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一轮复习精品讲义:第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

基础盘查一 函数的有关概念 (一)循纲忆知 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射( ) ) ) ) )

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 最多有 2 个交点( (3)函数 f(x)=x2-2x 与 g(t)=t2-2t 是同一函数(

(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数( (5)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A 到 B 的映射( 2.函数 f(x)= x-4 的定义域是________________. |x|-5

3.已知函数 y=f(n),满足 f(1)=2,且 f(n+1)=3f(n),n∈N*,则 f(4)=________. 基础盘查二 分段函数 (一)循纲忆知 了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段). (二)小题查验 1.判断正误
? ?1,x≥0, (1)函数 f(x)=? 是分段函数( ?-1,x<0, ?

)

? 1-x2,-1≤x≤1, (2)若 f(x)=? ?x+1,x>1或x<-1, ? 1-x2,-1≤x≤1, 则 f(-x)=? ( ?-x+1,x>1或x<-1
)

2. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________, 其值域等于各段函数的值域的 ________.

1

x ? ?4 ,x≤1, 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1, ?

考点一 函数的概念|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.函数的定义 设 A、B 为两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数,记作 y=f(x). 2.函数的三要素

[题组练透] 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x2 2.下列所给图象是函数图象的个数为( ) x-1 x-1

B.y= x-1与 y=

x D.y=lg x-2 与 y=lg 100 )

A.1 C.3

B.2 D.4 [类题通法]

两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 考点二 函数的定义域问题|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分,研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.
2

常见的命题角度有: (1)求给定函数解析式的定义域; (2)求抽象函数的定义域; (3)已知定义域确定参数问题.

角度一:求给定函数解析式的定义域 1.函数 f(x)= 1-|x-1| (a>0 且 a≠1)的定义域为________. ax-1

1? 2 2.(2013· 安徽高考)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________. 角度二:求抽象函数的定义域 f?x+1? 3.若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 014],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,2 013] C.(1,2 014] B.[0,1)∪(1,2 013] D.[-1,1)∪(1,2 013] ) )

4.若函数 f(x2+1)的定义域为[-1,1],则 f(lg x)的定义域为( A.[-1,1] C.[10,100] 角度三:已知定义域确定参数问题 5.(2015· 合肥模拟)若函数 f(x)= ________. B.[1,2] D.[0,lg 2]

2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)已知 f(x)的定义域是[a, b] , 求 f(g(x))的定义域, 是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围, 而已知 f(g(x))的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b]. 考点三 求函数的解析式|(重点保分型考点——师生共研) (1)函数的解析式是表示函数的一种方法,对于不是 y=f(x)的形式,可根据题目的条件 转化为该形式. (2)求函数的解析式时, 一定要注意函数定义域的变化, 特别是利用换元法求出的解析式, 不注明定义域往往导致错误. 1? 2 1 (1)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式;

3

2 ? (2)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x); 1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f? ?x?· x-1,求 f(x). 求函数解析式常用的方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; 1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [演练冲关] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 考点四 分段函数|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数. [提醒] 分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. [典题例析]
?log3x,x>0, ? 1.已知 f(x)=? x 且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( ? ?a +b,x≤0,

)

A.-2 C.3

B.2 D.-3

? ?2x+a,x<1, 2. 已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1. ?

[类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段
4

的自变量的取值范围. [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [演练冲关] 1 ? ?2x+1, x≤0, (2015· 榆林二模)已知 f(x)=? ? ?-?x-1?2, x>0, 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________.

一、选择题 1+x 1.(2015· 大同调研)设全集为 R,函数 f(x)=ln 的定义域为 M,则?RM=( 1-x A.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.[-1,1] ) )

2 ? ?x +1,x≤1, ? 2.已知函数 f(x)= x 若 f(f(1))=4a,则实数 a 等于( ?2 +ax,x>1, ?

1 A. 2 C.2

4 B. 3 D.4 )

3.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( A.g(x)=2x2-3x C.g(x)=3x2+2x 4.函数 f(x)= A.[1,10] C.(1,10] 10+9x-x2 的定义域为( lg?x-1? B.g(x)=3x2-2x D.g(x)=-3x2-2x ) B.[1,2)∪(2,10] D.(1,2)∪(2,10]

5 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) =

? x,x<A, ?c ? A,x≥A,
A.75,25 C.60,25

c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用

时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是(

) B.75,16 D.60,16

1? 6.?创新题?具有性质: f? 我们称为满足“倒负”变换的函数, 下列函数: ?x?=-f(x)的函数,

5

x,0<x<1, ? ? 1 1 0,x=1, ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x ,x>1. ?-1 ? x 其中满足“倒负”变换的函数是( A.①② C.②③ ) B.①③ D.①

二、填空题 7.(2015· 太原月考)已知 y=f(2x)的定义域为[-1,1],则 y=f(log2x)的定义域是________. 1? 8.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?2?log2x,则 f(2)=________. 9.已知函数 y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数 y=f(x)的定义域为________.
x ? ?3 +a,x≥0, 10.(2015· 岳阳模拟)已知奇函数 f(x)=? 则 f(-2)的值为________. ?g?x?,x<0, ?

三、解答题 1? x 11.(1)如果 f? ?x?=1-x,则当 x≠0 且 x≠1 时,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式.

12.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 3 所示. 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元?

6

第二节

函数的单调性与最值

基础盘查一 函数的单调性 (一)循纲忆知 1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. (二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( (2)函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3)( ) )

(3) 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变 量”( ) ) )

1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)( x

(5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)( 2.函数 y=x2-2x(x∈[2,4])的增区间为________.

3.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的取值范围是________. 基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知 1.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的最值. (二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的单调函数都有最值( ) )

1 1 (2)函数 y= 在[1,3]上的最小值为 ( x 3

2 2. (人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)= (x∈[2,6]), 则函数的最大值为________. x-1

7

考点一 函数单调性的判断|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定义法 设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.导数法 在某个区间(a, b)内, 如果 f′(x)>0, 那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递增; 如果 f′(x) <0,那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递减. [题组练透] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x 1 C.f(x)=- x+1 )

B.f(x)=x2-3x D.f(x)=-|x|

ax 2.讨论函数 f(x)= 2 (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x -1 [类题通法] 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数判断.但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义法 进行判断. 考点二 求函数的单调区间|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [典题例析] 求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; 1 (2)y=log (x2-3x+2). 2

8

[类题通法] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写 出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. [提醒] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分

别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. [演练冲关] 1.若将典例(1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何? 解:函数 y=|-x2+2x+1|的图象如图所示. 由图象可知,函数 y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1- 2, 1)和(1+ 2,+∞);单调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1+ 2). 2.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - 定义函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,求函 2 ?k,f?x?>k, ?

数 fk(x)的单调递增区间. 1 解:由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2 ,x≥1, ? ?1 1 所以 f (x)=?2,-1<x<1, 2 ? ?2 ,x≤-1.
x
-x

1 故 f (x)的单调递增区间为(-∞,-1). 2 考点三 函数单调性的应用|(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标;函数的最小值 对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在

9

区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最 小值 f(b). [多角探明] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某 一问中. 函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)利用单调性求参数的取值范围或值.

角度一:求函数的值域或最值 1 ? ?x,x≥1, 1.函数 f(x)=? 的最大值为________. 2 ? ?-x +2,x<1 角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小 1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 角度三:解函数不等式 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x -8)≤2 时,x 的取值范围是( A.(8,+∞) C.[8,9] ) B.(8,9] D.(0,8) B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

角度四:利用单调性求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 4. 已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2, 都有 <0 成立, x1-x2 ? ??2? -1,x<2 则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(-∞,2] ) 13 -∞, ? B.? 8? ?

? 13 ? D.? 8 ,2 ? ? ?
[类题通法]

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函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数 的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.

一、选择题 1.(2014· 北京高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 C.y=2
-x

)

B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1) ) B.[-1,0] D.[2,+∞)

2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2]

3.(2015· 黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称, 且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则( 1? ?3? ?2? A.f? ?3?<f?2?<f?3? 2? ?1? ?3? C.f? ?3?<f?3?<f?2? ) 2? ?3? ?1? B.f? ?3?<f?2?<f?3? 3? ?2? ?1? D.f? ?2?<f?3?<f?3?

4.?创新题?定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1 ⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 ) B.1 D.12 )

?log2x,x≥1, ? 5.已知函数 f(x)=? 则“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的( ?x+c,x<1, ?

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.(2015· 长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,0)上单 调递增,如果 x1+x2<0 且 x1x2<0,则 f(x1)+f(x2)的值(
11

)

A.可能为 0 C.恒小于 0 二、填空题

B.恒大于 0 D.可正可负

?1?? 7.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 f? ??x??<f(1),则实数 x 的取值范围是________.
8 .已知函数 f(x) = x2 - 2ax - 3 在区间 [1,2] 上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________________. 1,x>0, ? ? 9.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0,

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________.

2x+k 10.使函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,则实数 k 的取值 x-2 范围是________________. 三、解答题 11.已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围.

x1? 12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
2

(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

12

第三节

函数的奇偶性及周期性

基础盘查一 函数的奇偶性 (一)循纲忆知 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0( (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点( ) ) )

(3)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x)+g(x)是偶函数( (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )

2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则 x<0 时,f(x)= ________. 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 基础盘查二 函数的周期性 (一)循纲忆知 了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期( ) )

(2)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数(

2.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(8)-f(14)=________.

考点一 函数奇偶性的判断|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)[或 f(-x)=-f(x)],那么函数 f(x)就叫做偶函数(奇函数). [提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

13

[题组练透] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x;


4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3
2 ? ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ?x -x,x<0. ?

[类题通法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路 1.定义法:

2.图象法:

3.性质法: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系, 只有对各段上的 x 都满足 相同的关系时,才能判断其奇偶性. 考点二 函数的周期性|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期

14

如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. [一题多变] [典型母题] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求函数的最小正周期; (2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015).

[题点发散 1] 本例条件若改为: 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2) 时,f(x)=2x-x2.试计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)的值.

[题点发散 2] 若本例中条件变为“f(x+2)=-

1 ”,求函数 f(x)的最小正周期. f?x?

[类题通法] 1.判断函数周期性的两个方法 (1)定义法. (2)图象法. 2.周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a;
15

(2)若 f(x+a)=

1 ,则 T=2a; f?x?

1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x? [提醒] 应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内. 考点三 函数性质的综合应用|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 高考对于函数性质的考查,一般不会单纯地考查某一个性质,而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查. 归纳起来常见的命题角度有: (1)单调性与奇偶性结合; (2)周期性与奇偶性结合; (3)单调性、奇偶性与周期性结合.

角度一:单调性与奇偶性结合 1.(2015· 洛阳统考)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是( A.y=x2 1 C.y=log2 |x| B.y=2|x| D.y=sin x )

2.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围. 角度二:周期性与奇偶性结合 3.(2015· 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= 2a-3 ,则实数 a 的取值范围为( a+1 A.(-1,4) C.(-1,0) 角度三:单调性、奇偶性与周期性结合 4. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) [类题通法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的 对称性. ) ) B.(-2,0) D.(-1,2)

16

(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间,然后利用奇偶性和单调性求解.

一、选择题 1.(2015· 河南信阳二模)函数 f(x)=lg|sin x|是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 2.(2015· 大连测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性 也相同的是( 1 A.y=- x C.y=1-x2 ) B.y=log2|x| D.y=x3-1 )

3.(2015· 唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x3+ln(1+x).则当 x<0 时, f(x)=( ) B.x3+ln(1-x) D.-x3+ln(1-x) )

A.-x3-ln(1-x) C.x3-ln(1-x)

x2+x+1 2 4.(2015· 长春调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( 3 x +1 2 A. 3 2 B.- 3 C. 4 3 4 D.- 3

5.(2015· 甘肃天水一模)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)= f(x-1),若 f(2)=2,则 f(2 014)的值为( A.2 B.0 C.-2 ) D.± 2

6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是( ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) 二、填空题

7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 8.(2015· 江苏南通二模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;

17

1? ?3? ?5? ②f(x)=f(x+2);③当 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则 f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=________. 1?x 9.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 10 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) = ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ,0≤x≤1, ? ? x+1 三、解答题 -x +2x,x>0, ? ? 11.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2

是奇函数.

12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

18

第四节

函数的图象

基础盘查一 利用描点法作函数图象 (一)循纲忆知 会利用描点法作一些函数图象(如 y=sin x). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 f(x)= x-1 与 g(x)= x-1的图象相同( x-1 ) )

1 1? 3 (2)点(0,0),? ?2,8?,(1,1),(2,8)为 y=x 的关键点( xax 2.函数 y= (a>1)的图象的大致形状是( |x| )

基础盘查二 利用图象变换法作函数图象 (一)循纲忆知 能用变换法作函数图象,并会运用函数图象理解和研究函数的性质. (二)小题查验 1.判断正误 (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同( (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同( (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称( ) ) ) ) ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称( (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象( 2.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|)

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

19

考点一 作函数的图象|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 描点法作函数图象的基本步骤:列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. [题组练透] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1. [类题通法] 画函数图象的一般方法 1.直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数 的特征直接作出; 2.图象变换法.变换包括:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换. (1)平移变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x-a); a<0,左移|a|个单位 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x)+b. b<0,下移|b|个单位 (2)伸缩变换:
1 0<ω<1,伸长为原来的 倍 ω y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(ωx); 1― ω>1,缩短为原来的 ω b>0,上移b个单位 a>0,右移a个单位

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Af(x). 0<A<1,缩为原来的A (3)对称变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(x); y=f(x)― ― ― ― ― →y=f(-x); y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(-x). (4)翻折变换:
关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称

A>1,伸为原来的A倍

20

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|); 将y轴右边的图象翻折到左边去 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去 考点二 识图与辨图|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 1.(2015· 海淀区期中测试)函数 f(x)=2x+sin x 的部分图象可能是( )
留下x轴上方图

去掉y轴左边图,保留y轴右边图

2.已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x) 的图象为( )

[类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解 决问题. [演练冲关]

?-2x,-1≤x≤0, 1.已知 f(x)=? 则下列函数的图象错误的是( ? x,0<x≤1,

)

21

2.如图,不规则四边形 ABCD 中:AB 和 CD 是线段,AD 和 BC 是圆弧, 直线 l⊥AB 交 AB 于 E,当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时,把四边 形 ABCD 分成两部分,设 AE=x,左侧部分的面积为 y,则 y 关于 x 的图象大 致是( )

3.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为 1 (0,0),(1,2),(3,1),则 f?f?3??的值等于________.

?

?

考点三 函数图象的应用|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 归纳起来图象的应用常见的命题角度有: (1)研究函数的性质; (2)确定方程根的个数; (3)求参数的取值范围; (4)求不等式的解集. 角度一:研究函数的性质 1.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
22

)

角度二:确定方程根的个数
? ?|lg x|,x>0, 2.(2015· 日照一模)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是 ?2 ,x≤0, ?

