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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:19统计与统计案例


第一部分



19

一、选择题 1.(2015· 北京文,4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老年教师人数为 ( ) 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 A.90 C.180 [答案] C 1 600 16 [解

析] 由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 = ;设样本中老年教师的人 900 9 320 16 数为 x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即 = , x 9 解得 x=180. [方法点拨] 解决抽样问题,首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围,如分层 抽样,适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体.其次要抓住无论哪种抽样方法, 每一个个体被抽到的概率都等于样本容量与总体容量的比值. 2.(2015· 湖南文,2)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如 图所示. 人数 900 1 800 1 600 4 300 B.100 D.300

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成 绩在区间[139,151]上的运动员人数是( A.3 C.5 [答案] B [解析] 根据茎叶图中的数据得:成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 20,用系统抽 ) B .4 D.6

20 样方法从 35 人中抽取 7 人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取 7× =4(人),故选 B. 35 [方法点拨] 1.三种抽样方法的比较 类别 简单 随机 抽样 系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 分层 抽样 相等 将总体均分成几部分, 按事先确定的规则在各 部分抽取 将总体分成几层,分层 进行抽取 在起始部分抽样 时采用简单随机 抽样 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样 从总体中逐个抽取 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 总体中的个 体数较少

总体中的个 体数较多 总体由差异 明显的几部 分组成

2.当总体数 N 不能被样本容量整除,用系统抽样法剔除多余个体时,必须随机抽样. 3.(文)已知 x、y 的取值如下表所示: x y 0 0.9 1 1.9 3 3.2 4 4.4 )

^ 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.8x+a,则 a=( A.0.8 C.1.2 [答案] B [解析] B .1 D.1.5

0+1+3+4 0.9+1.9+3.2+4.4 x= =2, y = =2.6, 4 4

^ 又因为回归直线y=0.8x+a 过样本中心点(2,2.6) 所以 2.6=0.8×2+a,解得 a=1. (理)(2015· 福建理,4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该 社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

^ ^ ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a= y -b x .据此估计,该社区一 户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 C.12.0 万元 ) B.11.8 万元 D.12.2 万元

[答案] B [解析] 考查线性回归方程. 由已知得 x = 8.2+8.6+10.0+11.3+11.9 =10(万元), 5

y=

6.2+7.5+8.0+8.5+9.8 =8(万元), 5

^ 故a=8-0.76×10=0.4. ^ ^ 所以回归直线方程为 y = 0.76x + 0.4 ,社区一户年收入为 15 万元家庭年支出为 y = 0.76×15+0.4=11.8(万元),故选 B. [方法点拨] 1.要熟记用最小二乘法求回归直线的方程的系数公式. ^ ^ ^ 设线性回归方程为y=bx+a,则

? ^ ?b = ? ? ?x -- x? ?^ - ^- ?a= y -b x
n i=1 n i=1 i

- - -- ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y
i=1

n


i=1

2

?xi2-n x 2

n



.

- - 2.回归直线一定经过样本的中心点( x , y ),据此性质可以解决有关的计算问题. 4.(文)(2015· 安徽理,6)若样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 8,则数据 2x1-1,2x2 -1,…,2x10-1 的标准差为( A.8 C.16 [答案] C [解析] 考查样本的方差与标准差的应用. 设样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 D?X?,则 D?X?=8,即方差 D(X)=64,而数 据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1 的方差 D(2X-1)=22D(X)=22×64,所以其标准差为 22×64 =16.故选 C. (理)等差数列 x1,x2,x3,…,x9 的公差为 1,若以上述数据 x1,x2,x3,…,x9 为样本, 则此样本的方差为( 20 A. 3 ) 10 B. 3 ) B.15 D.32

C.60 [答案] A

D.30

[解析] 令等差数列为 1,2,3,…,9,则样本的平均值 x =5, 1 60 20 ∴S2= [(1-5)2+(2-5)2+…+(9-5)2]= = . 9 9 3 [方法点拨] 平均数与方差 - 1 样本数据的平均数 x = (x1+x2+…+xn). n 1 - - - 方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. n 注意:(1)现实中总体所包含的个体数往往较多,总体的平均数与标准差、方差是不知 道(或不可求)的,所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准 差、方差. (2)平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小.标准差、方差越大,数据的离散(波动)程度越大,越不稳定. 5.(文)(2015· 河北邯郸市一模)某班的一次数学考试后,按学号统计前 20 名同学的考试 成绩如茎叶图所示,则该样本数据的中位数为( )

