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2016届江苏省镇江市高三年级第一次模拟考试数学(解析版)


2016 年江苏省镇江市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程. 1.若全集为 U=R,A={x|x2﹣x>0},则?UA= . 2.i 为虚数单位,计算 = .

3.箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 .

4.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+y 的最小值是



5.阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是



6.已知向量 =(﹣2,1) , =(1,0) ,则|2 + |=

. 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1﹣log2x,则不等式 f(x) <0 的解集是 . 8.设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,现给出下列命题: ①若 b?α,c∥α,则 b∥c; ②若 b?α,b∥c,则 c∥α; ③若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β; ④若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号) 2 9. 以抛物线 y =4x 的焦点为焦点, 以直线 y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为 . 10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍,若圆锥底面半径为 cm,则圆锥的体积是 cm3. 11.函数 y=asin(ax+θ) (a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值 为 . 12.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 ,则 = .

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13.函数

,若方程 f(x)=kx﹣k 有两个不相等的实数根,则

实数 k 的取值范围为 . 14.已知 sin36°=cos54°,可求得 cos2016°的值为



二、解题题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,PD=PC,底面 ABCD 是直角梯形 AB⊥BC,AB∥CD, CD=2AB,点 M 是 CD 的中点. (1)求证:AM∥平面 PBC; (2)求证:CD⊥PA.

16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,向量 =(a﹣c,b+c) , =(b ﹣c,a) ,且 ∥ . (1)求 B; (2)若 b= ,cos(A+ )= ,求 a.

17. 如图, 某工业园区是半径为 10km 的圆形区域, 距离园区中心 O 点 5km 处有一中转站 P, 现准备在园区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站,公路 AB 把园区分成两个区域. (1)设中心 O 对公路 AB 的视角为 α,求 α 的最小值,并求较小区域面积的最小值; (2)为方便交通,准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD,求两 条公路长度和的最小值.

18.已知在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左顶点

为 A(﹣3,0) ,圆心在原点的圆 O 与椭圆的内接三角形△ AEF 的三条边都相切. 1 ( )求椭圆方程; (2)求圆 O 方程; (3)B 为椭圆的上顶点,过 B 作圆 O 的两条切线,分别交椭圆于 M,N 两点,试判断并证 明直线 MN 与圆 O 的位置关系.

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19.已知数列{an}的各项都为自然数,前 n 项和为 Sn,且存在整数 λ,使得对任意正整数 n 都有 Sn=(1+λ)an﹣λ 恒成立. (1)求 λ 值,使得数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}为等比数列,此时存在正整数 k,当 1≤k<j 时,有 20.已知函数 f(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2a+1]ex. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b2a﹣1 恒成立,求正数 b 的范围. ai=2016,求 k.

[选修 4-1:几何证明选讲] 21.在直径是 AB 的半圆上有两点 M,N,设 AN 与 BM 的交点是 P.求证: AP?AN+BP?BM=AB2.

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.求矩阵 的特征值及对应的特征向量.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l 的极坐标方程为 ,曲线 C 的参数方程为 ,

设 P 点是曲线 C 上的任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:x+ ≥y+3.

25.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1E=CF=1. (1)求两条异面直线 AC1 与 D1E 所成角的余弦值; (2)求直线 AC1 与平面 BED1F 所成角的正弦值.

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26.证明:对一切正整数 n,5n+2?3n﹣1+1 能被 8 整除.

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2016 年江苏省镇江市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程. 1.若全集为 U=R,A={x|x2﹣x>0},则?UA= [0,1] . 【考点】补集及其运算. 【分析】求解一元一次不等式化简集合 A,然后直接利用补集运算求解. 【解答】解:由集合 A={x|x2﹣x>0}=(﹣∞,0)∪(1,+∞) , 又 U=R,所以?UA=[0,1]. , 故答案为:[0,1].

2.i 为虚数单位,计算

=

﹣ i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: 故答案为: ﹣ i. = .

3.箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 先求出基本事件总数和摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数, 由此能求出摸到 的 2 球颜色不同的概率. 【解答】解:箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球, 基本事件总数 n= =10, =6,

摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数 m= ∴摸到的 2 球颜色不同的概率 p= 故答案为: . .