________. 1 解析:方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1.作出 y=f(x)的图象,由图象知零点的 2 个数为 5.

角度三:求参数的取值范围 3.(2014· 山东高考)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的 实根,则实数 k 的取值范围是( 1? A.? ?0,2? C.(1,2) ) 1 ? B.? ?2,1? D.(2,+∞)

角度四:求不等式的解集 4.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示, f?x? 那么不等式 <0 的解集为______. cos x [类题通法] 1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应 定义域;上下范围对应值域;上升、下降趋势对应单调性;对称性对应奇偶性. 2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数; 利用此法也可由 解的个数求参数值. 3.有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解.

一、选择题 1.函数 y=e-x2 的图象大致是( )

2.为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 y=2x 的图象上所有的点(


)

23

A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 1? 3.(2015· 海淀区期中测试)下列函数 f(x)图象中,满足 f? ?4?>f(3)>f(2)的只可能是( )

π -π,- ?是函数 F(x)的一个单调递增区间.将 4.设函数 F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,且? 2? ? 函数 F(x)的图象向右平移 π 个单位,得到一个新的函数 G( x)的图象, 则 G(x)的一个单调递减 区间是( ) π ? B.? ?-2,0? 3π ? D.? ? 2 ,2π?

π? A.? ?-π,-2? π ? C.? ?2,π?

f?x?-f?-x? 5. (2015· 成都模拟)设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(1)=0, 则不等式 x <0 的解集为( ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)


A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

?2 x-1,x≤0, ? 6.?创新题?已知函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x)=? 若方程 f(x)=x+a 有两 ? ?f?x-1?,x>0,

个不同实根,则 a 的取值范围为( A.(-∞,1) C.(0,1)

) B.(-∞,1] D.(-∞,+∞)

二、填空题 7.已知函数 f(x)的图象如图所示, 则函数 g(x)=log2[f(x)]的定 义域是________. x+1 8.函数 f(x)= 的图象的对称中心为________. x 9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则 f(x)的解析式为____________.

24

10.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是____________. 三、解答题
2 ? ?3-x ,x∈[-1,2], ? 11.已知函数 f(x)= ?x-3,x∈?2,5]. ?

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值.

1 12.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x

25

命题点一 函数的概念及其表示 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014· 山东高考)函数 f(x)= 1 0, ? A.? ? 2? 1? C.? ?0,2?∪(2,+∞)

1 的定义域为( ?log2x?2-1 B.(2,+∞)

)

1? D.? ?0,2?∪[2,+∞) )

2.(2014· 江西高考)已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 C.3 B.2 D.-1 )

3.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

2 ? ?x +x,x<0, 4.(2014· 浙江高考)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是 ?-x ,x≥0, ?

________. 解析:f(x)的图象如图,由图象知.满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时,a≤ 2.

命题点二 函数的基本性质 难度:中

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014· 湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间 (-∞,0)上单调递增的是( 1 A.f(x)= 2 x C.f(x)=x3 B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2
-x

)

26

2.(2014· 湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x) =x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 B.-1 ) C.1 D.3 )

3.(2014· 陕西高考)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是(
1

A.f(x)= x 2

B.f(x)=x3

1?x C.f(x)=? ?2?

D.f(x)=3x

4.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶 函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

5.(2014· 四川高考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时, f(x)=
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, 3? ? 则 f? 2?=________. ? ?x, 0≤x<1, ?

6.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是________.

命题点三 函数的图象 难度:高、中

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题 )

?x2+1,x>0, ? 1.(2014· 福建高考)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ?cos x,x≤0, ?

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数

B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

2. (2013· 北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex C.e
+1

) B.ex
-1 -x-1

-x+1

D. e

3.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=2ln x 图象与函数 g(x)=x2-4x+5 图象交点个数为( A.3 B.2
3 x

)

C.1 x 的图象大致是( 3 -1 )

D.0

4.(2013· 四川高考)函数 y=

|x2-1| 5.(2012· 天津高考)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则 x-1
27

实数 k 的取值范围是________________.

第五节

二次函数与幂函数

基础盘查一 幂函数 (一)循纲忆知 1.了解幂函数的概念(f(x)=xα). 1 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x 的图象,了解它们的变化情况. x 2 (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 f(x)=x2 与函数 f(x)=2x2 都是幂函数( (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)( (3)幂函数的图象不经过第四象限( ) ) ) )

(4)当 α<0 时,幂函数 y=xα 是定义域上的减函数(

2.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2),则函数的解析式为________________. 基础盘查二 二次函数 (一)循纲忆知 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质;会求二次函数在闭区间上的最值. 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. (二)小题查验 1.判断正误 4ac-b2 (1)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 ( 4a (2)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数( ) )

(3)在 y=ax2+bx+c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小 ( ) 2.二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,对称轴为 x=3,与 y 轴交于点(0,3).则它的解 析式为________________. 3.已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 ____________.

28

考点一 幂函数的图象与性质|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.幂函数的概念 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数. [提醒] 幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义; (2)幂函数的图象过定点(1,1); (3)当 α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; (4)当 α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. [题组练透] 1.幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( )

2.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是 减函数,则 n 的值为( A.-3 ) B.1 C.2 D.1 或 2

1 1 3 . (2015· 安 徽 安 庆 三 模 ) 若 (a + 1) - <(3 - 2a) - , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 3 3 ________________. [类题通法] 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即 x=1,y =1,y=x 分区域.根据 α<0,0<α<1,α=1,α>1 的取值确定位置后,其余象限部分由 奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 考点二 求二次函数的解析式|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 二次函数解析式的三种表示方法 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物线顶点坐标; (3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标. [典题例析]
29

已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数 的解析式.

[类题通法] 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与 x 轴两交点坐标,宜选用零点式. [演练冲关] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意 x∈R, 都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式.

考点三 二次函数的图象与性质|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频 率非常高的一个热点,考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根 的分布等问题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)二次函数的最值问题; (2)二次函数中恒成立问题; (3)二次函数的零点问题.

角度一:二次函数的最值问题 1.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.
30

2.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(x),求 g(x).

角度二:二次函数中恒成立问题 3.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,求实数 a 的取值范围.

角度三:二次函数的零点问题 4.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; 1 1 3 0, ?上各有一个零点. (2)若 <t< ,求证:函数 f(x)在区间(-1,0)及? ? 2? 2 4

[类题通法] 二次函数图象与性质问题解题策略

31

1.对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题,应对参数分类讨论,分类讨 论的标准就是二次项系数与 0 的关系. 2. 当二次函数的对称轴不确定时, 应分类讨论, 分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、 中、右三种情况. 3.求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要 求.

一、选择题 1.(2015· 湖北孝感调研)函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函 数,则实数 m 的值是( A.-1 C.3 ) B.2 D.-1 或 2

2.(2015· 阿克苏 3 月模拟)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表,则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( ) x f(x) 1 1 1 2 2 2

A.{x|-4≤x≤4} C.{x|- 2≤x≤ 2}

B.{x|0≤x≤4} D.{x|0<x≤ 2} )

3.设函数 f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+?+g(20)=( A.56 C.0 B.112 D.38

4.(2015· 北京西城期末)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),且当 x∈(0,1]时,f(x)=x2 -x,则当 x∈[-2,-1]时,f(x)的最小值为( 1 A.- 16 1 B.- 8 1 C.- 4 ) D.0 )

5.(2015· 吉林松原月考)设函数 f(x)=x2+x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( A.f(m+1)≥0 C.f(m+1)>0 B.f(m+1)≤0 D.f(m+1)<0

2 ? ?x +ax+1,x≥1, 6. 已知函数 f(x)=? 2 则“-2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ?ax +x+1,x<1, ?

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
32

二、填空题 7 . 二 次 函 数 的 图 象 过 点 (0,1) , 对 称 轴 为 x = 2 ,最 小 值 为 - 1 , 则 它 的 解析 式 为 ________________. 8. 对于任意实数 x, 函数 f(x)=(5-a)x2-6x+a+5 恒为正值, 则 a 的取值范围是________. 1 9.已知幂函数 f(x)=x- ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________. 2 10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联 区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为 ________. 三、解答题 11.已知幂函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N*).


(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数 f(x)的图象经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1) 的实数 a 的取值范围.

12.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围.

33

第六节

指数与指数函数

基础盘查一 根式 (一)循纲忆知 理解根式的概念并能化简. (二)小题查验 1.判断正误 n n (1) an与( a)n 都等于 a(n∈N*)( n (2)当 n∈N*时,( -3)n 都有意义( (3) ?π-4?2=4-π( ) ) )

3 a3b2 ab2 2.化简 1 1 1 1 (a>0,b>0)的结果为____________. 4 ?3 3 4 2 ?a b ? a b 答案:ab
-1

基础盘查二 有理数指数幂 (一)循纲忆知 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (二)小题查验 1.判断正误 m m (1)分数指数幂 a 可以理解为 个 a 相乘( n n
2 1

)

(2)(-1) 4 =(-1) 2 = -1( 2. (1)

)

3 6 2 3× 1.5× 12=________.
2 1 2 1 1 1 5

(2) (2a 3

)(-6a 2 b 3 )÷ (-3a 6 b 6 )=________.

基础盘查三 指数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 2.知道指数函数是一类重要的函数模型. (二)小题查验 1.判断正误

34

(1)函数 y=3· 2x 与 y=2x

+1

都不是指数函数( ) ) ) )

)

(2)若 am<an(a>0 且 a≠1),则 m<n( (3)函数 y=2 x 在 R 上为单调减函数(


(4)函数 y= a x

2

+1

(a>1)的值域是(0,+∞)(

(5)函数 y=ax 1(a>0 且 a≠1)恒过点(1,1)(


2.(人教 A 版教材习题改编)已知 0.2m<0.2n,则 m______n(填“>”或“<”). 3.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是__________.

考点一 指数幂的化简与求值|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)幂的有关概念:
m n ①正分数指数幂:a n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). ? m n

②负分数指数幂:a



1 1 = (a>0,m,n∈N*,且 n>1). m n a am n

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


②(ar)s=ar s(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). [提醒] 有理数指数幂的运算性质中, 要求指数的底数都大于 0, 否则不能用性质来运算. [题组练透] 求值与化简:
1 3 ?21? ? 2 -(0.01)0.5; 2 ?0+2-2· (1)? ? 5? ? 4? 2 1 1 ? 5 1 -2 - - (2) a 3 · b · (-3a 2 b 1)÷ (4a 3 · b 3) 2 ; 6

?a 3 · b 1? (3) 6


2

?

1 2

· a

?

1 2

1

· b3

a· b5
? 1 3 1

a (3)原式=

b2· a a b
5 6

? 1 6

1 2

1

b3

=a

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

· b2

1 1 5 ? ? 3 6

1 = . a

35

[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答. [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二 指数函数的图象及应用|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)当 a>1 时,指数函数的图象“上升”;当 0<a<1 时,指数函数的图象“下降”. (2)指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(0,1),且函数图象经过第一、二象限. [典题例析] 1 1.函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图象可能是( a )

2.(2015· 衡水模拟)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. [类题通法] 指数函数图象的画法及应用 1 -1, ?. (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? a? ? (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对 称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [演练冲关] 1?x 1.(2015· 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y=2x 与 y=? ?2? 的图象之间的关系是(
36

)

A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

2.若将典例 2 中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直线 y=b 有两个公共点,求 b 的取值范围.

考点三 指数函数的性质及应用|(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 指数函数的性质 (1)定义域是 R; (2)值域是(0,+∞); (3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1; (4)当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. [多角探明] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小,属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)比较指数式的大小; (2)简单的指数方程或不等式的应用; (3)探究指数型函数的性质. 角度一:比较指数式的大小
2 3 2 3? 5 ?2? 5 ,c=?2? 5 ,则 a,b,c 的大小关系是________. 1.设 a=? , b = ?5? ?5? ?5?

角度二:简单的指数方程或不等式的应用 1?x ? ?? -7,x<0, ? 2.设函数 f(x)=? 2? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是( ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) 角度三:探究指数型函数的性质 1? ax2 ?4 x ?3 3.已知函数 f(x)=? . ?3? B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

)

37

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.

[类题通法] 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特 别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶 性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.

一、选择题 1.函数 f(x)=2|x 1|的图象是(


)

2.已知 f(x)=3x b(2 ≤ x ≤ 4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域(


)

A.[9,81]

B.[3,9]

C.[1,9] )

D.[1,+∞)

3.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c B.a>c>b


C.c>a>b )

D.b>c>a

4.(2015· 太原一模)函数 y=2x-2 x 是( A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减

5.(2015· 丽水模拟)当 x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)· 4x-2x<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-2,1) ) B.(-4,3)

38

C.(-1,2)

D.(-3,4)

6.(2015· 济宁三模)已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是( ) B.a<0,b≥0,c>0 D.2a+2c<2

A.a<0,b<0,c<0 C.2 a<2c


二、填空题 a 1- x?的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. 7.已知函数 f(x)=ln? ? 2? 8.(2015· 南昌一模)函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________.


9.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9], 则区间[a,b]的长度的最大值为________,最小值为________. 10.(2015· 济宁月考)已知函数 f(x)=(a-2)ax(a>0,且 a≠1),若对任意 x1,x2∈R, f?x1?-f?x2? >0,则 a 的取值范围是__________________. x1-x2 三、解答题 11.化简下列各式: 7 10 ? 2 37 2 ?0.5+0.1-2+?2 ? 3 -3π0+ ; (1)? ? 9? ? 27? 48 3 (2) a 2 · a 3÷


7

3

a 3· a 1.
- -

1 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 (1)若 f(x)= ,求 x 的值; 2 (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

第七节

对数与对数函数

基础盘查一 对数与对数运算
39

(一)循纲忆知 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)(-2)3=-8 可化为 log(-2)(-8)=3( (2)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN( (3)logax· logay=loga(x+y)( ) ) )

2.(人教 A 版教材习题改编)计算: (1)log35-log315=________. (2)log23· log34· log45· log52=________. 基础盘查二 对数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 2.知道对数函数是一类重要的函数模型. 3.了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0 且 a≠1). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数(
3

) ) )

(2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数( (3)函数 y=ln 1+x 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同( 1-x

1 ? (4)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ?a,-1?,函数图象 只在第一、四象限( )

2.函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为________. 3.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是________. 4.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象可能是________(填序号).

考点一 对数式的化简与求值|(基础送分型考点——自主练透)
40

[必备知识] 对数的运算 (1)loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且 a≠1,M>0,N>0); M (2)loga =logaM-logaN(a>0,且 a≠1,M>0,N>0); N (3)logaMn=nlogaM(a>0,且 a≠1,M>0,n∈R); logaN (4)对数换底公式:logbN= (a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0); logab (5)对数恒等式:a
log a N

=N(a>0,a≠1,N>0).