A.74.5 C.75.5 [答案] C 75+76 [解析] 中位数为 =75.5. 2

B.75 D.76

(理)(2015· 河南省高考适应性测试)某中学为了检验 1000 名在校高三学生对函数模块掌 握的情况,进行了一次测试,并把成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如下图所示,则 考试成绩的众数大约为( )

A.55

B.65

C.75 [答案] C

D.85

[解析] 最高小矩形中点的横坐标 75 为众数. [方法点拨] 1.茎叶图 当数据有两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字 表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的 叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图. 当数据有三位有效数字,前两位相对比较集中时,常以前两位为茎,第三位(个位)为叶 (其余类推). 2.样本的数字特征 (1)众数 在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据). (2)中位数 样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取当 中两个数据的平均数作为中位数. 3.求中位数、平均数、方差主要依据公式进行计算. 4.在频率分布直方图中,平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 横坐标之和; 在中位数的估计值两侧直方图的面积相等; 最高小矩形中点对应数据为这组数 据的众数. 6.(文)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到 大成等差数列{an}.已知 a2=2a1,且样本容量为 300,则小长方形面积最大的一组的频数为 ( ) A.100 C.150 [答案] A 1 [解析] 设公差为 d,则 a1+d=2a1,∴a1=d,∴d+2d+3d+4d+5d=1,∴d= ,∴面 15 1 1 积最大的一组的频率等于 ×5= . 15 3 1 ∴小长方形面积最大的一组的频数为 300× =100. 3 (理)某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查, 如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图, 其中收 看时间分组区间是:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].将日均收看该类体 育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,则图中 x 的值为( ) B.120 D. 200

A.0.01 C.0.03 [答案] A

B.0.02 D.0.04

[解析] 由题设可知(0.005+x+0.012+0.020+0.025+0.028)×10=1, 解得 x=0.01, 选 A. [方法点拨] 1.在频率分布直方图中: 频率 ①各小矩形的面积表示相应各组的频率, 各小矩形的高= ; ②各小矩形面积之和等 组距 于 1;③中位数左右两侧的直方图面积相等,因此可以估计其近似值. 2.准确理解给出图表及已知条件中数据的含义是解决统计问题的关键. 7.(文)(2015· 湖北文,4)已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,变量 y 与 z 正相关.下 列结论中正确的是( ) B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关

A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 [答案] C

[解析] 因为变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,其中-0.1<0,所以 x 与 y 成负相关; 又因为变量 y 与 z 正相关, 不妨设 z=ky+b(k>0), 则将 y=-0.1x+1 代入即可得到: z=k(- 0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以 x 与 z 负相关,综上可知,应选 C. (理)(2015· 新课标Ⅱ理,3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单 位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 [答案] D [解析] 考查正、负相关及对柱形图的理解. 由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负 相关,故选 D. 8.(文)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 8 次试验,收集数据如下: 零件数 x(个) 加工时间 y(min) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 ) 80 108

设回归方程为 y=bx+a,则点(a,b)在直线 x+45y-10=0 的( A.左上方 C.右上方 [答案] C - - [解析] ∵ x =45, y =85,∴a+45b=85, B.左下方 D.右下方

∴a+45b-10>0,故点(a,b)在直线 x+45y-10=0 的右上方,故选 C. (理)(2014· 沈阳市质检)某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再 按笔试成绩择优选出 100 人参加面试.现随机调查了 24 名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 2 [65,70) 3 [70,75) 4 ) B.80 D.90 [75,80) 9 [80,85) 5 [85,90) 1

据此估计允许参加面试的分数线大约是( A.75 C.85 [答案] B

[解析] 由题可知,在 24 名笔试者中应选出 6 人参加面试.由表可得面试分数线大约 为 80.故选 B. 二、填空题 9.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 10,12,14,14,14,15,15,16,16,17,设 这 10 个数的中位数为 a,众数为 b,则 a-b=________. [答案] 0.5 [解析] 从数据中可以看出,众数 b=14,

14+15 且中位数 a= =14.5, 2 ∴a-b=14.5-14=0.5. 10. (文)为了解某校高三学生身体状况, 用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重, 将男生体重数据整理后, 画出了频率分布直方图, 已知图中从左到右前三个小组频率之比为 , 第二小组频数为 12, 若全校男、 女生比例为 , 则全校抽取学生数为________.

