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数列通项公式及数列求和的常用方


数列通项公式及数列求和的常用方法
邓 飞 一.通项公式求法 1. 迭乘法: an?1 ? an ?f (n) 型 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? n,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 a

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? n,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则 a

r />
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1
n ( n ?1) 2

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2)??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5 2. 迭加法: an?1 ? an ? f (n) 型 例 2 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?
n ( n ?1) 2

? n!

? n!.

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)
则 a 2 ? a1 ?

解:原递推式可化为: a n ?1 ? a n ?

1 1 ? n n ?1 ,

1 1 ? , 1 2

a3 ? a 2 ?

1 1 ? 2 3,

a 4 ? a3 ?

1 1 1 1 1 1 ? ,??, a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . 3 4 n ?1 n n n

3. 待定系数法: an?1 ? pan ? q 型――转化为 an?1 ? x ? p(an ? x) 型。 (等比型) 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2(an ? x) 比较系数得 x ? 3, 所以 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 又 a1 ? 3 ? 6 ? 3 ? 9 ,则数列 {an ? 3} 是以 9 为首项,2 为公比的等比数列, 则 an ? 3 ? 9? 2
n?1

,故 an ? 9? n?1 ? 3 。 2

4. 待定系数法: an?1 ? pan ? qf (n) 型――转化为 an?1 ? xf (n ? 1) ? p(an ? xf (n)) 型。 (等比型) 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
-1-

解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

比较系数得 x ? ?1, 所以 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )

又 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1,则数列 {an ? 5n }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。 5. 待定系数法: an?1 ? pan ? qf (n) 型――转化为

an ?1 a (等差型) ? n ? x 型。 f (n ? 1) f (n)

例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a1 2 3 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以数 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n?1

,得

6. 待定系数法: an?1 ? pan ? qan?1 型―――转化为 an?1 ? xan ? y(an ? an?1 ) 型。 (等比型) 例 6 在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 , an?2 ? 5an?1 ? 6an 求数列{ a