[提醒] 在应用 logaMn=nlogaM 时,易忽视 M >0. [题组练透] 1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca C.loga(bc)=logab· logac 2.计算下列各题: 3 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 4 (2)log3
2 l og 2 10 27 l og 2 · log5[4 2 -(3 3) 3 -7 7 ]. 3

)

B.logab· logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac

1

[类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算. 考点二 对数函数的图象及应用|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 对数函数图象的特点 (1)当 a>1 时,对数函数的图象呈上升趋势; 当 0<a<1 时,对数函数的图象呈下降趋势. 1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ?a,-1?,函数图
41

象只在第一、四象限. [一题多变] [典型母题] 1 当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0, ) 2 ? ? 2 ,1?

?

2? 2?

B.?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

1? [题点发散 1] 若本例变为: 若不等式 x2-logax<0 对 x∈? 求实数 a 的取值范围. ?0,2?恒成立,

1 [题点发散 2] 若本例变为:当 0<x≤ 时, x<logax,求实数 a 的取值范围. 4

[题点发散 3] 若本例变为: 已知不等式 loga(2a2+1)<loga(3a)<0 成立, 求实数 a 的取值范围.

42

[类题通法] 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 对数函数的性质 (1)定义域为(0,+∞); (2)值域为 R; (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0; (4)当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数; [典题例析] 已知函数 f(x)=log4(ax +2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
2

[类题通法] 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质: (1)要分清函数的底数是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义 域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. [演练冲关]
1 1 1 1.已知 a=3 2 ,b=log 1 ,c=log2 ,则( 2 3

)

3

A.a>b>c C.c>b>a

B.b>c>a D.b>a>c

2.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6,则 a 的值为( )

43

1 A. 2 C.2

1 B. 4 D.4 )

3.若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) B.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞)

一、选择题
2 5 1.(2015· 内江三模)lg 1 000-8 3 =(

) D.4 )

23 A. 5

17 B.- 5

18 C.- 5

2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A.log2x 1 B. x 2 1 C.log x 2 D.2x
-2

3.(2014· 天津高考)函数 f(x)=log 1 (x2-4)的单调递增区间是(
2

)

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)

C.(2,+∞) )

D.(-∞,-2)

4.(2015· 福州模拟)函数 y=lg|x-1|的图象是(

5.(2015· 长春质检)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

)

6.已知函数 y=f(x)是周期为 2 的奇函数,当 x∈[2,3)时,f(x)=log2(x-1),给出以下结论: ①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x); ④函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增. 其中,正确结论的序号是( A.①②③ C.②③④ 二、填空题 ) B.①②④ D.①③④

44

7.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是________.
2

8.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为________,单调递增区间为________.
?log4x,x>0,? ? 1 log2 ?=________. 9.(2015· 山东莱芜二模)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(-4))+f? 6 ? ? ? 2 , x ≤ 0 , ?

x2+1 10.(2015· 江西七校一联)关于函数 f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题: |x| ①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,函数 y=f(x)是减函数; ③函数 f(x)的最小值为 lg 2; ④在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是增函数. 其中是真命题的序号为________. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

1 12.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是 2 1 - ,求 a 的值. 8

45

第八节

函数与方程

基础盘查一 函数的零点 (一)循纲忆知 1.了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系. 2.掌握函数零点存在的条件,并会判断函数零点的个数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数的零点是函数 y=f(x)与 x 轴的交点( (2)若 f(x)在(a,b)上有零点,一定有 f(a)· f(b)<0( (3)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个( ) ) ) )

2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

3.函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则 k 的取值范围是________. 基础盘查二 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 (一)循纲忆知 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点( ) )

(2)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是(-2,0)( 2.函数 f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为________.

考点一 函数零点所在区间的判定|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. [提醒] 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.

46

[题组练透] 6 1.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( x A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞) ) )

2 2.函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( x A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

3.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. [类题通法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再 看是否有 f(a)· f(b)<0.若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 判断函数零点个数|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 2.几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. [典题例析] 1.(2013· 天津高考)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 的零点个数是________. )

2 ? ?x -2,x≤0, 2.(2014· 福建高考)函数 f(x)=? ?2x-6+ln x,x>0 ?

[类题通法] 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:若对应方程 f(x)=0 可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函 数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其 交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.

47

[演练冲关] 1.函数 f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( A.3 B.4 C.5
1

)

D.6 )

1?x 2.(2015· 北京丰台二模)函数 f(x)= x 2 -? ?2? 的零点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

考点三 函数零点的应用|(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________.

[题点发散 1] 若本例中 f(x)有且只有一个零点,则实数 a 的取值范围是___________. [题点发散 2] 若函数变为 f(x)=ln x-x-a, 其他条件不变, 则 a 的取值范围是_______.
?xln x-a,x>0, ? [题点发散 3] 若函数变为 f(x)=? 2 ? ?-x -2x-a,x≤0,

若函数 y=f(x)有三个零点,则实数 a 的取值范围是________.

[类题通法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数 形结合求解.

一、选择题 1.(2015· 温州十校联考)设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) )

48

1? ?1? 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f? f?2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1] ?-2?· 内( ) A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

3.(2015· 河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下列 哪个函数的零点(
x

) B.y=f(x)e x+1


A.y=f(-x)e -1 C.y=exf(x)-1

D.y=exf(x)+1

4.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(2-x),且函数 y=f(x)在区间[0,1]内有且只 1 有一个零点 ,则 y=f(x)在区间[0,2 014]上的零点的个数为( 2 A.2 012 C.2 014 B.1 006 D.1 007 )

5.已知函数 f(x)=x2-bx+a 的图象如图所示,则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区 间是( ) 1 ? B.? ?2,1? D.(2,3)

1 1? A.? ?4,2? C.(1,2)

[x] 6. (2015· 湖北八校联考)已知 x∈R, 符号[x]表示不超过 x 的最大整数, 若函数 f(x)= - x a(x≠0)有且仅有 3 个零点,则 a 的取值范围是( 3 4? ?4 3? A.? ?4,5?∪?3,2? 1 2? ?5 3? C.? ?2,3?∪?4,2? )

3 4? ?4 3? B.? ?4,5?∪?3,2? 1 2? ?5 3? D.? ?2,3?∪?4,2?

二、填空题 7.“函数 f(x)=ax+3 在[-1,2]上存在零点”的充要条件是________. 8.已知关于 x 的方程 x2+mx-6=0 的一个根比 2 大,另一个根比 2 小,则实数 m 的取 值范围是________.
2 9.若 f(x)={x -x-1,x≥2或x≤-1,?1,-1<x<2, 则函数 g(x)=f(x)-x 的零点

为____________.

49

10.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)={a ,x≥0,?kx+1,x<0, 若函数 g(x)=f(x)-k 有
x

两个零点,则实数 k 的取值范围是________.

三、解答题 x 1 11.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1? 证明:存在 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=x0.

1 ? 12.已知函数 f(x)=-x2-2x,g(x)=?x+4x,x>0,?x+1,x≤0.
?

(1)求 g[f(1)]的值; (2)若方程 g[f(x)]-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围.

50

第九节

函数模型及其应用

基础盘查一 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的性质 (一)循纲忆知 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=2x 的函数值在(0,+∞)上一定比 y=x2 的函数值大(
x

)

(2)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=xα(α>0) 的增长速度( )

(3)“指数爆炸”是指数型函数 y=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻( ) (4)幂函数增长比直线增长更快( ) )

(5)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中(

2. 某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍, 且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖 为________个. 基础盘查二 常见的几种函数模型 (一)循纲忆知 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)不存在 x0,使 ax0<xa 0<logax0( )

(2)美缘公司 2013 年新上市的一种化妆品,由于脱销,在 2014 年曾提价 25%,2015 年想 要恢复成原价,则应降价 25%( )

(3)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折出 售,则每件还能获利( ) )

(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,恒有 h(x)<f(x)<g(x)(

2.已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog3(x+1),设这种动物第 2 年 有 100 只,到第 8 年它们发展到________只.
51

考点一 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 常见的函数模型 1.正比例函数模型:f(x)=kx(k 为常数,k≠0); k 2.反比例函数模型:f(x)= (k 为常数,k≠0); x 3.一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0); 4.二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0); 5.指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); 6.对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1); 7.幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠1); a 8.“对勾”函数模型:y=x+ (a>0). x [题组练透] 1.(2013· 湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )

2.已知正方形 ABCD 的边长为 4,动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动.设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是( )

[类题通法] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图 象.
52

(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情 况的答案. 考点二 应用所给函数模型解决实际问题|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数, 但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速 度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会 越来越慢. [典题例析] 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升 血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定, 每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效, 求服药一次后 治疗疾病有效的时间.

[类题通法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. [提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围. [演练冲关] 里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0, 其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标 准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震的 最大振幅的________倍.
53

考点三 构建函数模型解决实际问题|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇,以解答题为主 要形式出现,考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、 效益最好、用料最省等实际问题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)构建二次函数模型; (2)构建分段函数模型; a (3)构建“对勾”函数 f(x)=x+ (a>0)模型; x (4)构建高次函数或复杂的分式结构函数模型.

角度一:构建二次函数模型 1.经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数,且日销 1 112 1 售量近似地满足 g(t)=- t+ (1≤t≤100,t∈N).前 40 天价格为 f(t)= t+22(1≤t≤40,t 3 3 4 1 ∈N),后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的最大 2 值和最小值.

. 角度二:构建分段函数模型 2.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

54

a 角度三:构建“对勾”函数 f(x)=x+ (a>0)模型 x 3.某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料 200 千克,每千克饲料的价格为 1.8 元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元,购买饲料每次支付运费 300 元. (1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少; (2)若提供饲料的公司规定, 当一次购买饲料不少于 5 吨时, 其价格可享受八五折优惠(即 原价为 85%).问:该场是否应考虑利用此优惠条件?请说明理由.

角度四:构建高次函数或复杂的分式结构函数模型 4.近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元,为了节能减排,决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电 池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能 和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与 k 安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x)= (x≥0,k 20x+100 为常数). 记 y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 y 关于 x 的函数关系式. (2)当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元?

55

[类题通法] 解函数应用问题的“4 步骤” (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

[提醒] 理性.

注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果在实际问题中的合

一、选择题 1.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货 价),则该家具的进货价是( A.118 元 C.106 元 ) B.105 元 D.108 元

2.(2015· 广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 ) B.y=x2-1 D.y=log2x 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

3.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

56

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水,则一定正确的是( A.① C.①③ ) B.①② D.①②③

4.(2015· 北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金 定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的 整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修 等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为 ( ) A.3 000 元 C.3 500 元 B.3 300 元 D.4 000 元

5.(2015· 青岛模拟)世界人口在过去 40 年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数 据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( A.1.5% C.1.7% ) B.1.6% D.1.8%

6.(2015· 深圳二模)某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增 加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知 本年 9 月份两食堂的营业额又相等,则本年 5 月份( A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 二、填空题 7.某人根据经验绘制了 2014 年春节前后,从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象, 如图所示,则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿________千克. )

8.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内,根 51 x 8? + (x> 据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= -? 2 ? 2 x? 0).则当年广告费投入________万元时,该公司的年利润最大.
57

9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 10.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae
-b

t

(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 三、解答题 11.(2015· 湖北鄂州月考)如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有 一个角被锈蚀,其中 AE=4 米,CD=6 米.为合理利用这块钢板,在五 边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM,使点 P 在边 DE 上. (1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析 式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值.

12.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 2 . 2

58

命题点一 基本初等函数?Ⅰ??????????????????????命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题

1.(2014· 山东高考)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( 1 1 A. 2 > 2 x +1 y +1 B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 2.(2014· 安微高考)设 a=log37,b=21.1 ,c=0.83.1,则( A.b<a<c C. c<b<a B.c<a<b D.a<c<b )

)

3.(2014· 浙江高考)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能是 ( )

4.(2013· 浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

)

16? 3 5 4 5. (2014· 安微高考)? ?81?-4+log34+log35=________. 6.(2014· 重庆高考)函数 f(x)=log2 x· log
2(2x)的最小值为________.

7.(2014· 湖南高考)若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a=________. 8.(2014· 天津高考)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R. 若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为________.

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命题点二 函数与方程 难度:高、中

命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014· 湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3} )

6 2. (2014· 北京高考)已知函数 f(x)= -log2x, 在下列区间中, 包含 f(x)零点的区间是( x A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

3.(2014· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=

?x2-2x+1?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同), 则实数 a 的取值范围 2? ?
是________.

命题点三 函数模型及其应用,难度:高、中 难度:高、中

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014· 湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增 长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( p+q A. 2 C. pq )

?p+1??q+1?-1 B. 2 D. ?p+1??q+1?-1

2.(2014· 陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相 切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( 1 1 y= x3- x2-x 2 2 )

A.

1 1 B.y= x3+ x2-3x 2 2 1 C.y= x3-x 4 1 1 D. y= x3+ x2-2x 4 2
60

第十节

变化率与导数、导数的计算

基础盘查一 导数的概念 (一)循纲忆知 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= x的导数. x (二)小题查验 1.判断正误 (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率( (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同( ) ) ) )

(3)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值( (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√

2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 解析:选 C ∵y=sin x+ex, ∴y′=cos x+ex, ∴y′x=0=cos 0+e0=2,

)

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0.故选 C. 基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知 能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. (二)小题查验 判断正误 π? π (1)? ?sin 3?′=cos 3( ) )

1? 1 (2)若(ln x)′= ,则? ?x?′=ln x( x (3)(3x)′=3xln 3( 答案:(1)× (2)× ) (3)√

61

基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法则进行简单复合函数的求导. (二)小题查验 1.判断正误 π ex+cos ?′=ex( (1)? 4? ? ) ) )

(2)函数 f(x)=sin (-x)的导数为 f′(x)=cos x( (3)y=cos 3x 由函数 y=cos u,u=3x 复合而成( 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.(人教 A 版教材习题改编)求下列函数的导数: x3-1 (1)y=xnex;(2)y= . sin x 3x2sin x-?x3-1?cos x - 答案:(1)y′=ex(nxn 1+xn) (2)y′= sin2x

考点一 导数的运算|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.基本初等函数的导数公式 (xα)′=αxα 1,(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x,(ax)′=axln a,(ex)′=ex,(logax)′




1 1 ,(ln x)′= . xln a x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2

3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. [题组练透] 求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; 1 (2)y=ln x+ ; x
62

cos x (3)y= x ; e π? ? π? (4)y=xsin? ?2x+2?cos?2x+2?; (5)y=ln(2x-5). 解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. 1? ?1? (2)y′=? ?ln x+x?′=(ln x)′+? x?′ 1 1 = - 2. x x cos x? ?cos x?′ex-cos x?ex?′ x (3)y′=? ′ = ? e ? ?ex?2 sin x+cos x =- . ex π? ? π? (4)∵y=xsin? ?2x+2?cos?2x+2? 1 = x sin(4x+π) 2 1 =- x sin 4x, 2 1 1 ∴y′=- sin 4x- x· 4cos 4x 2 2 1 =- sin 4x-2x cos 4x. 2 (5)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 [类题通法] 函数求导的遵循原则 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然 后求导. 考点二 导数的几何意义|(常考常新型考点——多角探明)

