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山东省临沂市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科)


山东省临沂市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷(文科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1. (5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i 2. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列

结论正确的是() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 3. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a、b∈N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时,假设的内容应为() A.a、b 都能被 5 整除 B. a、b 都不能被 5 整除 C. a、b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 4. (5 分)已知 x,y 的取值如下表所示: x 2 3 y 6 4 如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 A. B. C.
*

4 5 ,则 b=() D.

5. (5 分)如图给出了一个算法程序框图,该算法程序框图的功能是()

A.求 a,b,c 三数的最大数 C. 将 a,b,c 按从小到大排列

B. 求 a,b,c 三数的最小数 D.将 a,b,c 按从大到小排列

6. (5 分)集合 M={x|(x﹣1) (x﹣2)<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围 是() A. ,存在 x0∈,使 g(x1)=f(x0) ,则 a 的取值范围是()

A.

B.

C.

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) 的共轭复数为.

12. (5 分)函数 y=

的定义域是.

13. (5 分)已知函数 y=a 此定点坐标为.

x﹣2

+3(a>0 且 a≠1) ,无论 a 取何值,该函数的图象恒过一个定点,

14. (5 分)若 f(x)为 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(2﹣x) ,则 f(0)+f(2) =. 15. (5 分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是.

三.解答题(共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知 z 为复数,z+2i 和 均为实数,其中 i 是虚数单位.

(Ⅰ)求复数 z; 2 (Ⅱ)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分 )已知 函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1, 6) ,B(3,24) . (1)求 f(x) ; (2)若不等式( ) + ( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x x x

19. (12 分)从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位: kg)数据如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7

身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=





20. (13 分)已知命题:“?x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x ﹣x﹣m=0 成立”是真命题, (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式(x﹣a) (x+a﹣2)<0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取 值范围. 21. (14 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 k,对定义域 中的任意 x,等式 f(kx)= +f(x)恒成立. (1)判断一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合 M; (2)证明函数 f(x)=log2x 属于集合 M,并找出一个常数 k; (3)已知函数 f(x)=logax( a>1)与 y=x 的图象有公共点,证明 f(x)=logax∈M.

2

山东省临沂市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1. (5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i 考点: 专题: 分析: 的值. 解答: z= 复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数. 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得 z 解:∵复数 z 满足(3+4i)z=25,则 = = =3﹣4i,

故选:A.

点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,从而找出正确选项. 解答: 解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1; ∴A={y|y≥﹣1},又 B={x|x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B. 故选 C. 点评: 注意描述法所表示集合的元素. 3. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a、b∈N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时,假设的内容应为() A.a、b 都能被 5 整除 B. a、b 都不能被 5 整除 C. a、b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 考点: 反证法. 专题: 证明题;反证法;推理和证明. 分析: 反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此 得出此命题是成立的. 解答: 解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定 成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a,b 都不 能被 5 整除”. 故选:B. 点评: 反证法是命题的否定的一个重要运用, 用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题 的技巧. 4. (5 分)已知 x,y 的取值如下表所示: x 2 3 y 6 4 如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 A. B. C.
*

4 5 ,则 b=() D.

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 估计条件中所给的三组数据, 求出样本中心点, 因为所给的回归方程只有 b 需要求 出,利用待定系 数法求出 b 的值,得到结果.

解答: 解:∵线性回归方程为 又∵线性回归方程过样本中心点, , ∴回归方程过点(3,5) ∴5=3b+ ∴b=﹣ ,



故选 A. 点评: 本题考查线性回归方程, 考查样本中心点满足回归方程, 考查待定系数法求字母系 数,是一个基础题,这种题目一旦出现是一个必得分题目. 5. (5 分)如图给出了一个算法程序框图,该算法程序框图的功能是()

A.求 a,b,c 三数的最大数 C. 将 a,b,c 按从小到大排列

B. 求 a,b,c 三数的最小数 D.将 a,b,c 按从大到小排列

考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 操作型. 分析: 逐步分析框图中的各框语句的功能,第一个条件结构是比较 a,b 的大小,并将 a, b 中的较小值保存在变量 a 中,第二个条件结构是比较 a,c 的大小,并将 a,c 中的较小值 保存在变量 a 中,故变量 a 的值最终为 a,b,c 中的最小值.由此不难推断程序的功能. 解答: 解:逐步分析框图中的各框语句的功能, 第一个条件结构是比较 a,b 的大小, 并将 a,b 中的较小值保存在变量 a 中, 第二个条件结构是比较 a,c 的大小, 并将 a,c 中的较小值保存在变量 a 中, 故变量 a 的值最终为 a,b,c 中的最小值. 由此程序的功能为求 a,b,c 三个数的最小数. 故答案选 B