4.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+y 的最小值是 1 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论.
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【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线的截距最小, 此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 C(1,﹣1) ,此时 z=1×2﹣1=1, 1 故答案为: .

5.阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是 240 .

【考点】程序框图. 【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=0 时,满足条件 n<2, 退出循环,输出 S 的值,利用等差数列的求和公式即可计算得解. 【解答】解:执行程序框图,有 n=30 S=0 不满足条件 n<2,S=30,n=28 不满足条件 n<2,S=30+28,n=26
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不满足条件 n<2,S=30+28+26,n=24 … 不满足条件 n<2,S=30+28+26+…+4,n=2 不满足条件 n<2,S=30+28+26+…+4+2,n=0 满足条件 n<2,退出循环,输出 S=30+28+26+…+4+2= 故答案为:240. 6.已知向量 =(﹣2,1) , =(1,0) ,则|2 + |= 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 可进行向量坐标的加法和数乘运算求出向量 的值. 【解答】解: ∴ 故答案为: . . ; . 的坐标, 从而便可得出 =240.

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1﹣log2x,则不等式 f(x) <0 的解集是 (﹣2,0)∪(2,+∞) . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】求出当 x>0 时,f(x)>0 和 f(x)<0 的解集,利用奇函数的对称性得出当 x< 0 时,f(x)<0 的解集,从而得出 f(x)<0 的解集. 【解答】解:当 x>0,令 f(x)<0,即 1﹣log2x<0,解得 x>2. 令 f(x)>0 即 1﹣log2x>0,解得 0<x<2. ∵f(x)是奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)<0 的解为﹣2<x<0. 故答案为: (﹣2,0)∪(2,+∞) . 8.设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,现给出下列命题: ①若 b?α,c∥α,则 b∥c; ②若 b?α,b∥c,则 c∥α; ③若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β; ④若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β. 其中正确的命题是 ④ . (写出所有正确命题的序号) 【考点】平面的基本性质及推论. 【分析】由题设条件,对四个选项逐一判断即可,①选项用线线平行的条件进行判断;② 选项用线面平行的条件判断;③选项用线面垂直的条件进行判断;④选项用面面垂直的条 件进行判断, 【解答】解:①选项不正确,因为线面平行,面中的线与此线的关系是平行或者异面; ②选项不正确,因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行; ③选项不正确,因为两面垂直,与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行,在面 内也可能垂直; ④选项正确,因为线与面平行,线垂直于另一面,可证得两面垂直.
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其中正确的命题是④. 故答案为:④.

9.以抛物线 y2=4x 的焦点为焦点,以直线 y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为 =1 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 设以直线 y=±x 为渐近线的双曲线的方程, 再由双曲线经过抛物线 y2=4x 焦点 F (1, 0) ,能求出双曲线方程. 【解答】解:设以直线 y=±x 为渐近线的双曲线的方程为 x2﹣y2=λ(λ≠0) , 2 ∵双曲线经过抛物线 y =4x 焦点 F(1,0) , ∴λ+λ=1, ∴λ=

∴双曲线方程为:

=1.

故答案为:

=1.

10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍, 若圆锥底面半径为 cm, 则圆锥的体积是 3π 3 cm . 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】根据面积比计算圆锥的母线长,得出圆锥的高,代入体积公式计算出圆锥的体积. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则 S 侧面积=πrl= ,S 底面积=πr2=3π. =2×3π,解得 l=2 . ∴ ∴圆锥的高 h= ∴圆锥的体积 V= 故答案为:3π. 11.函数 y=asin(ax+θ) (a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值 为 2 . 【考点】正弦函数的图象. 【分析】 根据题意画出图形, 结合图形利用勾股定理即可求出图象上的一个最高点和其相邻 最低点的距离的最小值. =3. = =3π.

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【解答】解:如图所示,

函数 y=asin(ax+θ) (a>0,θ≠0)图象上的一个最高点 M N 和其相邻最低点 的距离的最小值为: |MN|= = ≥ =2 ,

当且仅当 4a2= 故答案为:2

,即 a= .

时取“=”.

12.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 【考点】等差数列的前 n 项和.

,则

=



【分析】利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式推导出 a1=d,由此能求出

的值.

【解答】解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,





=

= = ,

∴3a1=2a1+d, ∴a1=d, ∴ = = = .

故答案为: .