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[必备知识] 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). [提醒] 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的不同. [多角探明] 导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解 答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值. 角度一:求切线方程 ln x-2x 1.(2015· 云南一检)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为( x A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0 解析:选 C -3=0. 角度二:求切点坐标 2.(2014· 江西高考)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 1 解析:设 P(x0,y0),∵y=xln x,∴y′=ln x+x· =1+ln x.∴k=1+ln x0.又 k=2,∴1 x +ln x0=2,∴x0=e,y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 答案:(e,e) 角度三:求参数的值 1 7 3.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且 2 2 与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 的值为( A.-1 C.-4 1 解析:选 D ∵f′(x)= , x ∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0,
64

)

B.2x+y=0 D.x+y+1=0

1-ln x f′(x)= ,则 f′(1)=1,故该切线方程为 y-(-2)=x-1,即 x-y x2

) B.-3 D.-2

∴切线 l 的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x2 +mx0+ ,m<0, 2 0 2 于是解得 m=-2,故选 D. [类题通法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

一、选择题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) 解析:选 C ) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). )

2.(2015· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2 014+ln x),f′(x0)=2 015,则 x0=( A.e2 C.ln 2 B.1 D.e

1 解析:选 B 由题意可知 f′(x)=2 014+ln x+x· =2 015+ln x.由 f′(x0)=2 015,得 x ln x0=0,解得 x0=1. 1+cos x π ? 3. 设曲线 y= 在点? 则实数 a 等于( ?2,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行, sin x A.-1 C.-2 1 B. 2 D.2 )

-1-cos x π 1 解析:选 A ∵y′= ,∴y′? ?x=2=-1 ,由条件知a=-1,∴a=-1,故 sin2 x 选 A. 1 4. 下面四个图象中, 有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数 y=f′(x) 3 的图象,则 f(-1)=( )

65

1 A. 3 7 C. 3

2 B.- 3 1 5 D.- 或 3 3

解析: 选 D ∵f′(x)=x2+2ax+a2-1, ∴f′(x)的图象开口向上, 则②④排除. 若 f′(x) 5 的图象为①,此时 a=0,f(-1)= ;若 f′(x)的图象为③,此时 a2-1=0,又对称轴 x=-a 3 1 >0,∴a=-1,∴f(-1)=- . 3 5.(2015· 保定调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e 1 C. e B.-e 1 D.- e )

1 解析:选 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则 k=f′(x0)= ,∴切 x0 1 线方程为 y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得 y0=1,则 x0=e,∴k=f′(x0) x0 1 1 = = . x0 e π? ? π? ?π? 6.若函数 f(x)=cos x+2xf′? ?6?,则 f?-3?与 f?3?的大小关系是( π? ?π? A.f? ?-3?=f?3? π? ?π? C.f? ?-3?<f?3? π? ?π? B.f? ?-3?>f?3? D.不确定 )

π? 解析:选 C 依题意得 f′(x)=-sin x+2f′? ?6?, π? π ?π? ?π? 1 ∴f′? ?6?=-sin6+2f′?6?,f′?6?=2, f′(x)=-sin x+1, π π π π π π - , ?时,f′(x)>0,∴f(x)=cos x+x 在?- , ?上是增函数,又- <- < ∵当 x∈? ? 2 2? ? 2 2? 2 3 π π < , 3 2 π? ?π? ∴f? ?-3?<f?3?. 二、填空题 7.(2014· 广东高考)曲线 y=e
-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________________.
66

解析:因为 y′=e -0),即 5x+y-3=0.

-5x

(-5x)′=-5e

-5x

,所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x

答案:5x+y-3=0 8. (2015· 河北邯郸二模)曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 ________. 1 1 解析:∵y′= ,∴k= , xln 2 ln 2 1 ∴切线方程为 y= (x-1), ln 2 1 1 1 1 ∴三角形面积为 S△= ×1× = = log e. 2 ln 2 2ln 2 2 2 1 答案: log2e 2 9.若函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 解得 f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 10.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, π? ?π? ?π? n≥2),则 f1? ?2?+f2?2?+?+f2 014?2?=________. 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ∴f1? + f 2 2 +?+f2 014 2 =503f1 2 +f2 2 +f3 2 +f4 2 +f1 2 +f2 2 =0. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:0 三、解答题 11.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=3sin 4x. 解:(1)y′=(x· tan x)′=x′tan x+x(tan x)′

67

cos2x+sin2x ? sin x ?′=tan x+x· =tan x+x· ?cos x? cos2x =tan x+ x . cos2x

(2)y′=(x+1)′[(x+2)(x+3)]+(x+1)[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x +1)(x+3)=3x2+12x+11. (3)y′=(3sin 4x)′=3cos 4x· (4x)′=12cos 4x. 1 12.(2015· 临沂一模)已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的 取值范围. 解:(1)由题意得 f′(x)=x2-4x+3, 则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k, k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 ? ?-k≥-1, 解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0 或 x2-4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞).

第十一节

导数的应用

基础盘查一 函数的单调性与导数 (一)循纲忆知 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数不超过三次) (二)小题查验 1.判断正误 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件( ) )

(2)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越“平缓”(
68

答案:(1)× (2)× 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=ex-x 的减区间为________. 答案:(-∞,0) 3.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是________. 答案:3 基础盘查二 函数的极值与导数 (一)循纲忆知 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其 中多项式函数不超过三次). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的( (2)函数的极大值不一定比极小值大( ) ) )

(3)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件( 答案:(1)× (2)√ (3)×

1 2.(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)= x3-4x+4 的极大值为________. 3 28 答案: 3 基础盘查三 函数的最值与导数 (一)循纲忆知 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数的极大值一定是函数的最大值( (2)开区间上的单调连续函数无最值( 1 (3)函数 f(x)= 在区间[-1,1]上有最值( x 答案:(1)× (2)√ (3)× ) ) )

1 2.(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)= x3-4x+4 在[0,3]的最小值为________. 3 4 答案:- 3

69

第一课时 导数与函数的单调性

考点一 判断或证明函数的单调性|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的单调性 在区间(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. [典题例析] (2014· 大纲卷节选)函数 f(x)=ln(x+1)- 解:f(x)的定义域为(-1,+∞), x[x-?a2-2a?] f′(x)= . ?x+1??x+a?2 ①当 1<a<2 时,若 x∈(-1,a2-2a),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,a2-2a)内是增函数; 若 x∈(a2-2a,0),则 f′(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)内是减函数; 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)内是增函数. ②当 a=2 时,f′(x)≥0,f′(x)=0 成立当且仅当 x=0,f(x)在(-1,+∞)内是增函数. ③当 a>2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,0)内是增函数; 若 x∈(0,a2-2a),则 f′(x)<0,f(x)在(0,a2-2a)内是减函数; 若 x∈(a2-2a,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(a2-2a,+∞)内是增函数. [类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. [提醒] 类讨论. [演练冲关] (2015· 兰州、张掖联考)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中 g(x)的函数图象在 点(1,g(1))处的切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a≥0,试讨论函数 g(x)的单调性. 解:(1)依题意得 g(x)=ln x+ax2+bx,
70

ax (a>1).讨论 f(x)的单调性. x+a

研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分

1 则 g′(x)= +2ax+b. x 由函数 g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于 x 轴得:g′(1)=1+2a+b=0, ∴b=-2a-1. (2)由(1)得 2ax2-?2a+1?x+1 ?2ax-1??x-1? g′(x)= = . x x ∵函数 g(x)的定义域为(0,+∞), x-1 ∴当 a=0 时,g′(x)=- . x 由 g′(x)>0 得 0<x<1,由 g′(x)<0 得 x>1, 即函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 1 当 a>0 时,令 g′(x)=0 得 x=1 或 x= , 2a 若 1 1 1 <1,即 a> ,由 g′(x)>0 得 x>1 或 0<x< , 2a 2 2a

1 由 g′(x)<0 得 <x<1, 2a 1? ?1 ? 即函数 g(x)在? ?0,2a?,(1,+∞)上单调递增,在?2a,1?上单调递减; 若 1 1 1 1 >1,即 0<a< ,由 g′(x)>0 得 x> 或 0<x<1,由 g′(x)<0 得 1<x< , 2a 2 2a 2a

1 1? ? ? 即函数 g(x)在(0,1),? ?2a,+∞?上单调递增,在?1,2a?上单调递减; 若 1 1 =1,即 a= ,在(0,+∞)上恒有 g′(x)≥0, 2a 2

即函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可得:当 a=0 时,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 1 1 1 1, ?上单调递减,在? ,+∞?上单调 当 0<a< 时,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在? 2 a 2 ? ? ? a ? 2 递增; 1 当 a= 时,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增; 2 1? 1 ?1 ? 当 a> 时,函数 g(x)在? ?0,2a?上单调递增,在?2a,1?上单调递减, 在(1,+∞)上单 2 调递增.

考点二 求函数的单调区间|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析]
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x a 3 (2014· 重庆高考节选)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1, 4 x 2 1 f(1))处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 1 a 1 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2 x2-4x-5 则 f′(x)= , 4x2 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5, 因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x) 在(5,+∞)内为增函数. [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 方法一 (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二 (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. [演练冲关] (2015· 北京西城模拟)已知函数 f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数 y=f(x)的导函数是奇函数,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.
72

解:(1)函数 f(x)的定义域为 R. ex 由已知得 f′(x)= x -a. e +1 ∵函数 y=f(x)的导函数是奇函数, ∴f′(-x)=-f′(x),即 1 解得 a= . 2 ex 1 (2)由(1)f′(x)= x -a=1- x -a. e +1 e +1 ①当 a≥1 时,f′(x)<0 恒成立, ∴a∈[1,+∞)时,函数 y=f(x)在 R 上单调递减. ②当 0<a<1 时,由 f′(x)>0 得(1-a)(ex+1)>1, 1 a 即 ex>-1+ ,解得 x>ln , 1-a 1-a 当 0<a<1 时,由 f′(x)<0 得(1-a)(ex+1)<1, 1 a 即 ex<-1+ ,解得 x<ln . 1-a 1-a a a ∴a∈(0,1)时,函数 y=f(x)在?ln1-a,+∞?上单调递增,在?-∞,ln1-a?上单调递减. ex -a=- x +a, e +1 e +1 e
-x -x

?

?

?

?

考点三 已知函数的单调性求参数的范围|(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围. [解] (1)f′(x)=3x2-a.

①当 a≤0 时,f′(x)≥0, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. ②当 a>0 时,令 3x2-a=0 得 x=± 当 x> 当- 3a ; 3

3a 3a 或 x<- 时,f′(x)>0; 3 3

3a 3a <x< 时,f′(x)<0. 3 3

因此 f(x)在?-∞,-

?

3a? ? 3a 3a 3a? ? ? , 上为减函数. ,+∞ 上为增函数,在 - , 3 ? ? 3 3 3 ? ? ?

73

综上可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数; 当 a>0 时,f(x)在?-∞,-

?

3a? ? 3a 3a 3a? ? ? , 上为减 ,+∞ 上为增函数,在 - 3 ? ? 3 ? ? 3 , 3 ?

函数. (2)因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,所以 a≤0,即 a 的取值 范围为(-∞,0].

[题点发散 1] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解:因为 f′(x)=3x3-a,且 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数, 所以 f′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即 3x2-a≥0 在(1,+∞)上恒成立, 所以 a≤3x2 在(1,+∞)上恒成立,所以 a≤3, 即 a 的取值范围为(-∞,3]. [题点发散 2] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求 a 的取值范围. 解:由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x2 在(-1,1)上恒成立. 因为-1<x<1,所以 3x2<3,所以 a≥3. 即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数. [题点发散 3] 函数 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1),求 a 的值. 解:由例题可知, f(x)的单调递减区间为?-

?

3a 3a? , , 3 3 ?



3a =1,即 a=3. 3

[题点发散 4] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围. 解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f′(x)=3x2-a. 由 f′(x)=0,得 x=± 3a (a≥0). 3

∵f(x)在区间(-1,1)上不单调,

74

∴0<

3a <1,得 0<a<3, 3

即 a 的取值范围为(0,3). [类题通法] 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的 子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解. [提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a, b)都有 f′(x)≥0 且在(a, b)内的任一 非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 1.(2015· 苏中八校学情调查)函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为( A.(0,1) C.(1,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

1 x-1 解析:选 A 函数的定义域是(0,+∞),且 f′(x)=1- = ,令 f′(x)<0,解得 0 x x <x<1,所以单调递减区间是(0,1). 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) 解析:选 D ∵f(x)=(x-3)· e, 则 f′(x)=ex(x-2),令 f(x)>0,得 x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 1 3. (2015· 长春调研)已知函数 f(x)= x3+ax+4, 则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 2 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

)

B.(0,3) D.(2,+∞)

3 解析:选 A f′(x)= x2+a,当 a≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,故“a>0”是“f(x)在 R 上 2 单调递增”的充分不必要条件. 4.已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex,若 f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则 a 的取值范
75

围是(

) 1 3? B.? ?2,4? 1? D.? ?0,2? f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)e2=[x2+(2-2a)x-2a]ex, 由题意当 x∈[-1,1]

3? A.? ?0,4? 3 ? C.? ?4,+∞? 解析: 选C

时,f′(x)≤0 恒成立,即 x2+(2-2a)x-2a≤0 恒成立.
?g?-1?≤0, ? 令 g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有? ? ?g?1?≤0,
2 ? ?-1?-2a≤0, ??-1? +?2-2a?· 3 ? 即 2 解得 a≥ . 4 ?1 +2-2a-2a≤0, ?

