类讨论,请再做下题: S3 S5 已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比较 与 的大小. a3 a5 S3 S5 S3 S5 [解析] 当 q=1 时, =3, =5,所以 < ; a3 a5 a3 a5 当 q>0 且 q≠1 时,
3 5 S3 S5 a1?1-q ? a1?1-q ? - = 2 - 4 a3 a5 a1q ?1-q? a1q ?1-q?



q2?1-q3?-?1-q5? -q-1 = <0, q4 q4?1-q?

S3 S5 所以有 < . a3 a5 S3 S5 综上可知有 < . a3 a5 1 ( 理 ) 已知等比数列 {an} 的各项均为正数,公比 q≠1 ,设 P = (log0.5a5 + log0.5a7) , Q = 2 log0.5 a3+a9 ,P 与 Q 的大小关系是( 2 ) B.P<Q D.P>Q

A.P≥Q C.P≤Q [答案] D

a3+a9 [解析] P=log0.5 a5a7=log0.5 a3a9,Q=log0.5 , 2 ∵q≠1,∴a3≠a9, ∴ a3+a9 > a3a9, 2

-6-

又∵y=log0.5x 在(0,+∞)上递减, a3+a9 ∴log0.5 <log0.5 a3a9,即 Q<P.故选 D. 2 12.(2014· 上海虹口二模)已知数列{an}是首项为 a1,公差为 d(0<d<2π)的等差数列,若数 列{cosan}是等比数列,则其公比为( A.1 C .± 1 [答案] B [解析] 因为数列{cosan}是等比数列, 所以 cos2(a1 + d) = cosa1· cos(a1 + 2d) = cos(a1 + d - d)· cos(a1 + d + d) = cos2(a1 + d)cos2d - sin2(a1+d)sin2d, 所以 sin2d[cos2(a1+d)+sin2(a1+d)]=0, 所以 sin2d=0,sind=0, 因为 0<d<2π,所以 d=π. cos?a1+d? cos?a1+π? 公比 q= = =-1. cosa1 cosa1 13.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( ) ) B.-1 D.2

A.4 C .6 [答案] D

B.5 D.7

[解析] 由程序框图可知,S=1+2+22+?+2k=2k 1-1,由 S<100 得,2k 1<101,
+ +

∵26=64,27=128,∴k+1=7,∴k=6,结合语句 k=k+1 在 S=S+2k 后面知,当 k=6 时,S=127,k 的值再增加 1 后输出 k 值为 7. [点评] 这是最容易出错的地方,解这类题时,既要考虑等比数列求和,在 k 取何值时, 恰满足 S≥100,又要顾及 S 与 k 的赋值语句的先后顺序. 二、填空题 1 14. (2014· 湖南岳阳质检)已知数列{an}的首项为 a1=2, 且 an+1= (a1+a2+?+an)(n∈N*), 2

-7-

记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 Sn=________,an=________. 3 - [答案] 2×( )n 1 2 2,n=1, ? ? ? 3 n-2 ??2? ,n≥2 ?

1 1 1 [解析] 由 an+1= (a1+a2+?+an)(n∈N*),可得 an+1= Sn,所以 Sn+1-Sn= Sn,即 Sn+ 2 2 2
1=

3 3 3 Sn,由此可知数列{Sn}是一个等比数列,其中首项 S1=a1=2,公比为 ,所以 Sn=2×( )n 2 2 2

-1

2,n=1, ? ? ,由此得 an=? 3 n-2 ? ??2? ,n≥2. 15.已知等差数列{an}首项为 a,公差为 b,等比数列{bn}首项为 b,公比为 a,其中 a、b

都是大于 1 的正整数,且 a1<b1,b2<a3,那么 a=________;若对于任意的 n∈N*,总存在 m ∈N*,使得 bn=am+3 成立,则 an=________. [答案] 2 5n-3
? ? ?a<b, ?a<b, [解析] 由已知条件可得? 即? ?ab<a+2b, ? ? ??a-2?b<a,

