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高考数学解析几何 第4讲 直线、圆的位置关系教案 理 新人教版


第4讲
【2013 年高考会这样考】

直线、圆的位置关系

1.考查直线与圆相交、相切的问题.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系, 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.考查与圆有关的量的计算,如半径、面积、弦长的计算. 【复习指南】 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系. 2.掌握圆的几何性质

,通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的 综合问题,体会用代数法处理几何问题的思想.

基础梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:

?Δ >0?相交; 判别式 ? (1)代数法:Δ =b2-4ac?Δ =0?相切; ― → ― ?Δ <0?相离. ?
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:d<r?相交,d=r?相切,d >r?相离. 2.圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1:(x-a1) +(y-b1) =r1(r1>0), ⊙C2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0),则有: |C1C2|>r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相离; |C1C2|=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切; |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含.
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一条规律 过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切, 其直线方程可用待定系数法, 再利用圆心到切线的 距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可. 一个指导
1

直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合, “代数法”与“几何法”是从 不同的方面和思路来判断的,“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标”与“方程”; 而“几何法”则侧重于“形”, 利用了图形的性质. 解题时应根据具体条件选取合适的方法. 两种方法 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k |xA-xB| = ? 1+k ?
2 2

[?

xA+xB?

2

-4xAxB].

说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)已知圆(x-1) +(y+2) =6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是 ( ). B.相交但直线不过圆心 D.相离
2 2

A.相切 C.相交过圆心

|2×1-2-5| 解析 由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= = 5< 6.且 2 2 +1 2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心. 答案 B 2.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0
2 2 2 2

). B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

解析 圆的方程为(x-2) +y =4,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设切线方程 为 y- 3=k(x-1), |2k-k+ 3| 3 即 kx-y-k+ 3=0,∴ =2,解得 k= . 2 3 k +1 ∴切线方程为 y- 3= 答案 D 3.(2011·安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为 ( A.-1 B.1 C.3 D.-3
2
2 2

3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 3

).

解析 由已知得圆的圆心为(-1,2),则 3×(-1)+2+a=0,∴a=1. 答案 B 4. (2012·东北三校联考)圆 O1: +y -2x=0 和圆 O2: +y -4y=0 的位置关系是( x x A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
2 2 2 2

).

解析 圆 O1 的圆心为(1,0),半径 r1=1,圆 O2 的圆心为(0,2),半径 r2=2,故两圆的圆心 距|O1O2|= 5,而 r2-r1=1,r1+r2=3,则有 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相交. 答案 B 5. (2012·沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x +y =8 相交于 A、 两点, AB|=________. B 则| 解析
2 2

如图,取 AB 中点 C, 连接 OC、OA. 则 OC⊥AB,|OA|=2 2, |OC|= |0-2×0+5| 1 +? -2?
2 2

= 5,

∴|AC|= 8-5= 3, ∴|AB|=2|AC|=2 3. 答案 2 3

考向一 直线与圆的位置关系的判定及应用 【例 1】? (2011·东莞模拟)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2) +y =1 有公共点,则直 线 l 斜率的取值范围为( A.[- 3, 3] C.?- ). B.(- 3, 3) D.?-
2 2

? ?

3 3? , ? 3 3?

? ?

3 3? , ? 3 3?

[审题视点] 设出直线 l 的点斜式方程,构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式,从而 求解. 解析 设直线 l 的方程为:y=k(x-4),即 kx-y-4k=0 |2k-4k| 1 3 3 2 则: ≤1.解得:k ≤ ,即- ≤k≤ . 2 3 3 3 1+k

3

答案 C 已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围. 【训练 1】 (2011·江西)若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同 的交点,则实数 m 的取值范围是( A.?- C.?- ). B.?-
2 2

? ? ? ?

3 3? , ? 3 3? 3 3? , ? 3 3?
2 2

? ? ? ?

3 ? ? 3? ,0?∪?0, ? 3 3? ? ? 3? ? 3 ? ?∪? ,+∞? 3? ? 3 ?

D.?-∞,-

解析 整理曲线 C1 方程得,(x-1) +y =1,知曲线 C1 为以点 C1(1,0)为圆心,以 1 为半径 的圆; 曲线 C2 则表示两条直线, x 轴与直线 l: =m(x+1), 即 y 显然 x 轴与圆 C1 有两个交点, |m? 知直线 l 与 x 轴相交,故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d= 1+1? -0| <r=1,解得 m∈ m2+1

3 3? ? ?- , ?,又当 m=0 时,直线 l 与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故选 B 3? ? 3 答案 B 考向二 圆与圆的位置关系的判定及应用 【例 2】? 若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a= ________. [审题视点] 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程,再利用半径、弦长的一半及弦心距构 成的直角三角形解得. 解析 两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x +y +2ay-6)-(x +y )=0-4? y 1 1 = ,又 a>0,结合图象,再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知 =
2 2 2 2 2 2 2 2

a

a

2 -? 答案 1

2

3?

2

=1? a=1.

当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长, 只要把两圆方程相减消 掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程, 再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公 共弦长. 【训练 2】 (2011·济南模拟)两个圆:C1:x +y +2x+2y-2=0 与 C2:x +y -4x-2y+1 =0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条
2 2 2 2 2

). D.4 条
2 2 2

解析 由题知 C1:(x+1) +(y+1) =4,则圆心 C1(-1,-1),C2:(x-2) +(y-1) =4, 圆心 C2(2,1),两圆半径均为 2,又|C1C2|= ? ? 只有两条外公切线,故选 B.
4

2+1?

2

+?

1+1?

2

= 13<4,则两圆相交

答案 B 考向三 直线与圆的综合问题 【例 3】? (2012·福州调研)已知⊙M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切 ⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (1)若|AB|= ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程; 3 (2)求证:直线 AB 恒过定点. [审题视点] 第(1)问利用平面几何的知识解决;第(2)问设点 Q 的坐标,从而确定点 A、B 的坐标与 AB 的直线方程. 2 (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 2,又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,得|MP|= 3 8 1 2 1- = , 9 3 |MA| 又∵|MQ|= ,∴|MQ|=3. |MP| 设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x +2 =3,得 x=± 5, 则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0). 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. (2)证明 设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方程为
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x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,即为 qx-2y+3=0,所以直

? 3? 线 AB 恒过定点?0, ?. ? 2?
在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用, 如在直线与圆相 交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放 在一起综合考虑,不要单纯依靠代数计算,这样既简单又不容易出错. 【训练 3】 已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 解
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(1)如图所示,|AB|=4 3,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB,
5

∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6).在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 满足题意,此时方程为 x=0. 3 当 k= 时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 4 ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y),则 CD⊥PD, → → 即CD·PD=0,∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0, 化 简 得 所 求 轨 迹 方 程 为 |-2k-6+5|

k +? -1?

2

2

3 =2,得 k= .又直线 l 的斜率不存在时,也 4

x2 + y2 + 2x - 11y + 30 = 0.

难点突破 20——高考中与圆交汇问题的求解 从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了, 因此也就成了高考命题的一 个新热点.由于圆的特有性质,使其具有很强的交汇性,在高考中圆可以直接或间接地综合 出现在许多问题之中,复习备考时值得重视. 一、圆与集合的交汇 【示例】? (2011·江苏)A = ?? x,y? ? ?2 ? ?
? ?

?m

≤?

x-2?

2

+y ≤m ,x,y∈R? , B ={(x ,
? ?

2

2

? ?

y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________.

二、圆与概率的交汇
6

【示例】? (2011·湖南)已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________.

2

2

三、圆与圆锥曲线交汇 【示例】? (2010·陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 ). B.1 C.2 D.4
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