π π? 5. (2015· 洛阳统考)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x), 且当 x∈? f(x)=ex+sin x, ?-2,2?时, 则( ) A.f(1)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(2)<f(1) B.f(2)<f(3)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)

解析:选 D 由 f(x)=f(π-x),得 f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),由 f(x)=ex+sin x 得函数 π π π π - , ?上单调递增, 在? 又- <π - 3<1<π - 2< , ∴f(π-2)>f(1)>f(π-3), ∴f(2)>f(1)>f(3). 2 2 ? ? 2 2 b 6.(2015· 湛江一模)若函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则 f(x)在下 x 列区间上单调递增的是( A.(-2,0) C.(1,+∞) ) B.(0,1) D.(-∞,-2)

b b 解析:选 D 由题意知,f′(x)=1- 2,∵函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上 x x b 有零点,∴当 1- 2=0 时,b=x2,又 x∈(1,2),∴b∈(1,4),令 f′(x)>0,解得 x<- b或 x x > b,即 f(x)的单调递增区间为(-∞,- b),( b,+∞),∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合 题意,故选 D. 二、填空题 7.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 解析:由 f(x)=x3-15x2-33x+6 得 f′(x)=3x2-30x-33,令 f′(x)<0,即 3(x-11)(x +1)<0,解得-1<x<11,所以函数 f(x)的单调减区间为(-1,11). 答案:(-1,11) 8.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π)上的单调情况是________. 解析:在(0,2π)上有 f′(x)=1-cos x>0,所以 f(x)在(0,2π)上单调递增.
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答案:单调递增 sin x 9.函数 f(x)= 的单调递增区间是______________. 2+cos x ?2+cos x?cos x-sin x?-sin x? 2cos x+1 解析:由导函数 f′(x)= = >0, ?2+cos x?2 ?2+cos x?2 1 得 cos x>- , 2 2π 2π 所以 2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z), 3 3 2π 2π? 即函数 f(x)的单调递增区间是? ?2kπ- 3 ,2kπ+ 3 ?(k∈Z). 2π 2π? 答案:? ?2kπ- 3 ,2kπ+ 3 ?(k∈Z) 3x 10.(2015· 成都一诊)已知函数 f(x)= -2x2+ln x(a>0).若函数 f(x)在[1,2]上为单调函 a 数,则 a 的取值范围是________. 3 1 3 1 解析: f′(x)= -4x+ , 若函数 f(x)在[1,2]上为单调函数, 即 f′(x)= -4x+ ≥0 或 f′(x) a x a x 3 1 3 1 3 1 1 = -4x+ ≤0 在[1,2]上恒成立,即 ≥4x- 或 ≤4x- 在[1,2]上恒成立.令 h(x)=4x- , a x a x a x x 3 3 3 15 3 2 则 h(x)在[1,2]上单调递增,所以 ≥h(2)或 ≤h(1),即 ≥ 或 ≤3,又 a>0,所以 0<a≤ 或 a a a 2 a 5 a≥1. 2 0, ?∪[1,+∞) 答案:? ? 5? 三、解答题 ln x+k 11.(2015· 武汉武昌区联考)已知函数 f(x)= (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲 ex 线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 1 -ln x-k x 解:(1)由题意得 f′(x)= , ex 1-k 又 f′(1)= =0,故 k=1. e 1 -ln x-1 x (2)由(1)知,f′(x)= . ex 1 1 1 设 h(x)= -ln x-1(x>0),则 h′(x)=- 2- <0,即 h(x)在(0,+∞)上是减函数. x x x

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由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 1 12.(2015· 沈阳质检)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax+b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式; m?x-1? (2)若 φ(x)= -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数 m 的取值范围. x+1 1 1 解:(1)由已知得 f′(x)= ,∴f′(1)=1= a,a=2. x 2 1 又∵g(1)=0= a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1. 2 m?x-1? m?x-1? (2)∵φ(x)= -f(x)= -ln x 在[1,+∞)上是减函数. x+1 x+1 -x2+?2m-2?x-1 ∴φ′(x)= ≤0 在[1,+∞)上恒成立. x?x+1?2 即 x2-(2m-2)x+1≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 则 2m-2≤x+ ,x∈[1,+∞), x 1 ∵x+ ∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2. x 故数 m 的取值范围是(-∞,2]. [B 卷——增分提能] 1 1.设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex). 若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′(x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,所以 f′(x)<0; 若 x=0,则 f′(x)=0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知 f(x)在[-2,2]上单调递减, ∴[f(x)]min=f(2)=2-e2. ∴当 m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立. 即实数 m 的取值范围是(-∞,2-e2).

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x2 2.(2015· 北京朝阳区模拟)已知函数 f(x)= ,a∈R. x-a (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(1,2)上是单调函数,求 a 的取值范围. x?x-2a? 解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a},f′(x)= . ?x-a?2 ①当 a=0 时,f(x)=x(x≠0),f′(x)=1, 则 x∈(-∞,0),(0,+∞)时,f(x)为增函数; ②当 a>0 时,由 f′(x)>0 得,x>2a 或 x<0, 由于此时 0<a<2a,所以 x>2a 时,f(x)为增函数,x<0 时,f(x)为增函数; 由 f′(x)<0 得,0<x<2a,考虑定义域,当 0<x<a 时,f(x)为减函数,a<x<2a 时,f(x)为减 函数; ③当 a<0 时,由 f′(x)>0 得,x>0 或 x<2a,由于此时 2a<a<0,所以当 x<2a 时,f(x)为增 函数,x>0 时,f(x)为增函数. 由 f′(x)<0 得,2a<x<0,考虑定义域,当 2a<x<a,f(x)为减函数,a<x<0 时,f(x)为减函 数. 综上,当 a=0 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞). 当 a>0 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2a,+∞),单调减区间为(0,a),(a,2a). 当 a<0 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,2a),(0,+∞),单调减区间为(2a,a),(a,0). (2)①当 a≤0 时,由(1)可得,f(x)在(1,2)上单调递增,且 x∈(1,2)时,x≠a. 1 ②当 0<2a≤1 时,即 0<a≤ 时,由(1)可得,f(x)在(2a,+∞)上单调递增,即在(1,2)上 2 单调递增,且 x∈(1,2)时,x≠a. 1 ③当 1<2a<2 时,即 <a<1 时,由(1)可得,f(x)在(1,2)上不具有单调性,不合题意. 2 ④当 2a≥2,即 a≥1 时,由(1)可得,f(x)在(0,a),(a,2a)为减函数,同时需注意 a?(1,2), 满足这样的条件时 f(x)在(1,2)单调递减,所以此时 a=1 或 a≥2. 1? 综上所述,a 的取值范围是? ?-∞,2?∪{1}∪[2,+∞). 3.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t∈[1,2],函

?f′?x?+m?在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. 数 g(x)=x3+x2· 2? ?
a?1-x? 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= x 当 a>0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);
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当 a<0 时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1); 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. a (2)由(1)及题意得 f′(2)=- =1, 2 即 a=-2, 2x-2 ∴f(x)=-2ln x+2x-3,f′(x)= . x m ? 2 ∴g(x)=x3+? ? 2 +2?x -2x, ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数, 即 g′(x)=0 在区间(t,3)上有变号零点.
? ?g′?t?<0, 由于 g′(0)=-2,∴? ?g′?3?>0. ?

当 g′(t)<0,即 3t2+(m+4)t-2<0 对任意 t∈[1,2]恒成立,由于 g′(0)<0, 故只要 g′(1)<0 且 g′(2)<0, 即 m<-5 且 m<-9,即 m<-9; 37 由 g′(3)>0,即 m>- . 3 37 所以- <m<-9. 3 37 ? 即实数 m 的取值范围是? ?- 3 ,-9?.

第二课时 导数与函数的极值、最值

考点一 运用导数解决函数的极值问题|(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数的极值 当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. [提醒] 可导函数的极值点必须是导数为 0 的点, 但导数为 0 的点不一定是极值点, 即 f′(x0) =0 是可导函数 f(x)在 x=x0 处取得极值的必要不充分条件.例如函数 y=x3 在 x=0 处有 y′= 0,但 x=0 不是极值点.

80

[多角探明] 函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中, 为中高档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)知图判断函数极值; (2)已知函数求极值; (3)已知极值求参数. 角度一:知图判断函数极值 1.设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 y=(1-x)f′(x) 的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 解析:选 D 由题图可知,当 x<-2 时,f′(x)>0;当-2<x<1 时,f′(x)<0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值. 角度二:已知函数求极值 2.设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数 a,b ∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f′(x)e x,求函数 g(x)的极值.


)

解:(1)由于 f′(x)=3x2+2ax+b, 则 f′(1)=3+2a+b=2a,解得 b=-3; 3 f′(2)=12+4a+b=-b,解得 a=- . 2 3 所以 f(x)=x3- x2-3x+1,f′(x)=3x2-3x-3, 2 5 于是有 f(1)=- ,f′(1)=-3, 2 5? 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-? ?-2?=-3(x-1),即 6x+2y-1=0. (2)由(1)知 g(x)=(3x2-3x-3)e x,


则 g′(x)=(-3x2+9x)e x,


令 g′(x)=0 得 x=0 或 x=3, 于是函数 g(x)在(-∞, 0)上单调递减, 在(0,3)上单调递增, 在(3,+∞)上单调递减.
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所以函数 g(x)在 x=0 处取得极小值 g(0)=-3,在 x=3 处取得极大值 g(3)=15e 3.


角度三:已知极值求参数 3.设 f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若 f(x)在 x=1 处取得极值,则 a 的值为________. 解析:由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), -2ax2-?2a+1?x 1 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x 1 由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0,得 a=- , 4 1 2 1 1 x - x x?x-1? 2 2 2 1 又当 a=- 时,f′(x)= = , 4 1+x 1+x 当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0, 1 所以 f(1)是函数 f(x)的极小值,所以 a=- . 4 1 答案:- 4 [类题通法] 利用导数研究函数极值的一般流程

考点二 运用导数解决函数的最值问题|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. [提醒] 函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. [典题例析]
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(2015· 洛阳统考)已知函数 f(x)= 值. 1-x 解:因 f(x)= +kln x, x -x-?1-x? k kx-1 f′(x)= + = 2 . x2 x x

1-x 1 ? 1 +kln x, k< , 求函数 f(x)在? ? e,e?上的最大值和最小 x e

1 ? 1 ,e 上恒有 f′(x)<0, ①若 k=0,则 f′(x)=- 2在? x ?e ? 1 ? ∴f(x)在? ?e,e?上单调递减. 1- e 1? ∴f(x)min=f(e)= ,f(x)max=f? ?e?=e-1. e

?x-1? k kx-1 ? k? ②若 k≠0,f′(x)= 2 = . x x2
1 x- ? k? k? ? 1 ? ①若 k<0,则在? ?e,e?上恒有 x2 <0, 1 ? ∴f(x)在? ?e,e?上单调递减, 1- e 1 ∴f(x)min=f(e)= +kln e= +k-1, e e 1? f(x)max=f? ? e?=e-k-1. 1 1 1 ②若 k>0,由 k< ,得 >e,则 x- <0, e k k 1? k? ?x-k? x2 1 ? <0,∴f(x)在? ?e,e?上单调递减.



1- e 1 ∴f(x)min=f(e)= +kln e= +k-1, e e 1? f(x)max=f? ? e?=e-k-1. 综上,当 k=0 时,f(x)min= 1-e ,f(x)max=e-1; e

1 1 当 k≠0 且 k< 时,f(x)min= +k-1,f(x)max=e-k-1. e e [类题通法] 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b);
83

(3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. [演练冲关] 1 设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 (1)求实数 a,b 的值; 1 ? (2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值. a 解:(1)f′(x)= -2bx, x 1 ∵函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 f′?1?=a-2b=0, a=1, ? ? ? ? ∴? 解得? 1 1 f?1?=-b=- , ? ? 2 ? ?b=2. 1 (2)由(1)得 f(x)=ln x- x2, 2 1-x2 1 则 f′(x)= -x= , x x 1 1 ∵当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x<1; e e 1 ? 令 f′(x)<0,得 1<x≤e,∴f(x)在? ?e,1?上单调递增,在[1,e]上单调递减,∴f(x)max=f(1) 1 =- . 2 考点三 函数极值和最值的综合问题|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] ax2+bx+c 已知函数 f(x)= (a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为-3 和 0. ex (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e3,求 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. ?2ax+b?ex-?ax2+bx+c?ex 解:(1)f′(x)= ?ex?2 -ax2+?2a-b?x+b-c = , ex 令 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为 ex>0,所以 y=f′(x)的零点就是 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c 的零点,且 f′(x)与 g(x)符号相同. 又因为 a>0,所以-3<x<0 时,g(x)>0,即 f′(x)>0, 当 x<-3 或 x>0 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,
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所以 f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点,所以有 9a-3b+c ? ? e =-e , ?g?0?=b-c=0, ? ?g?-3?=-9a-3?2a-b?+b-c=0,
-3

3

解得 a=1,b=5,c=5, x2+5x+5 所以 f(x)= . ex 因为 f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以 f(0)=5 为函数 f(x)的极大值, 故 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取 f(-5)和 f(0)中的最大者. 而 f(-5)= 5 5 - =5e >5=f(0), e 5

所以函数 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是 5e5. [类题通法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求 函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过 单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. [演练冲关] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x 2 = 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, 得 f′(x)=3x2+2ax+b. 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0, 2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?3?=0, 3 可得 4a+3b+4=0, 由①②,解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 1,所以 f(1)=4. 所以 1+a+b+c=4,得 c=5. (2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, f′(x)=3x2+4x-4.
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2 令 f′(x)=0,解得 x1=-2,x2= . 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示: x f′(x) f(x) -3 + 8 (-3,-2) + ? -2 0 13

?-2,2? 3? ?
- ?

2 3 0 95 27

?2,1? ?3 ?
+ ?

1 + 4

95 13,最小值为 . 27

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 1.当函数 y=x· 2x 取极小值时,x=( 1 A. ln 2 C.-ln 2 ) 1 B.- ln 2 D.ln 2

1 解析:选 B 令 y′=2x+x· 2xln 2=0,∴x=- . ln 2 1 2.(2015· 济宁一模)函数 f(x)= x2-ln x 的最小值为( 2 1 A. 2 C.0 B.1 D.不存在 )

2 1 x -1 解析:选 A f′(x)=x- = ,且 x>0.令 f′(x)>0,得 x>1; 令 f′(x)<0,得 0<x<1. x x

1 1 ∴f(x)在 x=1 处取得极小值也是最小值,且 f(1)= -ln 1= . 2 2 a 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( b 2 A.- 3 2 C.-2 或- 3 解析:选 A B.-2 2 D.2 或- 3 由 题 意 知 , f′(x) = 3x2 + 2ax + b , f′(1) = 0 , f(1) = 10 , 即 )

? ? ? ? ?3+2a+b=0, ?a=-2, ?a=-6, ?a=-6, a ? 解得? 或? 经检验? 满足题意, 故 = 2 b ?1+a+b-a -7a=10, ? ? ?b=9 ? ?b=1 ?b=9, ?