[答案] 80 [解析] 第四小组和第五小组的频率之和是 5×(0.0125+0.0375)=0.25,故前三个小组 的频率之和是 0.75,则第二小组的频率是 0.25,则抽取的男生人数是 12÷ 0.25=48 人,抽取 2 的女生人数是 48× =32 人,全校共抽取 80 人. 3 (理)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班 级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不 相同,则样本数据中的最大值为________. [答案] 10 x1+x2+x3+x4+x5 [解析] 设 5 个班级中参加的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则 =7, 5 ?x1-7?2+?x2-7?2+?x3-7?2+?x4-7?2+?x5-7?2 =4,即 5 个整数平方和为 20,x1,x2, 5 x3,x4,x5 这 5 个数中最大数比 7 大,但不能超过 10,因此最大为 10,平方和 20=0+1+1+9+9=(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(10-7)2+(4-7)2. 因此参加的人数为 4,6,7,8,10,故最大值为 10,最小值为 4. 三、解答题 11.(文)(2015· 山西太原市模拟)某网络广告 A 公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站 拓展广告业务,为此 A 公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中 10 天的日访问量 n(单位:万 次),整理后得到如下茎叶图,已知 A 公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行 考量选择.

(1)请说明 A 公司应选择哪个网站; (2)现将抽取的样本分布近似看作总体分布,A 公司根据所选网站的日访问量 n 进行付 费,其付费标准如下: 选定网站的日访问量 n(单位:万次) n<25 25≤n≤35 n>35 求 A 公司每月(按 30 天计)应付给选定网站的费用 S. [解析] (1)由茎叶图可知 x 10=30, 甲=(15+24+28+25+30+36+30+32+35+45)÷ 1 ×[(15-30)2+(24-30)2+(28-30)2+(25-30)2+(30-30)2+(36-30)2+(30- 10 A 公司的付费标准(单位:元/日) 500 700 1000

S2 甲=

30)2+(32-30)2+(35-30)2+(45-30)2]=58. x 10=30, 乙=(18+25+22+24+32+38+30+36+35+40)÷ 1 ×[(18-30)2+(25-30)2+(22-30)2+(24-30)2+(32-30)2+(38-30)2+(30- 10

S2 乙=

30)2+(36-30)2+(35-30)2+(40-30)2]=49.8 ∵x
甲=

x

2 2 乙,S甲>S乙,∴A

公司应选择乙网站;

(2)由(1)得 A 公司应选择乙网站,由题意可知乙网站日访问量 n<25 的概率为 0.3,日访 问量 25≤n≤35 的概率为 0.4,日访问量 n>35 的概率为 0.3, ∴A 公司每月应付给乙网站的费用 S=30×(500×0.3+700×0.4+1000×0.3)=21900 元. (理)(2015· 郑州市质检)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施,某教育机构为了解 我省广大师生对新高考改革方案的看法, 对某市部分学校 500 名师生进行调查, 统计结果如 下: 赞成改革 教师 学生 120 x 不赞成改革 y z 无所谓 40 130

在全体师生中随机抽取 1 名“赞成改革”的人是学生的概率为 0.3,且 z=2y.