若 a=2,显然符合条件;若 a>2,则 a<b< 条件,由此可得 a=2.

a ,解得 a<3,即 2<a<3,即不存在 a 满足 a-2

当 a=2 时, an=2+(n-1)b,bn=b×2n 1,若存在 m∈N*,使得 bn=am+3 成立,则 b×2n
- -1

=2+(m-1)b+3,即得 b×2n 1=bm+5-b,当 b=5 时,方程 2n 1=m 总有解,此时 an=
- -

5n-3. 16.(2014· 辽宁抚顺六校联合体期中){an}为等比数列,若 a3 和 a7 是方程 x2+7x+9=0 的 两个根,则 a5=________. [答案] -3
? ?a3+a7=-7, [解析] 由已知,得? ∴a3,a7 均为负数,那么这个等比数列的奇数项应都 ?a3· a7=9, ?

为负数, a5=- a3· a7=-3. 三、解答题 17.(文)(2013· 洛阳统考)已知数列{an}中,a1=2,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=2n 1(n∈


N*). (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)令 bn=2log2an+1,求数列{ 1 }的前 n 项和 Tn. bn· bn+1

-8-

[解析] (1)由 Sn+1-Sn=2n

+1

得 an+1=2n 1,即 an=2n(n≥2).


又 a1=2,所以 an=2n(n∈N*). 2?1-2n? n+1 从而 Sn=2+22+?+2n= =2 -2. 1-2 (2)因为 bn=2log2an+1=2log22n+1=2n+1, 1 1 所以 = bn· bn+1 ?2n+1?· ?2n+3? 1 1 1 = ( - ). 2 2n+1 2n+3 1 1 1 1 1 1 1 11 1 n 于是 Tn= [( - )+( - )+?+( - )]= ( - )= . 2 3 5 5 7 2 3 2n+3 3?2n+3? 2n+1 2n+3 (理)(2013· 长春三校调研)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9· 2n 1,n∈N.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N*恒成立,求实数 k 的取 值范围. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9· 2n 1,n∈N*,∴a2+a1=9,a3+a2=18,


a3+a2 18 ∴q= = =2,∴2a1+a1=9,∴a1=3. a2+a1 9 ∴an=3· 2n 1,n∈N*.


a1?1-qn? 3?1-2n? (2)由(1)知 Sn= = =3(2n-1), 1-q 1-2 ∴不等式化为 3(2n-1)>k· 3· 2n 1-2,


1 即 k<2- n-1对一切 n∈N*恒成立. 3· 2 1 令 f(n)=2- n-1,易知 f(n)随 n 的增大而增大, 3· 2 1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = ,∴k< . 3 3 3 5 ∴实数 k 的取值范围为(-∞, ). 3 18.(2014· 四川“联测促改”)学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种 1 菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选 A 菜的,下星期一会有 改选 B 菜;而选 B 菜的, 5 3 下星期一会有 改选 A 菜.用 an,bn 分别表示第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数. 10 (1)试用 an-1(n∈N*,n≥2)表示 an,判断数列{an-300}是否成等比数列并说明理由; (2)若第 1 个星期一选 A 种菜的有 200 人, 那么第 10 个星期一选 A 种菜的大约有多少人?

-9-

[解析] (1)由题知,对 n∈N*有 bn=500-an, 所以当 n∈N*且 n≥2 时, 4 3 1 an= an-1+ (500-an-1),即 an= an-1+150. 5 10 2 1 ∴an-300= (an-1-300), 2 ∴当 a1=300 时,{an-300}不是等比数列; 1 当 a1≠300 时,{an-300}是以 a1-300 为首项, 为公比的等比数列. 2 1 - 100 100 (2)当 a1=200 时,an-300=( )n 1(a1-300),即 an=300- n-1,∴a10=300- 9 ≈300. 2 2 2 ∴第 10 个星期一选 A 种菜的大约有 300 人.

- 10 -


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