2 - ,选 A. 3 4.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下
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列图象不可能为 y=f(x)图象的是(

)

解析: 选 D 因为[f?x?e ]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f?x?+f′?x?]ex, 且 x=-1 为函数 f(x)ex
x

的一个极值点,所以 f(-1)+f′(-1)=0;选项 D 中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足 f′(- 1)+f(-1)=0. 1? 5.已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax? ?a>2?,当 x∈(-2,0)时,f(x)的最 小值为 1,则 a 的值等于( 1 A. 4 1 C. 2 ) 1 B. 3 D.1

1 解析: 选 D ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当 x∈(0,2)时, f′(x)= -a, x 1? 1 1 1 1 令 f′(x)=0 得 x= ,又 a> ,∴0< <2.当 0<x< 时,f′(x)>0,f(x)在? ?0,a?上单调递增;当 a 2 a a 1 ? 1 1 1 ?1? x> 时,f′(x)<0,f(x)在? =-1,解得 a=1. ?a,2?上单调递减,∴f(x)max=f?a?=lna-a· a a 6.(2015· 山东日照月考)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断: 1? ①函数 y=f(x)在区间? ?-3,-2?内单调递增; 1 ? ②函数 y=f(x)在区间? ?-2,3?内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断中正确的是( )

A.①② C.③④⑤

B.②③ D.③

87

1 ? 解析: 选 D 当 x∈(-3, -2)时, f′(x)<0, f(x)单调递减, ①错; 当 x∈? f′(x)>0, ?-2,2?时, f(x)单调递增,当 x∈(2,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,②错;当 x=2 时,函数 y=f(x)有极大 1 值,④错;当 x=- 时,函数 y=f(x)无极值,⑤错.故选 D. 2 二、填空题 x3 7.函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 解析:f′(x)=x2+2x-3, 令 f′(x)=0 得 x=1(x=-3 舍去), 17 10 又 f(0)=-4,f(1)=- ,f(2)=- , 3 3 17 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)=- . 3 17 答案:- 3 8.(2015· 东北八校月考)已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象 在 x=1 处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)的极大值与极小值之差为________. 解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3b,
2 ? ? ?f′?2?=3×2 +6a×2+3b=0, ?a=-1, ? ∴ ?? 2 ?f′?1?=3×1 +6a×1+3b=-3, ? ? ?b=0,

∴f′(x)=3x2-6x,令 3x2-6x=0,得 x=0 或 x=2, ∴f(x)极大值-f(x)极大值=f(0)-f(2)=4. 答案:4 9.函数 f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是 ________. 解析:令 f′(x)=3x2-3a=0,得 x=± a, 则 f(x),f′(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,- a) + ? - a 0 极大值 (- a, a) - ? a 0 极小值 ( a,+∞) + ?

? ??- a? -3a?- a?+b=6, ?a=1, ? 从而? 解得 ?b=4. ? ?? a?3-3a a+b=2,

3

所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案:(-1,1)
88

10.已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________. 解析:∵f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 由 f′(x)<0,得 1<x<3,由 f′(x)>0,得 x<1 或 x>3, ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数. 又 a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0, ∴y 极大值=f(1)=4-abc>0, y 极小值=f(3)=-abc<0. ∴0<abc<4.

∴a,b,c 均大于零,或者 a<0,b<0,c>0.又 x=1,x=3 为函数 f(x)的极值点,后一种 情况不可能成立,如图. ∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案:②③ 三、解答题 a 11.已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. a a 解:(1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,
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且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 12.(2015· 衡水中学二调)已知函数 f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a 为实数). (1)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在 x=1 处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值. 解:(1)当 a=5 时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e. 又 g′(x)=(-x2+3x+2)ex, 故切线的斜率为 g′(1)=4e. 所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?0,1? ? e?
- 单调递减

1 e 0 极小值

?1,+∞? ?e ?
+ 单调递增

1 ①当 t≥ 时,在区间[t,t+2]上 f(x)为增函数, e 所以 f(x)min=f(t)=tln t. 1? 1 ?1 ? ②当 0<t< 时,在区间? ?t,e?上 f(x)为减函数,在区间?e,t+2?上 f(x)为增函数, e 1? 1 所以 f(x)min=f? ?e?=-e. [B 卷——增分提能] 1.已知函数 f(x)=ax -e (a∈R,e 为自然对数的底数),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)解关于 x 的不等式:f(x)>f′(x); (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=2ax-ex, 令 f(x)-f′(x)=ax(x-2)>0. 当 a=0 时,无解; 当 a>0 时,解集为{x|x<0 或 x>2}; 当 a<0 时,解集为{x|0<x<2}. (2)设 g(x)=f′(x)=2ax-ex, 则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根. g′(x)=2a-ex,
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2 x

当 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减, 方程 g(x)=0 不可能有两个根; 当 a>0 时,由 g′(x)=0,得 x=ln 2a, 当 x∈(-∞,ln 2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x∈(ln 2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减. ∴当 g(x)max>0 时,方程 g(x)=0 才有两个根, e ∴g(x)max=g(ln 2a)=2aln 2a-2a>0,得 a> . 2 e ? 故实数 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 2.(2014· 江西高考)已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间 [1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 解:(1)当 a=-4 时,f(x)=(4x2-16x+16) 2 由 f′(x)>0 得 0<x< 或 x>2. 5 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). ?10x+a??2x+a? (2)f′(x)= ,a<0, 2 x a a 由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a? a a ? a ? 当 x∈? ?0,-10?时,f(x)单调递增;当 x∈-10,-2时,f(x)单调递减;当 x∈?-2,+∞? 时,f(x)单调递增. a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ?-2?=0. a ①当- ≤1 时,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8, 2 得 a=± 2 2-2,均不符合题意. a? a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f? ?-2?=0,不符合题意. 2 a ③当- >4 时, 即 a<-8 时, f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取得, 而 f(1)≠8, 2 由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去),当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递 减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 3.(2015· 云南第一次检测)已知 f(x)=ex(x3+mx2-2x+2).
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2?5x-2??x-2? x,其中 x>0.则 f′(x)= . x

(1)假设 m=-2,求 f(x)的极大值与极小值; (2)是否存在实数 m,使 f(x)在[-2,-1]上单调递增?如果存在,求 m 的取值范围;如 果不存在,请说明理由. 解:(1)当 m=-2 时, f(x)=ex(x3-2x2-2x+2),其定义域为(-∞,+∞). 则 f′(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2) =xex(x2+x-6) =(x+3)x(x-2)ex, ∴当 x∈(-∞,-3)或 x∈(0,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(-3,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0; f′(-3)=f′(0)=f′(2)=0, ∴f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增; 在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=-3 或 x=2 时,f(x)取得极小值; 当 x=0 时,f(x)取得极大值, ∴f(x)极小值=f(-3)=-37e 3,f(x)极小值=f(2)=-2e2,


f(x)极大值=f(0)=2. (2)f′(x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2)
2 =xex[x +?m+3?x+2m-2].

∵f(x)在[-2,-1]上单调递增, ∴当 x∈[-2,-1]时,f′(x)≥0. 又∵当 x∈[-2,-1]时,xex<0, ∴当 x∈[-2,-1]时,x2+(m+3)x+2m-2≤0,
2 ? ?f′?-2?=?-2? -2?m+3?+2m-2≤0, ? ∴ 解得 m≤4, 2 ?f′?-1?=?-1? -?m+3?+2m-2≤0, ?

∴当 m∈(-∞,4]时,f(x)在[-2,-1]上单调递增.

第三课时 导数与函数的综合问题

考点一 利用导数研究生活中的优化问题|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2013· 重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面

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半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本 为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为 160πr2 元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之 间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [演练冲关] 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销售价格 x(单位: 元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千 x-3

克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值;
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(2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得 的利润最大. 解:(1)因为 x=5 时,y=11, a 所以 +10=11,a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2. x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?

?

?

=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (3,4) + ? 4 0 极大值 (4,6) - ?

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2, 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a. 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以

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g(x)=0 在(-∞,0]有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2) , h(x) 在 (0,2) 单 调 递 减 , 在 (2 , + ∞) 单 调 递 增 , 所 以 g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+∞)没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. [类题通法] 利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等, 根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想 去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. [演练冲关] 已知函数 f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1? (2)若函数 f(x)在区间? ?0,2?上无零点,求 a 的最小值. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x-1-2ln x, 2 则 f′(x)=1- ,定义域 x∈(0,+∞). x 由 f′(x)>0,得 x>2,由 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞), (2)f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x, 令 m(x)=(2-a)(x-1),x>0;h(x)=2ln x,x>0, 则 f(x)=m(x)-h(x), 1 1 0, ?上为增函数,h(x)在?0, ?上为增函数, ①当 a<2 时,m(x)在? ? 2? ? 2? 1 1 1 0, ?上无零点,则 m? ?≥h? ?, 若 f(x)在? ? 2? ?2? ?2? 1 ? 1 -1 ≥2ln ,∴a≥2-4ln 2, 即(2-a)? ?2 ? 2 ∴2-4ln 2≤a<2, 1? ②当 a≥2 时,在? ?0,2?上 m(x)≥0,h(x)<0, 1? ∴f(x)>0,∴f(x)在? ?0,2?上无零点. 由①②得 a≥2-4ln 2,∴amin=2-4ln 2. 考点三 利用导数研究与不等式有关的问题|(常考常新型考点——多角探明)
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[多角探明] 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容, 且以解答题的形式考查, 难度较大, 属中高档题.归纳起来常见的命题角度有: (1)证明不等式; (2)不等式恒成立问题; (3)存在型不等式成立问题.

角度一:证明不等式 1.(2015· 唐山一模)已知 f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函数 f(x)的最大值; f?x? (2)设 g(x)= ,x>-1,且 x≠0,证明:g(x)<1. x 解:(1)f′(x)=-xex. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 所以 f(x)的最大值为 f(0)=0. (2)证明:由(1)知,当 x>0 时,f(x)<0,g(x)<0<1. 当-1<x<0 时,g(x)<1 等价于 f(x)>x. 设 h(x)=f(x)-x,则 h′(x)=-xex-1. 当 x∈(-1,0)时,0<-x<1,0<ex<1,则 0<-xex<1, 从而当 x∈(-1,0)时,h′(x)<0,h(x)在(-1,0]上单调递减. 当-1<x<0 时,h(x)>h(0)=0,即 g(x)<1. 综上,总有 g(x)<1. 角度二:不等式恒成立问题 2.已知 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 2 (2)证明:对一切 x∈(0,+∞),ln x> x- 恒成立. e ex 解:(1)由题意知 2xln x≥-x2+ax-3 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 3 则 a≤2ln x+x+ , x 3 设 h(x)=2ln x+x+ (x>0), x ?x+3??x-1? 则 h′(x)= , x2 ①当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
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②当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以 h(x)min=h(1)=4,对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以 a≤h(x)min=4. 即实数 a 的取值范围是(-∞,4] x 2 (2)证明:问题等价于证明 xln x> x- (x∈(0,+∞)). e e 又 f(x)=xln x,f′(x)=ln x+1, 1 0, ?时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈? ? e? 1 ? 当 x∈? ? e,+∞?时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 1? 1 所以 f(x)min=f? =- . e ? ? e 1-x x 2 设 m(x)= x- (x∈(0,+∞)),则 m′(x)= x , e e e 1 易知 m(x)max=m(1)=- , e 1 2 从而对一切 x∈(0,+∞),ln x> x- 恒成立. e ex 角度三:存在型不等式成立问题 a 1 3.(2015· 新乡调研)已知函数 f(x)=x-(a+1)ln x- (a∈R),g(x)= x2+ex-xex. x 2 (1)当 x∈[1,e]时,求 f(x)的最小值; (2)当 a<1 时,若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求 a 的取值范围. ?x-1??x-a? 解: (1)f(x)的定义域为(0, +∞), f′(x)= .①当 a≤1 时, x∈[1, e], f′(x)≥0, x2 f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a. ②当 1<a<e 时, x∈[1,a]时,f′(x)≤0,f(x)为减函数; x∈[a,e]时,f′(x)≥0,f(x)为增函数. 所以 f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1. ③当 a≥e 时,x∈[1,e]时,f′(x)≤0, f(x)在[1,e]上为减函数. a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e 综上,当 a≤1 时,f(x)min=1-a; 当 1<a<e 时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1;
97

a 当 a≥e 时,f(x)min=e-(a+1)- . e (2)由题意知:f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于 g(x)(x∈[-2,0])的最小值. 由(1)知 f(x)在[e,e2]上单调递增, a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e g′(x)=(1-ex)x. a 当 x∈[-2,0]时 g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以 e-(a+1)- <1,即 e e2-2e a> , e+1

?e -2e,1?. 所以 a 的取值范围为? ? ? e+1 ?
[类题通法] 导数在不等式问题中的应用问题解题策略 (1)利用导数证明不等式 若证明 f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),如果 F′(x)<0,则 F(x) 在(a,b)上是减函数,同时若 F(a)≤0,由减函数的定义可知,x∈(a,b)时,有 F(x)<0,即 证明了 f(x)<g(x). (2)利用导数解决不等式的恒成立问题 利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出 最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数, 直接把问题转化为函数的最值问题.

2

[A 卷——夯基保分] 1.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元, 其他费用每小时需 400 元, 火车的最高速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少? 解:设火车的速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. 1 由题意,令 40=k· 203,∴k= , 200 a 则总费用 f(x)=(kx3+400)· x 400 1 400 kx2+ ?=a? x2+ ?(0<x≤100). =a? x ? ?200 x ? ? a?x3-40 000? 3 由 f′(x)= =0,得 x=20 5. 100x2
98

3 当 0<x<20 5时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 3 当 20 5<x≤100 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 3 3 ∴当 x=20 5时,f(x)取极小值也是最小值,即速度为 20 5 km/h 时,总费用最少. 2.(2015· 山西四校联考)已知 f(x)=ln x-x+a+1. (1)若存在 x∈(0,+∞)使得 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围; 1 1 (2)求证:当 x>1 时,在(1)的条件下, x2+ax-a>xln x+ 成立. 2 2 解:(1)原题即为存在 x>0 使得 ln x-x+a+1≥0, ∴a≥-ln x+x-1,令 g(x)=-ln x+x-1, x-1 1 则 g′(x)=- +1= . x x 令 g′(x)=0,解得 x=1. ∵当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数, ∴g(x)min=g(1)=0,a≥g(1)=0. 故 a 的取值范围是[0,+∞). (2)证明:原不等式可化为 1 2 1 x +ax-xln x-a- >0(x>1,a≥0). 2 2 1 1 令 G(x)= x2+ax-xln x-a- ,则 G(1)=0. 2 2 由(1)可知 x-ln x-1>0, 则 G′(x)=x+a-ln x-1≥x-ln x-1>0, ∴G(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴G(x)>G(1)=0 成立, 1 1 1 1 ∴ x2+ax-xln x-a- >0 成立,即 x2+ax-a>x1nx+ 成立. 2 2 2 2 3.(2014· 四川高考)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点.证明:e-2<a<1. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1, 有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
99

1 当 a≤ 时,g′(x)≥0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1). 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)证明: 设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点, 则由 f(0)=f(x0)=0 可知 f(x)在区间(0, x0) 上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负, 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2. 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 2 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0, g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1. [B 卷——增分提能]