(1)现从全部 500 名师生中用分层抽样的方法抽取 50 名进行问卷调查,则应抽取“不赞 成改革”的教师和学生人数各是多少? (2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出三人进行座谈,求至少有一名教 师被选出的概率. x [解析] (1) 由题意 =0.3,∴x=150,所以 y+z=60, 500 50 50 因为 z=2y, 所以 y=20, z=40, 则应抽取教师人数 ×20=2, 应抽取学生人数 ×40 500 500 =4. (2)解法 1:所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a,b,4 名学生记为 1,2,3,4,随机 选出三人的不同选法有(a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4), (2,3,4),共 20 种, 至少有一名教师的选法有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4), (a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)共 16 种, 16 4 至少有一名教师被选出的概率 p= = . 20 5 解法 2:抽取的“不赞成改革”的人中,教师 2 人,学生 4 人共 6 人,从中任取 3 人,
3 C3 6-C4 4 3 3 有 C3 种取法,其中至少有一名教师的取法有 C - C 种,故所求概率 P = = . 3 6 6 4 C6 5

12.(文)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了 用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分.上个月 该网站共卖出了 100 份团购产品, 所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值, 将这些产 品按照得分分成以下几组: 第一组[0,2), 第二组[2,4), 第三组[4,6), 第四组[6,8), 第五组[8,10], 得到的频率分布直方图如图所示.

(1)分别求第三,四,五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取了 6 个产品作为下个

月团购的特惠产品, 某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买, 求他抽到的两个产品均来 自第三组的概率. [解析] (1)第三组的频率是 0.150×2=0.3;第四组的频率是 0.100×2=0.2;第五组的 频率是 0.050×2=0.1 (2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件 A, 由题意可知,从第三、四、五组中分别抽取 3 个,2 个,1 个. 不妨设第三组抽到的是 A1,A2,A3;第四组抽到的是 B1,B2;第五组抽到的是 C1,所 含基本事件总数为: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2}, {A2,C1},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C1},{B1,B2},{B1,C1},{B2,C1} 3 1 所以 P(A)= = . 15 5 (理)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成 绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 乙 82 92 81 95 79 80 78 75 95 83 88 80 93 90 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加 合适?请说明理由; (3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测,记这 3 次成绩 中高于 80 分的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). [解析] (1)作出茎叶图如下: 甲 9 8 5 8 1 3 7 8 9 0 0 乙 5 0 3 2 5 5

4 2

(2)派甲参赛比较合适,理由如下: 1 - x 甲= (70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85 8 1 - x 乙= (70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85. 8

1 2 2 2 2 2 2 2 S2 甲= [(78- 85) + (79- 85) + (81 -85) + (82 -85) + (84- 85) + (88- 85) + (93- 85) 8 +(95-85)2]=35.5 1 2 2 2 2 2 2 2 S2 乙= [(75- 85) + (80- 85) + (80 -85) + (83 -85) + (85- 85) + (90- 85) + (92- 85) 8 +(95-85)2]=41 - - 2 ∵ x 甲= x 乙,S2 甲<S乙, ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回 答,同样给分:如: 3 从统计的角度看,甲获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P1= 8 4 1 乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率为 P2= = 8 2 ∵P2>P1,∴派乙参赛比较合适. 6 3 (3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,则 P(A)= = , 8 4 随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 64 1 9 64 2 27 64 3 27 64

1 9 27 27 9 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4 3 9 (或 E(ξ)=np=3× = ) 4 4 13.(文)(2015· 邯郸市一模)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课、 访谈及随堂检测等活动,他们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式,教师主讲的为 A 模式,少数学生参与的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式,A、B、C 三类课的节数比例 为 (1)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B、C 统称为新课堂模式, 根据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联表(单位:节) 高效 非高效 总计

新课堂模式 传统课堂模式 总计

60 40 100

30 50 80

90 90 180

请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明 理由. (2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 12 节课作为样本进行研 究,并从样本中的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 2 节课,求至少有一节课为 C 模式课堂 的概率. 参考临界值有: P(K2≥k0) k0 参考公式:K2= 0.10 2.706 0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc? ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?

