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数列通项公式及数列求和的常用方


数列通项公式及数列求和的常用方法
邓 飞 一.通项公式求法 1. 迭乘法: an?1 ? an ?f (n) 型 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? n,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 a

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? n,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则 a

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1
n ( n ?1) 2

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2)??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5 2. 迭加法: an?1 ? an ? f (n) 型 例 2 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?
n ( n ?1) 2

? n!

? n!.

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)
则 a 2 ? a1 ?

解:原递推式可化为: a n ?1 ? a n ?

1 1 ? n n ?1 ,

1 1 ? , 1 2

a3 ? a 2 ?

1 1 ? 2 3,

a 4 ? a3 ?

1 1 1 1 1 1 ? ,??, a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . 3 4 n ?1 n n n

3. 待定系数法: an?1 ? pan ? q 型――转化为 an?1 ? x ? p(an ? x) 型。 (等比型) 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2(an ? x) 比较系数得 x ? 3, 所以 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 又 a1 ? 3 ? 6 ? 3 ? 9 ,则数列 {an ? 3} 是以 9 为首项,2 为公比的等比数列, 则 an ? 3 ? 9? 2
n?1

,故 an ? 9? n?1 ? 3 。 2

4. 待定系数法: an?1 ? pan ? qf (n) 型――转化为 an?1 ? xf (n ? 1) ? p(an ? xf (n)) 型。 (等比型) 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
-1-

解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

比较系数得 x ? ?1, 所以 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )

又 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1,则数列 {an ? 5n }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。 5. 待定系数法: an?1 ? pan ? qf (n) 型――转化为

an ?1 a (等差型) ? n ? x 型。 f (n ? 1) f (n)

例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a1 2 3 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以数 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n?1

,得

6. 待定系数法: an?1 ? pan ? qan?1 型―――转化为 an?1 ? xan ? y(an ? an?1 ) 型。 (等比型) 例 6 在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 , an?2 ? 5an?1 ? 6an 求数列{ an }通项公式 an . 解 : 设 an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) , 比 较 系 数 得 x ? ?2, ?3 。 任 取 x ? ?2, y ? 3 。 则 得

an?2 ? 2 an?1 ? 3(an?1 ? 2an 。又 a2 ? 2a1 =2-2(-1)=4, )
则 ?an?1 ? 2an ? 是以 4 为首项, 3 为公比的等比数列. ∴ an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .(即为第 4 型) 。易求得: an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 . 7.取倒数法 例 7 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1



将 an ?

a n ?1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项是 a n a n ?1 an 2a n?1 ? 1

1 1 1 ? 1 ,公差为 2,所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? . 2n ? 1 an a1
8.取对数法 例 8 若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,求它的通项公式是 an
2





由题意知 an >0,将 an?1 ? an 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,即
2

lg a n ?1 ? 2 ,所以数列 lg a n

-2-

公比为 2 的等比数列,lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32 {lg a n } 是以 lg a1 = lg 3 为首项, 二.数列求和常用方法 常用求和公式 ① Sn ?

n ?1

, an ? 32 即

n ?1

.

n(a1 ? an ) n(n -1) ? na1 ? d (等差数列); 2 2

②S ? ? ? a1 (1- q n ) n

?na1 (q ? 1) ? 1- q ?
1

?

(等比数列); a1 - an q (q ? 1) 1- q




? k ? 2 n(n ? 1);
k ?1

n

?k
k ?1

n

2

n n(n ? 1) 2 1 [ ]. ? n(n ? 1)(2n ? 1); ⑤ ? k 3 ? 2 6 k ?1

1.分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等 比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并. 例 1:求下面数列的前 n 项和:1 ? 1, 1 ? 4, 1 ? 7,..., 1 ? 3n - 2,... a a2 a n-1 解: S ? (1 ? 1) ? ( 1 ? 4) ? ( 1 ? 7) ? ? ? ( 1 ? 3n - 2) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n - 2)]. n 2 n-1 2 n-1
a a a a a a

设 Tn ? 1 ? 1 ? 12 ? ? ? 1-1 , 当 a=1 时,T =n; 当 a≠1 时,T = n n n
a a a

a n -1 . a n - a n -1

设 C =1+4+7+…+(3n-2)= (3n -1) n . n 2
? (3n -1)n (3n ? 1)n ? (a ? 1); ?n ? ? 2 2 所以, Sn ? Tn ? Cn ? ? n ? a -1 ? (3n -1)n (a ? 1). ? a n - a n-1 2 ?

2.错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an ? n } 的前 n 项 b 和,其中 {an } , {bn } 分别是等差数列和等比数列. 等比数列的前 n 项和公式是采用错位相减法推导 的. 例 2. 求值: S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . n 2 3 n

a

a

a

a

解:分 a=1 和 a≠1 两种情况. 当 a=1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) ; 2

1 当 a≠1 时, S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 将上式两边同乘以 ,得 1 Sn ? 12 ? 23 ? 34 ? ? ? n?1 , ② n n 2 3 n
a a a a

a

a

a

a

a

a

①-②得

n 1 1 1 1 n a (1- ) Sn ? ? 2 ? ? ? n - n?1 , 即 Sn ? a(a -1) - n(2 -1) . n a a a a a a (a -1)

-3-

? n(n ? 1) ? 2 (a ? 1) ? 综上可得: Sn ? ? . n ? a(a -1) - n(a -1) (a ? 1) ? a n (a -1) 2 ?
3.倒序相加法 将一个数列倒过来排列(倒序),当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项的和易于 求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.等差数列的求和公式就是用倒序相加法推导出来的. 例 3 求和 Sn 解: Sn
1 2 3 ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCnn.

1 2 3 n n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n -1)Cn -1 ? nCn , ①

n n n 2 1 Sn ? nCn ? (n -1)Cn -1 ? (n - 2)Cn -2 ? ? ? 2Cn ? Cn 0 1 2 n n ? nCn ? (n -1)Cn ? (n - 2)Cn ? ? ? 2Cn -2 ? Cn -1,



①+②得: 2Sn 所以: Sn

0 1 n 0 1 n ? nCn ? nCn ? ? ? nCn ? n(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2n ,

? n ? 2n-1.

4.裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的项分解, 然后重新组 合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. “裂项法”一般适用于分式型求和,和式中的项的 结构特点一般是:

b b b 1 1 (其中{a }是公差为 d(d≠0)的等差数列),利用 ? ( )变 n an an ?1 an an ?1 d an an ?1

形后,一些项相抵消,注意前后各有哪些项保留. 常见的拆项公式有:①

1 1 1 = ? ; n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ); (2n -1)(2n ? 1) 2 2n -1 2n ? 1



1 1 1 1 1 1 = [ ]; ④ ? ( a - b) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) a ? b a -b


n ⑤ n? ! ? (n ? 1)!? n !;
⑧ an ? ?

n 1 1 ; ? ? ? n ? 1?! n! ? n ? 1?!

m m m ⑦ Cn ?1 ? Cn?1 ? Cn ;

? S1 , n ? 1 . ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列 {bn } 前 n 项和 Sn . ? ?? ? n ?1 n ?1 n ?1 an ?an ?1
2 8 1 1 ? ? 8( ? ) an ?an?1 n? n ? 1) ( n n ?1

例 4 在数列 {an } 中, an ?

解:因为 an ? 1 (1 ? 2 ? ? ? n) ? n , 所以 bn ?
n ?1 2

1 1 1 1 1 1 8n 所以 Sn ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 8(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
-4-


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