100

x+1 1.(2015· 东北三校联考)已知函数 f(x)= x (e 为自然对数的底数). e (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)设函数 φ(x)=xf(x)+tf′(x)+ x,存在实数 x1,x2∈[0,1],使得 2φ(x1)<φ(x2)成立,求 e 实数 t 的取值范围. x 解:(1)∵函数的定义域为 R,f′(x)=- x, e ∴当 x<0 时,f′(x)>0,当 x>0 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. (2)假设存在 x1,x2∈[0,1],使得 2φ(x1)<φ(x2)成立, 则 2[φ(x)]min<[φ(x)]max. x2+?1-t?x+1 - ∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e x= , ex -x2+?1+t?x-t ?x-t??x-1? ∴φ′(x)= =- . ex ex ①当 t≥1 时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减, e ∴2φ(1)<φ(0),即 t>3- >1. 2 ②当 t≤0 时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增, ∴2φ(0)<φ(1),即 t<3-2e<0. ③当 0<t<1 时,若 x∈[0,t),φ′(x)<0,φ(x)在[0,t)上单调递减; 若 x∈(t,1],φ′(x)>0,φ(x)在(t,1]上单调递增, 所以 2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},
? t+1 3-t? ?,(*) 即 2· t <max?1, e e ? ?

t+1 由(1)知,g(t)=2· t 在[0,1]上单调递减, e t+1 4 2 3-t 3 故 ≤2· t ≤2,而 ≤ ≤ ,所以不等式(*)无解. e e e e e e 3- ,+∞?,使得命题成立. 综上所述,存在 t∈(-∞,3-2e)∪? ? 2 ? 2.(2015· 皖南八校联考)已知函数 f(x)=xln x+mx(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的 斜率为 2. (1)求实数 m 的值; f?x?-x (2)设 g(x)= ,讨论 g(x)的单调性; x-1

101

(3)已知 m,n∈N*且 m>n>1,证明

n n > . m n m

m

解:(1)因为 f(x)=xln x+mx,所以 f′(x)=1+ln x+m. 由题意 f′(1)=1+ln 1+m=2,得 m=1. f?x?-x xln x (2)g(x)= = (x>0,x≠1), x-1 x-1 x-1-ln x 所以 g′(x)= . ?x-1?2 1 设 h(x)=x-1-ln x,h′(x)=1- . x 1 当 x>1 时,h′(x)=1- >0,h(x)是增函数, x h(x)>h(1)=0, x-1-ln x 所以 g′(x)= >0, ?x-1?2 故 g(x)在(1,+∞)上为增函数; 1 当 0<x<1 时,h′(x)=1- <0,h(x)是减函数, x h(x)>h(1)=0, x-1-ln x 所以 g′(x)= >0,故 g(x)在(0,1)上为增函数; ?x-1?2 所以 g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上都是单调递增的. (3)证明:由已知可知要证 n n > , m n m m

ln n ln m 即证 - >ln n-ln m, m n n-1 m-1 即证 ln m> ln n, n m mln m nln n 即证 > , m-1 n-1 即证 g(m)>g(n), 又 m>n>1(m,n∈N ),由(2)知 g(m)>g(n)成立,所以
*

n n > . m n m

m

102

第十二节

定积分与微积分基本定理

基础盘查一 定积分的概念、几何意义与性质 (一)循纲忆知 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (二)小题查验 1.判断正误 (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则? ?af(x)dx=? ?af(t)dt( (2)定积分一定是曲边梯形的面积(
b b b

)

) )

(3)若? 那么由 y=f(x), x=a, x=b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方( ?af(x)dx<0, (4)若 f(x)是偶函数,则? ?0f(x)dx( ?-af(x)dx=2? 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
1 a a

)

2.(人教 A 版教材习题改编) ? ?0 1-x2dx=________. π 答案: 4 基础盘查二 微积分基本定理 (一)循纲忆知 了解微积分基本定理的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)微积分基本定理中 F(x)是唯一的(
a

) )

(2)若 f(x)是连续的奇函数,则? ?-af(x)dx=0( 答案:(1)× (2)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)计算:

? (1) ?2(3x+sin x)dx=________. ?0
2 2? x (2) ? ?1? ?e -x?dx=________________.

π

3π2 答案:(1) +1 (2)e2-e-2ln 2 8

103

考点一 定积分的计算|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定积分的性质 (1)? ?akf(x)dx=k? ?af(x)dx(k 为常数);
b b

? (2)? ?a[f1(x)± f2(x)]dx=? ?af1(x)dx± ?af2(x)dx;
(3)? ?af(x)dx=? ?af(x)dx+? ?c f(x)dx(其中 a<c<b). 2.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 且 F′(x)=f(x), 那么? ?af(x)dx=F(b)-F(a), 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.
b ? 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 F(x)|b a,即?af(x)dx=F(x) |a=F(b)-F(a). b b b c b

b

b

b

[题组练透] 计算下列定积分: (1)? ?-1(3x2-2x+1)dx; (3)? ?0(sin x-cos x)dx; 解:(1)? ?-1(3x2-2x+1)dx =(x3-x2+x)|3 -1=24.
2 1? ?1 2 ? |2 3 (2)? ? 1? ?x-x?dx=?2x -ln x? 1=2-ln 2. 3 π 3 2 1 x- ?dx; (2)? ? 1? ? x?

(4)? ?0|1-x|dx.

2

(3)? ?0(sin x-cos x)dx=? ?0sin xdx-? ?0cos xdx=
π (-cos x) |0 -sin x 2 1

π

π

π

|π 0=2.
2

(4)? ?0|1-x|dx=? ?0(1-x)dx+? ?1(x-1)dx 1 2? =? ?x-2x ?
1 ? 2 2 +?2x -x? |0 ? |1

1

1? ?1 2 ? ?1 2 ? =? ?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1?=1. [类题通法] 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简,再求积分; (2)求被积函数为分段函数的定积分, 依据定积分“对区间的可加性”, 分段积分再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分;
104

(4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. 考点二 定积分几何意义的应用|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分? ?af(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形(如 图中的阴影部分)的面积. [提醒] 曲边梯形的面积非负,而定积分的结果可以为负. [一题多变] [典型母题] 由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为________. [解析] 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义 可知,由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为 16 2 3 1 ? ?0 ( x-x+2)dx=?3x 2 -2x2+2x? |4 0= . 3 ? ? [答案] 16 3
4 b

[题点发散 1] 若本例中“y=x-2”改为“y=-x+2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如 何求解? 解:如图所示, 由 y= x及 y=-x+2 可得 x=1.由定积分的几何意 义可知,由 y= x,y=-x+2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 2 ? ?0 xdx+? ?1 (-x+2)dx=3x 2 7 = . 6 [题点发散 2] 若本例中“y=x-2”改为“y=m”,且由曲线 f(x)= x与 y 轴及直线 y 8 =m(m>0)围成的图形的面积为 ,则 m 的值为________. 3 解析:S= 答案:2 1 [题点发散 3] 若本例变为:求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3
1 2
3

|

1 0+

?2x-x ? 2? ?

2

|2 1

?

m2 0

2 8 2 3 ? m2 ? (m- x)dx= mx- x 2 | 0 =m3- m3= ,所以 m=2. 3 3 3 ? ?

105

?y= x, 解:由? 得交点 A(1,1). ?y=2-x
y=2-x, ? ? 由? 得交点 B(3,-1). 1 y=- x ? 3 ? 故所求面积
1 3 1 ?2-x+1x?dx x+ x?dx+? S=? ?0? ? 1? 3 ? 3 ? ?

2 3 1 2? 1 ? 1 2? 3 | | =? ?3x2+6x ? 0+?2x-3x ? 1 2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6 [类题通法] 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案. [提醒] 利用定积分求平面图形的面积,一定要找准积分上、下限及被积函数,当图形

的边界不同时,要分情况讨论. 考点三 定积分在物理中的应用|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.变速直线运动问题 如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从 时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为? ?av(t)dt;如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函 数是 v=v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为-? ?av(t)dt. 2.变力做功问题 物体在变力 F(x)的作用下,沿与力 F(x)相同方向从 x=a 到 x=b 所做的功为? ?aF(x)dx. [典题例析] (2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7 25 -3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位: 1+t m)是( ) 11 B.8+25ln 3
106
b b b

A.1+25ln 5

C.4+25ln 5 解析:选 C 由 v(t)=7-3t+

D.4+50ln 2 8 25 ? =0,可得 t=4? ?t=-3舍去?,因此汽车从刹车到停止 1+t

4 4 25 32 ?|4 一共行驶了 4 s,此期间行驶的距离为? ?0v(t)dt=? ?0?7-3t+1+t?dt=? ?7t-2t +25ln?1+t?? 0=

?

?

4+25ln 5. [类题通法] 利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函 数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定 理计算即得所求. [演练冲关]
? ?5,0≤x≤2, 一物体在力 F(x)=? (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处 ?3x+4,x>2 ?

运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为________焦. 解析:由题意知,力 F(x)所做的功为 W=? ?0F(x)dx=? ?05dx+? ?2(3x+4)dx 3 2 ? |4 =5×2+? ?2x +4x? 2 3 3 2 2 ?? =10+?2×4 +4×4-? ?2×2 +4×2? =36(焦).
4 2 4

?

?

答案:36

对应学生用书P

一、选择题 1.(2014· 陕西高考)定积分? ?0(2x+ex)dx 的值为( A.e+2 C.e
1 1

)

B.e+1 D.e-1

0 解析:选 C ? ?0(2x+ex)dx=(x2+ex)| 1 0=(1+e)-(0+e )=e,故选 C.

2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知 自由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为( 1 A. g 2 3 C. g 2 解析:选 C 由题意知电视塔高为
107

)

B.g D.2g

1 1 3 2 ? =2g- g= g. ?1gtdt=2gt2| 1 2 2
a 1? 3.若? ?1? ?2x+x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是(

2

)

A.2 C.4

B.3 D.6

1? 2 a 2 ? 解析:选 A 由题意可知∫a 1 2x+x dx=(x +ln x)|1=a +ln a-1=3+ln 2,解得 a=2. ? ? 4.(2015· 山东淄博一模)如图所示,曲线 y=x2-1,x=2,x=0,y =0 围成的阴影部分的面积为( A. ? ?0|x2-1|dx B.|? ?0(x2-1)dx| C.? ?0(x2-1)dx D.? ?0(x2-1)dx+? ?1(1-x2)dx 解析:选 A 由曲线 y=|x2-1|的对称性,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等, 即? ?0|x2-1|dx.
2 1 2 2 2 2

)

5.(2015· 山西四校联考)定积分? ?-2|x2-2x|dx=( A.5 C.7 解析:选 D
2 2

2

)

B.6 D.8
?x2-2x,-2≤x<0, ? |x -2x|=? 2 ?-x +2x,0≤x≤2, ?
0 2

? ?-2|x2-2x|dx=? ?-2 (x2-2x)dx+? ?0 (-x2+2x)dx
1 3 2? 0 1 x -x |-2+?- x3+x2?|2 =? ?3 ? ? 3 ? 0=8. 6.(2014· 湖北高考)若函数 f(x),g(x)满足? ?- f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]
1 1

上的一组正交函数.给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x; 2 2 ②f(x)=x+1,g(x)=x-1;
108

③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 C.2
1

)

B.1 D.3

1 1 1 1 ? 解析:选 C 对于①,? sin x cos x d x = sin xdx=0,所以①是一组正交函数;对于 ?-1 2 ? - 2 12 2 ②,? x2dx ?- (x+1)(x-1)dx=? ?- (x -1)dx≠0,所以②不是一组正交函数;对于③,? ?- x· 1 1 1 3 =? ?- x dx=0,所以③是一组正交函数.选 C. 1 1 1 1 1

二、填空题 7. (2015· 合肥模拟)设函数 f(x)=(x-1)x(x+1), 则满足? ? f′(x)dx=0 的实数 a=_______.
0 a

解析:? ? f′(x)dx=f(a)=0,得 a=0 或 1 或-1,又由积分性质知 a>0,故 a=1.
0

a

答案:1 π π x+ ?dx=________. 8.∫20 2sin? ? 4?

? ?2 π? ? 解析:依题意得?2 2sin? (sin x+cos x)dx=(sin x-cos x) ? ?x+4?dx=? ?0 ?0 ? ?sinπ-cosπ?-(sin 0-cos 0)=2. 2? ? 2
答案:2

π

π

? 2 0



9 . (2015· 北京海淀一模 ) 函数 y = x - x2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 ________.
1 x2 x3? 解析: 由 x-x2=0, 得 x=0 或 x=1.因此所围成的封闭图形的面积为? ?0(x-x2)dx=? ?2-3?

1 1 1 |1 0= - = . 2 3 6 1 答案: 6 1 10.曲线 y= +2x+2e2x,直线 x=1,x=e 和 x 轴所围成的区域的面积是________. x
e 1 2x? 解析:由题意得,所求面积为? ?1? ?x+2x+2e ?dx=

1 2e 2x e 2 2e 2 2e ? ?1xdx+? ?12xdx+? ?12e2xdx=ln x|e 1+x |1+e |1=(1-0)+(e -1)+(e -e )=e . 答案:e2e 三、解答题 11.求下列定积分.
109

e

e

e

2 1? 2 (1) ? ?1? ?x-x +x?dx;

(2) ? ?-π(cos x+ex)dx.

0

2 2 2 2 1 1 2 ? ? x-x2+ ?dx=? 解:(1)? x d x - x d x + dx ? 1? ? ? ? 1 1 1x x? ?



x2 2 x3 2 3 7 5 | - | +ln x |2 1= - +ln 2=ln 2- . 2 1 3 1 2 3 6
0 0 0

(2)? ?-π(cos x+ex)dx=? ?-πcos xdx+? ?-πexdx 1 0 x 0 =sin x |- π+e |-π=1- π. e 12. (2015· 江西宜春月考)已知函数 f(x)=x3-x2+x+1, 求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x) =x2 围成的图形的面积. 解:∵(1,2)为曲线 f(x)=x3-x2+x+1 上的点, 设过点(1,2)处的切线的斜率为 k, 则 k=f′(1)=(3x2-2x+1)|x=1 =2, ∴过点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x. y=2x 与函数 g(x)=x2 围成的图形如图:

2 ? ?y=x , ? 由 可得交点 A(2,4). ?y=2x ?

∴y=2x 与函数 g(x)=x2 围成的图形的面积
2 8 4 2 1 3? 2 S=? ?0 (2x-x2)=? ?x -3x ?| 0=4-3=3.

对应学生用书P

命题点一 导数的运算及几何意义 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题、解答题

1.(2014· 大纲卷)曲线 y=xex

-1

在点(1,1)处切线的斜率等于(
110

)

A.2e C.2


B.e D.1


解析:选 C 由题意可得 y′=ex 1+xex 1,所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于 2,故 选 C. 2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a =( ) A.0 C.2 解析:选 D y′=a- B.1 D.3 1 ,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3. x+1

3.(2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 1 解析:因为 f(ex)=x+ex,所以 f(x)=x+ln x(x>0),所以 f′(x)=1+ ,所以 f′(1)=2. x 答案:2 b 4.(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. b b 解析:y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,
答案:-3 命题点二 导数的应用 难度:高、中

b

? ?a=-1, 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, ?