点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度 重视.要判断程序的功能就要对程序的流程图(伪代码)逐步进行分析,分析出各变量值的 变化情况,特别是输出变量值的变化情况,就不难得到正确的答案. 6. (5 分)集合 M={x|(x﹣1) (x﹣2)<0},N={x|x< a},若 M?N,则实数 a 的取值范围 是() A. B. M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C. M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意依次举例对四个命题判断,从而确定答案. 解答: 解:若 M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0};则 M 没有最大元素,N 有一个最小元素 0; 故 A 正确; 若 M={x∈Q|x< }, N={x∈Q|x≥ }; 则 M 没有最大元素, N 也没有最小元素; 故 B 正确; 若 M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0};M 有一个最大元素,N 没有最小元素,故 D 正确; M 有一个最大元素,N 有一个最小元素不可能,故 C 不正确; 故选 C. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于基础题. 8. (5 分)已知条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:5x﹣6>x ,则¬p 是¬q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 通过解二次不等式化简条件 q,求出¬q,求出¬p;由于¬p 与¬q 对应的数集无 包含关系,判断出非 p 是非 q 的什么条件. 解答: 解:q:x ﹣5x+6<0 解得 2<x<3, 所以¬q:x≥3 或 x≤2, 又 p:x>1 或 x<﹣3, 所以¬p:﹣3≤x≤1, ¬p 是¬q 的充分不必要条件, 故选:A. 点评: 解决一个条件是另一个的什么条件常先化简各个条件, 将判断条件问题转化为判断 集合的包含关系问题,属于基本知识的考查. 9. (5 分)有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每 堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则 所有乘积的和为() A.45 B.55 C.90 D.100
2 2

考点: 归纳推理. 专题: 等差数列与等比数列;推理和证明. 分析: 用特殊值法,假设每次分出一个,分别求出每一次的乘积,然后等差数列的性质相 加可得答案. 解答: 解:假设每次分堆时都是分出 1 个球, 第一次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣1 个,则乘积为 1×(n﹣1)=n﹣1; 第二次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣2 个,则乘积为 1×(n﹣2)=n﹣2; 依此类推 最后一次应该是应该一堆是 1 个球,另一堆 1 个,则乘积为 1×1=1; 设乘积的和为 Tn, 则 Tn=1+2+…+(n﹣1)= n(n﹣1) 当 n=10 时,T10= ×10×(10﹣1)=45 故选:A 点评: 本题主要考查等差数列的求和.属基础题.在解答选择填空题时,特殊值法是常用 方法之一.解决本题的关键在于特殊值法的应用. 10. (5 分)f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,若对任意的 x1∈,存在 x0∈,使 g(x1) =f(x0) ,则 a 的取值范围是() A. B. C.
2

考点: 函数的值域;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出两个函数在上的值域分别为 A、B,再根据对任意的 x1∈,存在 x0∈,使 g (x1)=f(x0) ,集合 B 是集合 A 的子集,并列出不等式,解此不等式组即可求得实数 a 的 取值范围,注意条件 a>0. 2 解答: 解:设 f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,在上的值域分别为 A、B, 由题意可知:A=,B= ∴ ∴a≤ 又∵a>0, ∴0<a≤ 故选:A 点评: 此题是个中档题.考查函数的值域,难点是题意的理解与转化,体现了转化的思 想.同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力, 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) 的共轭复数为 ﹣ i.

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 根据复数的除法法则,化简得 = + i,再由共轭复数的定义即可得到答案.