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13.函数

,若方程 f(x)=kx﹣k 有两个不相等的实数根,则

实数 k 的取值范围为



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】作出 f(x)的图象,利用数形结合建立条件关系进行求解即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: y=kx﹣k=k(x﹣1) ,过定点 A(1,0) , 当 x=﹣ 时,f(﹣ )= ,即 B(﹣ , ) , 当直线经过点 B(﹣ , )时,f(x)与 y=kx﹣k 有两个不相同的交点, 此时 =k(﹣ ﹣1)=﹣ k, 即 k=﹣ , 当 x>0 时,由 f(x)=kx﹣k 得 x2﹣x=kx﹣k, 即 x2﹣(1+k)x+k=0, 若此时 f(x)=kx﹣k 有两个不相等的实数根, 则 即 k>1, 综上 k>1 或 k=﹣ , 故答案为: ,

14.已知 sin36°=cos54°,可求得 cos2016°的值为 ﹣ 【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】利用诱导公式即可化简求值.
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. .

【解答】解:∵sin36°=cos54° ?2sin18°cos18°=cos(18°+18°+18°) ?2sin18°cos18°=cos(18°+18°)cos18°﹣sin(18°+18°)sin18° ?2sin18°cos18°=(2cos218°﹣1)cos18°﹣2sin218°cos18° ?2sin18°cos18°=2cos318°﹣cos18°﹣2sin218°cos18° ?2sin18°=2cos218°﹣1﹣2sin218° ?4sin218°+2sin18°﹣1=0 ?sin18°= = ,

∴cos2016°=cos=﹣cos36°=2sin218°﹣1=﹣ 故答案为:﹣ .



二、解题题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,PD=PC,底面 ABCD 是直角梯形 AB⊥BC,AB∥CD, CD=2AB,点 M 是 CD 的中点. (1)求证:AM∥平面 PBC; (2)求证:CD⊥PA.

【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)推导出四边形 ABCM 是平行四边形,从而 AM∥BC,由此能证明 AM∥平面 PBC. (2)由 PD=PC,点 M 是 CD 的中点,得 PM⊥CD,由 AB⊥BC,AB∥CD,AM∥BC,得 CD⊥AM,从而 CD⊥平面 PAM,由此能证明 CD⊥PA. 【解答】证明: (1)∵底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点, ∴AB CM,∴四边形 ABCM 是平行四边形,

∴AM∥BC, ∵AM?平面 PBC,BC?平面 PBC, ∴AM∥平面 PBC. (2)∵PD=PC,点 M 是 CD 的中点, ∴PM⊥CD, ∵底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,AM∥BC, ∴CD⊥AM, ∵PM∩AM=M,
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∴CD⊥平面 PAM, ∵PA?平面 PAM, ∴CD⊥PA.

16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,向量 =(a﹣c,b+c) , =(b ﹣c,a) ,且 ∥ . (1)求 B; (2)若 b= ,cos(A+ )= ,求 a.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;正弦定理. 【分析】 (1)根据向量的平行和余弦定理即可求出 B; (2)根据同角的三角函数的关系以及两角和差的正弦公式和正弦定理即可求出. 【解答】解: (1)因为 ∥ ,所以 a2+c2﹣b2=ac, 因为 cosB= 因为 B∈(0,π) 所以 B= . ∈( , ) , )= , = , , = = ,

(2)因为 A+ cos(A+ )=

,所以 sin(A+ )﹣ ]=

所以 sinA=sin[(A+

在△ ABC 中,由正弦定理可得: 解得 a=1.

17. 如图, 某工业园区是半径为 10km 的圆形区域, 距离园区中心 O 点 5km 处有一中转站 P, 现准备在园区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站,公路 AB 把园区分成两个区域. (1)设中心 O 对公路 AB 的视角为 α,求 α 的最小值,并求较小区域面积的最小值; (2)为方便交通,准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD,求两 条公路长度和的最小值.