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、解答题 )

1 1.(2012· 辽宁高考)函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞)

1 1 ?x-1??x+1? 解析: 选 B 函数 y= x2-ln x 的定义域为(0, +∞), y′=x- = , 令 y′≤0, 2 x x 则可得 0<x≤1. 2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞ )单调递增,则 k 的取值 范围是( ) B.(-∞,-1]
111

A.(-∞,-2]

C.[2,+∞)

D.[1,+∞)

1 解析:选 D 因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k- .因为 f(x)在区间(1,+∞)上单调递 x 1 1 增,所以当 x>1 时,f′(x)=k- ≥0 恒成立,即 k≥ 在区间(1,+∞)上恒成立.因为 x>1, x x 1 所以 0< <1,所以 k≥1.故选 D. x 3.(2013· 浙江高考)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 解析:选 C 法一:当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),0,1 是函数 f(x)的零点.当 0<x<1 时,f(x)=(ex-1)(x-1)<0,当 x>1 时,f(x)=(ex-1)(x-1)>0,1 不会是极值点.当 k=2 时,f(x) =(ex-1)(x-1)2,零点还是 0,1,但是当 0<x<1,x>1 时,f(x)>0,由极值的概念,知选 C. 法二:当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),f′(x)=xex-1,f′(1)≠0,故 A、B 错;当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f′(x)=(x2-1)ex-2x+2=(x-1)[(x+1)ex-2],故 f′(x)=0 有一根 为 x1=1,另一根 x2∈(0,1).当 x∈(x2,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, f(x)递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值.故选 C. a 4.(2014· 江西高考)在同一直角坐标系中,函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a 2 ∈R)的图象不可能的是( )

解析:选 B 分两种情况讨论: 当 a=0 时,函数为 y=-x 与 y=x,图象为 D,故 D 有可能;当 a≠0 时,函数 y=ax2 a 1 -x+ 的对称轴为 x= ,对函数 y=a2x3-2ax2+x+a 求导得 y′=3a2x2-4ax+1=(3ax- 2 2a 1)(ax-1),令 y′=0,则 x1= 1 1 1 1 1 ,x = ,所以对称轴 x= 介于两个极值点 x1= ,x2= 之 3a 2 a 2a 3a a

间,A,C 满足,B 不满足,所以 B 不可能.故选 B. m 5.(2014· 陕西高考)设函数 f(x)=ln x+ ,m ∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3
112

f?b?-f?a? (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a

113

e 解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ , x x-e 则 f′(x)= 2 , x ∴当 x∈(0,e),f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减, 当 x∈(e,+∞),f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增, e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2. x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3 1 令 g(x)=0,得 m=- x3+x(x>0). 3 1 设 φ(x)=- x3+x(x≥0), 3 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点, 2 ∴φ(x)的最大值为 φ(1)= . 3

又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象(如图),可知 2 ①当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3

114

f?b?-f?a? (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立. b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), x ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减, 1 m 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, x x 1?2 1 得 m≥-x2+x=-? ?x-2? +4(x>0)恒成立, 1 1 1 对m= ,h′?x?=0仅在x= 时成立?, ∴m≥ ? 4 2 ? 4? 1 ? ∴m 的取值范围是? ?4,+∞?. π? 6.(2014· 北京高考)已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x∈? ?0,2?. (1)求证:f(x)≤0; π? sin x (2)若 a< <b 对 x∈? ?0,2?恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 解:(1)证明:由 f(x)=xcos x-sin x 得 f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. π 0, ?上 f′(x)=-xsin x<0, 因为在区间? ? 2? π 0, ?上单调递减. 所以 f(x)在区间? ? 2? 从而 f(x)≤f(0)=0. sin x (2)当 x>0 时,“ >a”等价于“sin x-ax>0”; x “ sin x <b”等价于“sin x-bx<0”. x

令 g(x)=sin x-cx,则 g′(x)=cos x-c. π? 当 c≤0 时,g(x)>0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立. π? ? π? 当 c≥1 时,因为对任意 x∈? ?0,2?,g′(x)=cos x-c<0,所以 g(x)在区间?0,2?上单调 π? 递减.从而 g(x)<g(0)=0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立. π? 当 0<c<1 时,存在唯一的 x0∈? ?0,2?使得 g′(x0)=cos x0-c=0. π? g(x)与 g′(x)在区间? ?0,2?上的情况如下:

115

x g′(x) g(x)

(0,x0) + ?

x0 0

?x0,π? 2? ?
- ?

因为 g(x)在区间[0,x0]上是增函数,所以 g(x0)>g(0)=0.进一步,“g(x)>0 对任意 x∈

?0,π?恒成立”当且仅当 g?π?=1-πc≥0,即 0<c≤2. ? 2? ?2? 2 π
π? 2 综上所述,当且仅当 c≤ 时,g(x)>0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立;当且仅当 c≥1 时,g(x) π π? <0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立. π? sin x 2 所以,若 a< <b 对任意 x∈? ?0,2?恒成立,则 a 的最大值为π,b 的最小值为 1. x 7. (2014· 浙江高考)已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0), 若 f(x)在[-1,1]上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 解:(1)因为 a>0,-1≤x≤1,所以 (ⅰ)当 0<a<1 时, 若 x∈[-1,a],则 f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故 f(x)在(-1,a)上是减函数; 若 x∈[a,1],则 f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,故 f(x)在(a,1)上是增函数; 所以 g(a)=f(a)=a3. (ⅱ)当 a≥1 时,有 x≤a,则 f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故 f(x)在(-1,1)上是 减函数,所以 g(a)=f(1)=-2+3a.
3 ? ?a ,0<a<1, 综上,g(a)=? ?-2+3a,a≥1. ?

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(a), (ⅰ)当 0<a<1 时,g(a)=a3. 若 x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3, 得 h′(x)=3x2+3,则 h(x)在(a,1)上是增函数, 所以 h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)=4-3a-a3, 且 0<a<1, 所以 h(1)≤4.故 f(x)≤g(a)+4; 若 x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3, 得 h′(x)=3x2-3,则 h(x)在(-1,a)上是减函数, 所以 h(x)在[-1,a]上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3. 令 t(a)=2+3a-a3,则 t′(a)=3-3a2>0, 知 t(a)在(0,1)上是增函数.

116

所以 t(a)<t(1)=4,即 h(-1)<4. 故 f(x)≤g(a)+4. (ⅱ)当 a≥1 时,g(a)=-2+3a,故 h(x)=x3-3x+2,得 h′(x)=3x2-3,此时 h(x)在(- 1,1)上是减函数, 因此 h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=4. 故 f(x)≤g(a)+4. 综上,当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 命题点三 定积分 难度:中、低
1

命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题
1

1.(2014· 江西高考)若 f(x)=x2+2? ?0f(x)dx,则? ?0f(x)dx=( A.-1 1 C. 3 解析:选 B ∵f(x)=x2+2? ?0f(x)dx,
1 1 1 3 1 ?1 f?x?dx?1 x +2x? ∴? = ?0f(x)dx=? ? 0 0 ?3 ? 3+2?0f(x)dx. 1 1 ∴? ?0f(x)dx=-3. 1

)

1 B.- 3 D.1

2. (2014· 山东高考)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2 C.2 B.4 2 D.4

)

解析:选 D 由 4x=x3,解得 x=0 或 x=2 或 x=-2(舍去),根据定积分的几何意义可 知, 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为? ? |2 0=4.
2 2 2 1 3.(2013· 江西高考)若 S1=? ?1x2dx,S2=? ?1 xdx,S3=? ?1exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 2 0

?4x-x3?dx ? 2 1 4? =?2x -4x ?

(

) A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 解析: 选B B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 1 8 1 7 2 2 S1= x3| 2 = - = ,S =ln x| 2 S3=ex| 2 1=ln 2<ln e=1, 1=e -e≈2.7 -2.7 3 1 3 3 3 2

=4.59,所以 S2<S1<S3. 1 ? 4. (2012· 上海高考)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A(0,0), B? C(1,0). 函 ?2,5?, 数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________.
117

解析:由题意可得

?10x,0≤x≤2, f(x)=? 1 ?10-10x,2<x≤1, ?10x ,0≤x≤2, 所以 y=xf(x)=? 1 ?10x-10x ,2<x≤1,
2 2
1 10 3 2 (10x2)dx+ 1 (10x-10x2)dx= 与 x 轴围成图形的面积为 ? 0 x ?1 3 | 2
1 2 0

1

1

10 3? 2 +? ?5x - 3 x ?|

1 1 2



5 . 4 5 答案: 4

“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范

[技法概述] 解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误,而解题的思维过程大多都是 围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,可以转换 角度,达到解决问题的目的. [适用题型] 高考中有以下几类解答题用到此种审题方法: 1.研究函数与导数中两函数图象交点、函数的零点、方程的根等问题; 2.一些不等式恒成立问题常转换为求函数的最值; 3.圆锥曲线中的定点问题,常转换为先求直线方程.

[典例] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程; 1 (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点. 2

118

[解题流程] 解: ?1?f?x? 的反函数 为 g?x? = ln x?x>0?,设所求切线的斜率为 k, ∵g′?x?=\f(1,x),∴k=g′?1?= 1, 于是在点?1, 0?处切线方程为 y=x ??2 分? 1 ?2?证明:曲线 y=ex 与 y= x2+x+1 2 公共点的个数等于函数 φ?x?=ex- 1 2 x -x-1 零点个数. ??4 分? 2 -1. 第二步 ? 构 造 新 函 ?? ? 数,将公共 ? 点转化为零 点 第三步 求零点 ?? ∵φ?0?=1-1=0, ∴φ?x?存在零点 x=0. ??5 分? 又 φ′?x?=ex-x-1,,令 h?x?= φ′?x?=ex-x-1, 则 h′?x?=ex-1, 当 x<0 时,h′?x?<0, ∴φ′?x?在?-∞,0?上单调递减; 当 x>0 时,h′?x?>0, ∴φ′?x?在?0,+∞?上单调递增. ??8 分? ∴φ′?x?在 x=0 有唯一的极小值 φ′?0?=0, 即 φ′?x? 在 R 上 的 最 小 值 为 φ′?0?=0. ∴φ′?x?≥0?仅当 x=0 时等号成 立?, ∴φ?x?在 R 上是单调递增的, ∴φ?x?在 R 上有唯一的零点,? 1 故曲线 y=f?x?与 y= x2+x+1 有 2 唯一的公共点. ??12 分?

[失分警示]

第一步 ? 利用斜率求 ?? ? ? 切线方程

不说明两曲 线公共点的 个数等于函 数零点个 数,步骤不 规范.

? ?

第四步 求函数的导 ? 函数并判断 ?? ? 其单调性进 ? 而求极值 (最值)

想不到第 二次求导 即构造新 函数 h(x)导 致解题中 断.

第五步 ? 利 用 极 值 ?? ? ( 最值 ) 判断 ? 零点个数即 交点个数 第六步 ? 得出结论 ?? ?

不 说 明 φ′?x? 有 最 小值 0 导致 扣分.

函数与导数

119

1.(2015· 洛阳统考)已知函数 f(x)=ex+ax2-e2x. (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 x>0 时,总有 f(x)>-e2x,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 f′(x)=ex+2ax-e2 得: y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率 k=4a=0,则 a=0. 此时 f(x)=ex-e2x,f′(x)=ex-e2. 由 f′(x)=0,得 x=2. 当 x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的单调增区间是(2,+∞), 单调减区间是(-∞,2). ex (2)由 f(x)>-e2x 得:a>- 2. x ex?2-x? ex 设 g(x)=- 2,x>0,则 g′(x)= . x x3 ∴当 x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增; 当 x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上单调递减. e2 ∴g(x)≤g(2)=- . 4 e2 - ,+∞?. 因此,a 的取值范围为? ? 4 ? 1 2.已知定义在正实数集上的函数 f(x)= x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中 a>0,设两曲 2 线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b; (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0). 解:(1)设曲线 y=f(x)与 y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, 3a2 ∵f′(x)=x+2a,g′(x)= , x
? ?f?x0?=g?x0?, ∴依题意得? ?f′?x0?=g′?x0?, ?

?2x +2ax =3a ln x +b, 即? 3a ?x +2a= x ,
2 0 0 2 0 2 0 0

1

3a2 由 x0+2a= ,得 x0=a 或 x0=-3a(舍去), x0

120

1 5 则 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a. 2 2 (2)证明:设 F(x)=f(x)-g(x) 1 = x2+2ax-3a2ln x-b(x>0), 2 3a2 ?x-a??x+3a? 则 F′(x)=x+2a- = (x>0), x x 由 F′(x)=0 得 x=a 或 x=-3a(舍去). 当 x 变化时,F′(x),F(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (0,a) - ? a 0 极小值 (a,+∞) + ?

结合(1)可知函数 F(x)在(0,+∞)上的最小值是 F(a)=f(a)-g(a)=0. 故当 x>0 时,有 f(x)-g(x)≥0, 即当 x>0 时,f(x)≥g(x). 8 3.(2014· 辽宁高考)已知函数 f(x)=(cos x-x)(π+2x)- (sin x+1),g(x)=3(x-π)cos x- 3 2x? 4(1+sin x)· ln? ?3- π ?. π? 证明:(1)存在唯一 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=0; π ? (2)存在唯一 x1∈? ?2,π?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1<π. π? 证明:(1)当 x∈? ?0,2?时, 2 f′(x)=-(1+sin x)(π+2x)-2x- cos x<0, 3 π? 则函数 f(x)在? ?0,2?上为减函数, π? 8 2 16 又 f(0)=π- >0,f? ?2?=-π - 3 <0, 3 π? 所以存在唯一 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=0. 3?x-π?cos x 2x? ?π ? (2)考虑函数 h(x)= -4ln? ?3- π ?,x∈?2,π?. 1+sin x π ? ? π? 令 t=π-x,则 x∈? ?2,π?时,t∈?0,2?. 2? 3tcos t 设 u(t)=h(π-t)= -4ln? ?1+πt?, 1+sin t

121

则 u′(t)=

3f?t? . ?π+2t??1+sin t?

由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)>0, π x0, ?时,u′(t)<0. 当 t∈? 2? ? 在(0,x0)上 u(t)是增函数,又 u(0)=0, 从而当 t∈(0,x0]时,u(t)>0, 所以 u(t)在(0,x0]上无零点. π? π? π? 在? 由 u(x0)>0, u? 知存在唯一 t1∈? 使 u(t1) ?x0,2?上 u(t)为减函数, ?2?=-4ln 2<0, ?x0,2?, =0. π? 所以存在唯一的 t1∈? ?0,2?,使 u(t1)=0. π ? 因此存在唯一的 x1=π-t1∈? ?2,π?,使 h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0. π ? 因为当 x∈? ?2,π?时,1+sin x>0, 故 g(x)=(1+sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点, π ? 所以存在唯一的 x1∈? ?2,π?,使 g(x1)=0. 因 x1=π-t1,t1>x0,所以 x0+x1<π.

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