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2012年普通高校招生考试新课标全国卷理数


2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷

时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的。 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的 个数为 A.3 B.6 C.8 D.10 2.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组有 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 (3)下面是关于复数 z= P1: z =2
2 ?1 ? i
2

的四个命题

p2: z =2i P4 :z 的虚部为-1 C P2,P4 D P3 P4

P3:z 的共轭复数为 1+I 其中真命题为 A P2 ,P3 B P1 ,P2

(4)设 F1, 是椭圆 E: F2

x a
2

2

+

y b
2

2

=1 (a>b>0)的左、 右焦点 , 为直线 x= P

2a 3

上的一点,

△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为 A
1 2

B

2 3

C

3 4

D

4 5

(5)已知{an}为等比数列, a4+a1=2 a5a6=-8

则 a1+a10 =

A.7

B.5

C-5

D.-7

(6)如 果执 行右 边的 程序图 ,输 入正 整数 N (N≥ 2 )和 实数 a1.a2, …an , 输 入 A,B, 则

第 1/6 页

(A)A+B 为 a1a2,…,an 的和 (B)
A? B 2

为 a1a2.…,an 的算式平均数

(C)A 和 B 分别是 a1a2,…an 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1a2,…an 中最小的数和最大的数 (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体 的体积为

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 (8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y?=16x 的准线交于 A,

B 两点,

,则 C 的实轴长为
第 2/6 页

(A)

2

(B) 2

2

(C)4(D)8 在?
?? ? , ? ? 单调递减,则 w 的取值范围是 ? 2 ?

(9)已知 w>0,函数

(A)

(B)

(C)

(D) (0,2]

(10)已知函数

,则 y=f(x)的图像大致为

(11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为

(A)

2 6

(B)

3 6

(C)

2 3

(D)

2 2

(12)设点 P 在曲线

上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为

(A)1-ln2(B)

(C)1+ln2(D)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考试依据要求作答。 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

第 3/6 页

(13)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|=

,则|b|=____________.

(14)设 x,y 满足约束条件

则 z=x-2y 的取值范围为__________.

(15) ,某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且 元件 3 正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态 分布 N(1000,502) ,且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________________.

(16)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c。 (18) (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 。

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列、数 学期望及方差; (ⅱ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由。 (19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=
1 2

AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD。

第 4/6 页

(1) 证明:DC1⊥BC; (2) 求二面角 A1-BD-C1 的大小。 (20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1) 若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2) 若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+ (1) 求 f(x)的解析式及单调区间; (2) 若 f(x)≥
1 2 1 2

x2.

x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值。

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请 写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆于 F,G 两 点,若 CF∥AB,证明:

(Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD △GBD。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

第 5/6 页

已知曲线 C1 的参数方程式

( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程式 ? =2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且 A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 ? 2 ,
? ?

? ?

?。 2 ?

(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)当 a=-3 时,求不等式(x) ? 3 的解集; (2)若 f(x)≤ 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。 的取值范围。

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