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【考点】解三角形. 【分析】 (1)连结 OA,OB,利用余弦定理求出 AB,根据圆的性质求出 AB 的最值,列出 不等式求出 α 的范围;使用作差法求出弓形的面积; CD 的垂线段 OE, OF, (2) 过 O 分别作 AB, 设 AB=x, 根据勾股定理和垂径定理求出 CD, AB+CD 是关于 x 的函数,利用导数求出该函数的最小值. 【解答】解: (1)连结 OA,OB,则∠AOB=α,OA=OB=10,在△ AOB 中,由余弦定理得 AB= = . =10 ,当 AB 过圆心 O 时,AB

∵OP=5,∴当 OP⊥AB 时,AB 取得最小值 2 取得最大值 20, ∴10 ≤ ≤20,解得﹣1≤cosα≤﹣ .∴ ﹣

≤α≤π.∴α 的最小值为



=S 扇形 OAB﹣S△ AOB= 较小区域面积 S (α) (α)=50﹣50cosα>0, ∴S(α)在[ ,π]上是增函数,∴Smin(α)=S(

=50α﹣50sinα. ∴S′

)=

﹣25

(km2) . ,DF= ,

(2)过 O 分别作 AB,CD 的垂线段 OE,OF,则四边形 OEPF 是矩形,AE=

设 AB=x,则 OE=

=



∴OF=PE=

=

,∴DF=

=



∴CD=2DF=2

=



∴AB+CD=x+

.∴(AB+CD)2=700+2x

=700+2



令 f(x)=700x2﹣x4,则 f′(x)=1400x﹣4x3,令 f′(x)=0 得 x=0(舍)或 x= 或 x= ﹣ (舍) . 10 x ≤ 当 < 时,f′(x)>0,当 <x≤20 时,f′(x)<0. ∴f(x)在[10 , ]上是增函数,在[ ,20]上是减函数. ∵f(10 )=120000,f(20)=120000,∴f(x)的最小值为 120000. =700+400 =(10 +20)2,∴AB+CD 的最 ∴(AB+CD)2 的最小值是 700+2 小值是 10 +20(km) .
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18.已知在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左顶点

为 A(﹣3,0) ,圆心在原点的圆 O 与椭圆的内接三角形△ AEF 的三条边都相切. (1)求椭圆方程; (2)求圆 O 方程; (3)B 为椭圆的上顶点,过 B 作圆 O 的两条切线,分别交椭圆于 M,N 两点,试判断并证 明直线 MN 与圆 O 的位置关系.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程即可得到椭圆的方程; (2)设圆 O 的方程为 x2+y2=r2,由圆 O 与椭圆的内接三角形△ AEF 的三条边都相切,可设 直线 EF:x=r,代入椭圆方程,求得 E 的坐标,再由直线 AE 和圆相切的条件:d=r,解方 程即可得到圆 O 的方程; (3)设切线的方程为 y=kx+ ,由直线和圆相切的条件:d=r,求得 k,代入椭圆方程,解 方程可得 M 的坐标,N 的坐标,求得直线 MN 的方程,求得 O 到直线 MN 的距离,即可判 断 MN 和圆 O 的为位置关系. 【解答】解: (1)由题意可得 a=3,e= = 解得 c= 可得 b= , = , ,

即有椭圆的方程为

+

=1;

(2)设圆 O 的方程为 x2+y2=r2, 由圆 O 与椭圆的内接三角形△ AEF 的三条边都相切, 可设直线 EF:x=r,代入椭圆方程,解得 E(r, ) ,

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可得直线 AE:y=

(x+3) ,

由相切的条件,可得 d= 化为(r﹣1) (r+3)2=0,解得 r=1, 即有圆 O:x2+y2=1;

=r,

(3)B(0, ) ,设切线的方程为 y=kx+ ,

由直线和圆相切的条件可得

=1,

解得 k=±



由 y=

x+ ,代入椭圆方程

+

=1,

解得 x=﹣ ,y=﹣1. 可设 M(﹣ ,﹣1) ; 同理可得 N( ( ,﹣1) , 即有直线 MN:y=﹣1. 显然圆心 O 到直线 MN 的距离为 1, 则直线 MN 和圆 O 相切. 19.已知数列{an}的各项都为自然数,前 n 项和为 Sn,且存在整数 λ,使得对任意正整数 n 都有 Sn=(1+λ)an﹣λ 恒成立. (1)求 λ 值,使得数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}为等比数列,此时存在正整数 k,当 1≤k<j 时,有 【考点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)当 λ≠0 时,推导出 a1=1, ,从而{an}不可能是等差数列; ai=2016,求 k.