[解析] (1)由列联表中的统计数据计算随机变量 K2 的观测值为: 180?60×50-40×30?2 ∵K2= =9>6.635 ?60+40??30+50??60+30??40+50? 由临界值表 P(k2≥6.635)≈0.010, ∴有 99%的把握认为课堂效率与教学模式有关. (2)样本中的 B 模式课堂和 C 模式课堂分别是 4 节和 2 节. 分别记为 B1、B2、B3、B4、C1、C2,从中取出 2 节课共有 15 种情况: (C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1, C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4) 至少有一节课为 C 模式课堂的事件为 (C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1, C2)共 9 种 9 3 ∴至少有一节课为 C 模式课堂的概率为 = . 15 5 (理)(2015· 辽宁葫芦岛市一模)为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题,某校从高二 年级 1 000 名学生(其中走读生 450 名,住宿生 550 名)中,采用分层抽样的方法抽取 n 名学 生进行问卷调查.根据问卷取得了这 n 名同学每天晚上学习时间(单位:分钟)的数据,按照 以下区间分为八组①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),

⑦[180,210),⑧[210,240],得到频率分布直方图如图.已知抽取的学生中星期天晚上学习时 间少于 60 分钟的人数为 5 人.

(1)求 n 的值并补全频率分布直方图; (2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准, 对抽取的 n 名学生,完成下列 2×2 列联表: 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 据此资料,你是否有 95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关? (3)若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记抽到 “学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列及期望. n?n11n22-n12n21?2 参考公式:K2= n1+n2+n+1n+2 [解析] (1)设第 i 组的频率为 Pi(i=1,2,…,8),由图可知:P1= = 1 3 ×30= 1000 100 1 ∴学习时间少于 60 分钟的频率为 P1+P2= 20 1 由题意:n× =5,∴n=100. 20 1 8 1 30 1 25 1 15 又 P3= ×30= , P5= ×30= , P = ×30= , P = ×30= , P8 375 100 100 100 6 120 100 7 200 100 = 1 5 ×30= , 600 100 3 ∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)= . 25 1 2 ×30= , P2 1500 100 10 利用时间不充分 总计

3 1 1 ∴第④组的高度为:h= × = 25 30 250 频率分布直方图如图:

(注:未标明高度 1/250 扣 1 分) (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “走读生”有 45 人,“住宿生”有 55 人,其中“住宿生”中利用时间不充分的有 10 人, 从而走读生中利用时间不充分的有 25-10=15 人,利用时间充分的有 45-15=30 人, 由此可得 2×2 列联表如下: 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 30 45 75 利用时间不充分 15 10 25 总计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?n11n22-n12n21?2 100×?30×10-45×15?2 100 K= = = ≈3.030 33 75×25×45×55 n1+n2+n+1n+2
2

因为 3.030<3.841,所以没有 95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿 有关 (3)由(1)知:第①组 2 人,第②组 3 人,第⑧组 5 人,总计 10 人,则 X 的所有可能取值 为 0,1,2,3
-i Ci5C3 5 P(X=i)= 3 (i=0,1,2,3) C10

3 2 C0 10 1 C1 50 5 5C5 5C5 ∴P(X=0)= 3 = = ,P(X=1)= 3 = = , C10 120 12 C10 120 12 1 0 C2 50 5 C3 10 1 5C5 5C5 P(X=2)= 3 = = ,P(X=3)= 3 = = C10 120 12 C10 120 12

∴X 的分布列为: X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

1 5 5 1 18 3 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = 12 12 12 12 12 2 M 5 3 (或由超几何分布的期望计算公式 EX=n× =3× = ) N 10 2 14.为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,郑州市教育 局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有 200 名学生参加,为了解成绩情 况,从中选取 50 名学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完 成的频率分布表,解答下列问题: 分组 一 二 三 四 合计 频数 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 50 频率 a 15 18 b e 0.26 c 0.36 d

(1)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,现将所有学生随机地编号为 000,001,002,…, 199,试写出第二组第一位学生的编号; (2)求出 a、b、c、d、e 的值(直接写出结果),并作出频率分布直方图; (3)若成绩在 85.5~95.5 分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少 人. [解析] (1)004 (2)a,b,c,d,e 的值分别为 13,4,0.30,0.08,1. 频率分布直方图如下:

(3)由样本中成绩在 80.5~90.5 的频数为 18,成绩在 90.5~100.5 的频数为 4,可估计成 200 绩在 85.5~95.5 的人数为 11 人,故获得二等奖的学生约为 ×11=44 人. 50


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