解答: 解:∵

=

= + i,



的共轭复数为 ﹣ i

故答案为: ﹣ i 点评: 本题给出复数 概念等知识,属于基础题. 12. (5 分)函数 y= 的定义域是(﹣∞,0]. ,求它的共轭复数,着重考查了复数的四则运算和共轭复数的

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 y 的解析式得,二次根式的被开方数大于或等于 0,列出不等式,求解集即 可. 解答: 解:∵函数 y=
x



∴0.2 ﹣1≥0, x ∴0.2 ≥1, ∴x≤0; ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,0]. 故答案为: (﹣∞,0]. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题, 解题时应根据函数的解析式, 列出使函数解析式 有意义的不等式(组) ,求出解集,得出函数的定义域,是基础题. 13. (5 分)已知函数 y=a 此定点坐标为(2,4) .
x﹣2

+3(a>0 且 a≠1) ,无论 a 取何值,该函数的图象恒过一个定点,

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数过定点的性质进行求解即可. x 解答: 解:∵y=a 过定点(0,1) , x x﹣1 ∴将函数 y=a 向右平移 2 个单位, 再向上平移 3 个单位得到 y=a +3, 此时函数过定点 ( 2, 4) , 故答案为: (2,4) .

点评: 本题主要考查指数函数过定点的性质,如果 x 的系数为 1,则可以使用平移法,但 x 的系数不为 1,则用解方程的方法比较简单. 14. (5 分)若 f(x)为 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(2﹣x) ,则 f(0)+f(2) =﹣2. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用奇函数的定义,已知解析式,可得 f(0)=0,f(2)=﹣2,即可得到结论. 解答: 解:f(x)为 R 上的奇函数, 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即有 f(0)=0,f(﹣2)=﹣f(2) , 当 x<0 时,f(x)=log2(2﹣x) , f(﹣2)=log2(2+2)=2, 则 f(0)+f(2)=0﹣2=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题. 15. (5 分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是甲. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 探究型;推理和证明. 分析: 利用反证法,即可得出结论. 解答: 解:假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立; 假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分; 故答案为:甲. 点评: 本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 三.解答题(共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知 z 为复数,z+2i 和 均为实数,其中 i 是虚数单位.

(Ⅰ)求复数 z; 2 (Ⅱ)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 考点: 复数代数形式的混合运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: (I) 设出复数的代数形式, 整理出 z+2i 和 得到复数的代数形式. , 根据两个都是实数虚部都等于 0,

(II)根据上一问做出的复数的结果,代入复数(z+ai) ,利用复 数的加减和乘方运算,写 出代数的标准形式,根据复数对应的点在第一象限,写出关于实部大于 0 和虚部大于 0,解 不等式组,得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)设复数 z=a+bi(a,b∈R) , 由题意,z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i∈R, ∴b+2=0,即 b=﹣2. 又 ,

2

∴2b+a=0,即 a=﹣2b=4.∴z=4﹣2i. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 z=4﹣2i, 2 2 2 2 ∵(z+ai) =(4﹣2i+ai) = =16﹣(a﹣2) +8(a﹣2)i 对应的点在复平面的第一象限, ∴ 解得 a 的取值范围为 2<a<6. 点评: 本题考查复数的加减乘除运算, 考查复数的代数形式和几何意义, 考查复数与复平 面上点的对应,考查解决实际问题 的能力,是一个综合题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数的定义域;对数函数的单调性与特 殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)根据对数的性质可知真数大于零,进而确定 x 的范围,求得函数的定义域. (2)利用函数解析式可求得 f(﹣x)=﹣f(x) ,进而判断出函数为奇函数. (3)根据当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数,可推断出 f(x)>0,进 而可知 进而求得 x 的范围.

解答: 解: (1)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,则 故所求定义域为{x|﹣1<x<1}. (2)f(x)为奇函数 由(1)知 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1}, 且 f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣=﹣f(x) , 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数, 所以 解得 0<x<1. .

解得﹣1<x<1.

所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 点评: 本题主要考查了 函数的定义域,奇偶性的判断和单调性的应用.要求考生对函数 的基本性质熟练掌握. 18. (12 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1, 6) ,B(3,24) . (1)求 f(x) ; (2)若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x x x

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;综合题;转化思想;待定系数法. 分析: (1)根据函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象经过点 A x (1,6) ,B(3,24) ,把 A(1,6) ,B(3,24)代入 f(x)=b?a ,解此方程组即 可求得 a,b,的值,从而求得 f(x) ; (2)要使( ) +( ) ≥m 在(﹣∞,1]上恒成立,只需保 证函数 y=( ) +( ) 在(﹣∞,1]上的最小值不小于 m 即可,利用函数的单调性求函 数的最小值,即可求得实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)把 A(1,6) ,B(3,24)代入 f(x)=b?a ,得
x x x x x x