当 λ=0 时,推导出数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为 an=0. (2)由题意得 a1=1, ,Sn= ,由此利用极限性质能

求出结果. 【解答】解: (1)①当 λ≠0 时,a1=S1=(1+λ)a1﹣λ, 解得 a1=1, an=Sn﹣Sn﹣1=(1+λ) (an﹣an﹣1) , 解得 ,

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∵1+

≠1,∴λ≠0 时,{an}不可能是等差数列.

②当 λ=0 时,an=Sn﹣Sn﹣1=an=an﹣an﹣1,n≥2, 解得 an﹣1=0, ∴λ=0 时,数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为 an=0. 综上:λ=0 使得数列{an}为等差数列,数列{an}的通项公式为 an=0. (2)由题意得 an≠0,则 λ≠0,∴a1=1, ,Sn=﹣λ[1﹣(1+ ∵当 j→+∞时,1≤k<j 时,有 )n]= ,

ai=2016,

∴ ∴ ∴﹣1<1+

= =0, <1,解得 λ<﹣ , )k﹣1]=﹣λ﹣2016,

为定值,

=﹣λ,

则 Sk=λ[(1+ 解得 k=



20.已知函数 f(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2a+1]ex. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b2a﹣1 恒成立,求正数 b 的范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导,对 a 分类讨论,利用导数即可得出其单调性; m], (2) 由题意, 将原式转化成 2a﹣1≥b2a﹣1 恒成立, 换元将 2a﹣1=t∈[2, 构造辅助函数 =g(t) ,求导,根据导数求得函数的单调区间,由函数 g(2)=g(4) ,对 m 分类讨论,根 据对数函数的运算现在求得 b 的取值范围. 【解答】解: (1)f′(x)=(ax2﹣x)ex=x(ax﹣1)ex. 当 a=0,则 f′(x)=﹣xex,令 f′(x)>0,则 x<0,令 f′(x)<0,则 x>0; 若 a<0,由 f′(x)>0,解得: <x<0,f′(x)<0,解得:x>0 或 x< , 若 a>0,由 f′(x)>0,解得:0<x< ,f′(x)<0,解得:x> 或 x<0, 综上可得: 当 a=0 时,函数 f(x)的增区间为(﹣∞,0) ,减区间为(0,+∞) ; 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间为( ,0) ,减区间为(0,+∞) , (﹣∞, ) ;
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当 a>0 时,函数 f(x)的增区间为( ,+∞) , (﹣∞,0) ,减区间为(0, ) ; (2)f(x)≥b2a﹣1 ∴ ≥b2a﹣1 恒成立,f( )≥b2a﹣1 恒成立,

,即 2a﹣1≥b2a﹣1 恒成立,

由 2a∈[3,m+1],令 2a﹣1=t∈[2,m],则 t≥bt, 所以 lnb≤ =g(t) ,

由 g′(t)=

,g(t)在(0,e)上递增, (e,+∞)上递减,且 g(2)=g(4) ,

当 2<m<4 时,g(t)min=g(2)= 当 m>4 时,g(t)min=g(m)= 故:当 2<m<4 时,0<b< 当 m>4 时,0<b< . ;

,从而 lnb≤ ,从而 lnb≤

,解得:0<b< ,解得:0<b< ,



[选修 4-1:几何证明选讲] 21.在直径是 AB 的半圆上有两点 M,N,设 AN 与 BM 的交点是 P.求证: AP?AN+BP?BM=AB2.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】作 PE⊥AB 于 E,先证明 P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆,得到两 对乘积式,后相加即可得到结论. 【解答】证明:作 PE⊥AB 于 E∵AB 为直径, ∴∠ANB=∠AMB=90° ∴P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆. AE?AB=AP?AN(1) BE?AB=BP?BM(2) (1)+(2)得 AB(AE+BE)=AP?AN+BP?BM 即 AP?AN+BP?BM=AB2

[选修 4-2:矩阵与变换]
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22.求矩阵

的特征值及对应的特征向量.