结合 a>0 且 a≠1,解得: ∴f(x)=3?2 . (2)要使( ) +( ) ≥m 在(﹣∞,1]上恒成立, 只需保证函数 y=( ) +( ) 在(﹣∞,1]上的最小值不小于 m 即可. ∵函数 y=( ) +( ) 在(﹣∞,1]上为减函数, ∴当 x=1 时,y=( ) +( ) 有最小值. ∴只需 m≤ 即可. 点评: 此题是个中档题. 考查待定系数法求函数的解析式, 和利用指数函数的单调性求函 数的最值,体现了转化的思想,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力. 19. (12 分)从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位: kg)数据如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程;
x x x x x x x x x

(2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=





考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)计算平均数,求出 b,a,即可求出回归方程; (2)b>0,可得这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系,代入公式, 预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. 解答: 解: (1)∵ = = ∴b= ∴a=54﹣ ∴y= x﹣70.5; (2)∵b>0, ∴这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系, x=172 时,y= ×172﹣70.5=58.5(kg) . 点评: 本题考查回归方程,考查学生的计算能力,正确求出回归方程是关键. 20. (13 分)已知命题:“?x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x ﹣x﹣m=0 成立”是真命题, (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式(x﹣a) (x+a﹣2)<0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取 值范围. 考点: 复合命题的真假; 必要条件、 充分条件与充要条件的判断; 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: (1)利用参数分离法将 m 用 x 表示,结合二次函数的性质求出 m 的取值范围, 从而可求集合 M; (2)若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M?N 分类讨论①当 a>2﹣a 即 a>1 时,N={x|2﹣a <x<a},②当 a<2﹣a 即 a<1 时,N={x|a<x<2﹣a},③当 a=2﹣a 即 a=1 时,N=φ 三种 情况进行求解 解答: 解: (1)由 x ﹣x﹣m=0 可得 m=x ﹣x=
2 2 2

=166, =54,

= , =﹣70.5,

∵﹣1<x<1 ∴ M={m| }

(2)若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M?N

①当 a>2﹣a 即 a>1 时,N={x|2﹣a<x<a},则



②当 a<2﹣a 即 a<1 时,N={x|a<x<2﹣a},则



③当 a=2﹣a 即 a=1 时,N=φ,此时不满足条件 综上可得 点评: 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解, 集合之间包含关系的应用, 体 现了分类讨论思想的应用. 21. (14 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 k,对定义域 中的任意 x,等式 f(kx)= +f(x)恒成立. (1)判断一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合 M; (2)证明函数 f(x)=log2x 属于集合 M,并找出一个常数 k; (3)已知函数 f(x)=logax( a>1)与 y=x 的图象有公共点,证明 f(x)=logax∈M. 考点: 对数函数的图像与性质;元素与集合关系的判断. 专题: 压轴题;新定义. 分析: (1)假设 g(x)∈M,即:存在 k≠0,使 g(kx)= +g(x)得出 a(k﹣1)x= 恒 成立,与假设矛盾,从而得出结论; (2)由于当 log2(kx)= +log2x 成立时,等价于 log2k= ,此式显然当 k=4 时此式成立, 可见,存在非零常数 k=4,使 g(kx)= +g(x) ,从而得出答案. (3)因为 y=logax( a>1)与 y=x 有交点,由图象知,y=logax 与 y= 必有交点.从而存在 k,f(kx)=loga(kx)=logak+logax= +f(x) ,成立. 解答: 解: (1) 若f (x) =ax+b∈M, 则存在非零常数 k, 对任意 x∈D 均有 f (kx) =akx+b= +f (x) ,

即 a(k﹣1)x= 恒成立,得

无解,所以 f(x)?M.

(2)log2(kx)= +log2x,则 log2k= ,k=4,k=2 时等式恒成立, 所以 f(x)=log2x∈M. (3)因为 y=logax( a>1)与 y=x 有交点,由图象知,y=logax 与 y= 必有交点. 设 logak= ,则 f(kx)=loga(kx)=logak+logax= +f(x) , 所以 f(x)∈M.

点评: 本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程 式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.


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