【考点】特征值与特征向量的计算. 【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f(λ)=0 解方程可得特征值,再由特征 值列出方程组即可解得相应的特征向量. 【解答】解:特征多项式 f(λ)═ 由 f(λ)=0,解得 λ1=2,λ2=4 将 λ1=2 代入特征方程组,得 ?x+y=0,可取 为属于特征值 λ1=2 的一个特征向量 ?x﹣y=0, =(λ﹣3)2﹣1=λ2﹣6λ+8

同理,当 λ2=4 时,由 所以可取

为属于特征值 λ2=4 的一个特征向量. 有两个特征值 λ1=2,λ2=4; ,属于 λ1=4 的一个特征向量为 .

综上所述,矩阵

属于 λ1=2 的一个特征向量为 [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l 的极坐标方程为

,曲线 C 的参数方程为



设 P 点是曲线 C 上的任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 【考点】直线和圆的方程的应用;简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. y=ρsinθ 【分析】 首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入 x=ρcosθ, 和化简为平面直角坐标系中的直线方程,利用三角函数的基本关系及 化简得到

圆的一般式方程, 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离, 然后即可求出曲线 上 P 到直线 l 的距离的最大值. 【解答】解: ∴ 由 得 x2+y2=4

∴圆心到直线 l 的距离 所以,P 到直线 l 的距离的最大值为 d+r=5? ? [选修 4-5:不等式选讲]
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24.设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:x+ 【考点】基本不等式;三角函数恒等式的证明. 【分析】根据基本不等式的性质证明即可. 【解答】证明:x﹣y+ = + + , =(x﹣y)+

≥y+3.

因为 x>y,x﹣y>0, 所以 + + ≥3 =3,

当且仅当 此时 x﹣y=2.

=

=

取等号,

25.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1E=CF=1. (1)求两条异面直线 AC1 与 D1E 所成角的余弦值; (2)求直线 AC1 与平面 BED1F 所成角的正弦值.

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角; 用空间向量求直线间的夹角、距离. 【分析】 (1)以以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,则我们易求出已知中,各点的 坐标,进而求出向量 , 的坐标.代入向量夹角公式,结合异面直线夹角公式,即可

得到答案. (2)设出平面 BED1F 的一个法向量为 ,根据法向量与平面内任一向量垂直,数量积为 0, 构造方程组,求出平面 BED1F 的法向量为 的坐标,代入线面夹角向量公式,即可求出答 案. 【解答】解: (1)以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示:

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则 A(3,0,0) ,C1=(0,3,3) ,D1=(0,0,3) ,E(3,0,2) ∴ =(﹣3,3,3) , =(3,0,﹣1)

∴cosθ=

=

=﹣

则两条异面直线 AC1 与 D1E 所成角的余弦值为 (2)B(3,3,0) , =(0,﹣3,2) , =(3,0,﹣1)

设平面 BED1F 的一个法向量为 =(x,y,z) 由 得

令 x=1,则 =(1,2,3) 则直线 AC1 与平面 BED1F 所成角的正弦值为 | |= =

26.证明:对一切正整数 n,5n+2?3n﹣1+1 能被 8 整除. 【考点】数学归纳法. 【分析】根据题意,运用数学归纳法进行证明: (1)证明 n=1 时结论成立, (2)假设当 n=k, * k k﹣1 (k≥2,k∈N ) ,结论成立,即 5 +2?3 +1 能被 8 整除,进而证明当 n=k+1 时,5k+1+2?3k+1 可以被 8 整除,综合即可得证明. 【解答】证明: (1)当 n=1 时,5n+2?3n﹣1+1=8,显然能被 8 整除, 即 n=1 时,结论成立 (2)假设当 n=k, (k≥2,k∈N*) ,结论成立, k k﹣1 则 5 +2?3 +1 能被 8 整除,设 5k+2?3k﹣1+1=8m,m∈N*, 当 n=k+1 时,5k+1+2?3k+1=5(5k+2?3k﹣1+1)﹣4?3k﹣1﹣4 =5(5k+2?3k﹣1+1)﹣4?(3k﹣1+1) 而当 k≥2,k∈N*时 3k﹣1+1 显然为偶数,设为 2t,t∈N*, 故=5(5k+2?3k﹣1+1)﹣4?(3k﹣1+1)=40m﹣8t(m,t∈N*) , 也能被 8 整除,故当 n=k+1 时结论也成立;
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由(1) (2)可知对一切正整除 n,5n+2?3n﹣1+1 能被 8 整除.

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2016 年 7 月 21 日

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