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重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


重庆市名校联盟 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z=3﹣i 的虚部是() A.1 B. i C.﹣1 D.﹣i 2. (5 分)“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提) ,而 y=( ) 是指数函数(小前提

) , 所以 y=( ) 是增函数(结论)”,上面推理的错误是() A.大前提错导致结论错 B. 小前提错导致结论错 C. 推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 3. (5 分)命题:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= ”中使用逻辑联系词的情况是() A.没有使用逻辑连接词 B. 使用了逻辑连接词“且” C. 使用了逻辑连接词“或” D.使用了逻辑连接词“非” 4. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A.
3 2 x x x

等于() C. D.

B.

5. (5 分)曲线 y=x +x﹣2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是() A.(0,1) B.(1,0) C.(﹣1,﹣4)或(1,0) D. (﹣1, ﹣4) 6. (5 分)函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2

D.3

7. (5 分)定义在闭区间上的连续函数 y=f(x)有唯一的极值点 x=x0,且 y 极小值=f(x0) , 则下列说法正确的是() A.函数 f(x)在上不一定有最小值 B. 函数 f(x)在上有最小值,但不一定是 f(x0) C. 函数 f(x)在上有最小值 f(x0) D.函数 f(x)在上的最大值也可能是 f(x0) 8. (5 分)已知一组样本点(xi,yi) , (其中 i=1,2,3,…,30) ,变量 x 与 y 线性相关,且 根据最小二乘法求得的回归方程是 = x+ ,则下列说法正确的是()

A.至少有一个样本点落在回归直线 B. 若 = x+ 斜率

=

x+



>0,则变量 x 与 y 正相关 xi+ 的值与 yi 有误差

C. 对所有的解释变量 xi(i=1,2,3,…,30) , D.若所有样本点都在 = x+
1

上,则变量间的相关系数为 1
2 3 4 5 6 7 8

9. (5 分)观察下列算式:2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2 =64,2 =128,2 =256,… 2015 用你所发现的规律得出 2 的末位数字是() A.2 B. 4 C. 6 D.8 10. (5 分)函数 f(x)=cos x+sin x﹣cosx 上最大值等于() A. B. C. D.
3 2

11. (5 分)函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象如图所 示,则函数 g(x)=log2(x + 的单调递减区间是()

3

2

2

+ )

A.( ,+∞)

B.(﹣∞, )
2

C.(﹣2,3)

D.(﹣∞,﹣2)

12. (5 分)设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线的倾斜 角的取值范围为,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为() A. B. C. D.

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置. ) 2 13. (5 分)设集合 M={a },N={1,2},则“a=1”是“M?N”的条件. 14. (5 分)若一个 2×2 列联表中,由其数据计算得 K =4.013,则有把握认为这两个变量有 关系. 参考数据: 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
2

15. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为.

16. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,不等式 f(x)+xf′ (x)<0 成立,若 a=3 f(3 ) ,b=(logπ3)f(logπ3) ,c=(log3 )f(log3 ) ,则 a,b, c 间的大小关系是.
0.3 0.3

三、解答题(共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 17. (12 分)已知 m∈R,复数 z=m(m﹣2)+(m +2m﹣3)i, (1)m 为何值时 z 为纯虚数? (2)若 z 对应的点位于复平面第二象限,求 m 的范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ax +(a ﹣1)x+b(a,b∈R) ,其图象在点(1,f(1) ) 处的切线方程为 x+y﹣3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间上的最大值. 19. (12 分)下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用 y(万元)的几组统 计数据: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 y 与 x 之间有较强线性相关性. (1)求线性回归直线方程 = x+ ,
3 2 2

(2)试估计使用年限为 10 年时,维修费用多少万元?

参考公式:

=



= ﹣



20. (12 分)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加 工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5) ,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40) ,根 x 据市场调查,销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 公 斤. (Ⅰ)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (Ⅱ)若 t=5,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值.

21. (12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简 单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律 刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形. (Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到 的关系式求 f(n)的表达式.

22. (10 分)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
2

2

重庆市名校联盟 2014-2015 学年高二下学期期中数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z=3﹣i 的虚部是() A.1 B. i C.﹣1 D.﹣i 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的基本概念解答. 解答: 解:复数 z=3﹣i=3+(﹣1)i,所以其虚部为﹣1; 故选 C. 点评: 如果复数 z=a+bi,a,b∈R,则实部是 a,虚部是 b. 2. (5 分)“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提) ,而 y=( ) 是指数函数(小前提) , 所以 y=( ) 是增函数(结论)”,上面推理的错误是()
x x x

A.大前提错导致结论错 B. 小前提错导致结论错 C. 推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 常规题型. 分析: 对于指数函数来说,底数的范围不同,则函数的增减性不同,当 a>1 时,函数是 x 一个增函数,当 0<a<1 时,指数函数是一个减函数 y=a 是增函数这个大前提是错误的, 得到结论 解答: 解:∵当 a>1 时,函数是一个增函数, 当 0<a<1 时,指数函数是一个减函数 ∴y=a 是增函数这个大前提是错误的, 从而导致结论错. 故选 A. 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,考查指数函数的单调性,是一个基础题,解题的关 键是理解函数的单调性,分析出大前提是错误的. 3. (5 分)命题:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= ”中使用逻辑联系词的情况是() A.没 有使用逻辑连接词 B. 使用了逻辑连接词“且” C. 使用了逻辑连接词“或” D.使用了逻辑连接词“非” 考点: 逻辑联结词“或”;逻辑联结词“且”;逻辑联结词“非”. 专题: 阅读型. 分析: 根据复合命题的定义及分解原则, 我们可将命题: “方程 X ﹣2=0 的解是 X= ” 2 分解为:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= ,或 X=﹣ ”的形式,进而得到答案. 2 解答: 解:命题:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= ”可以化为: 2 “方程 X ﹣2=0 的解是 X= ,或 X=﹣ ” 2 故命题:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= ”中使用逻辑联系词为:或 故选 C 点评: 本题考查的知识点是逻辑连接词, 其中将原命题分解为简单命题用逻辑连接词连接 的情况是解答本题的关键.
2 2 x

4. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A. B.

等于() C. D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后整理成 a+bi(a,b∈R)的形式即可. 解答: 解: 故选 A. = .

点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算, 复数的除法, 采用分子分母同时乘以分母的 共轭复数,是基础题. 5. (5 分)曲线 y=x +x﹣2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是() A.(0,1) B.(1,0) C.(﹣1,﹣4)或(1,0) D. (﹣1, ﹣4) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先设切点坐标, 然后对 f (x) 进行求导, 根据曲线在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x 建立等式,从而求出切点的横坐标,代入到 f(x)即可得到答案. 解答: 解:设 P0 点的坐标为(a,f(a) ) , 3 2 由 f(x)=x +x﹣2,得到 f′(x)=3x +1, 由曲线在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x,得到切线方程的斜率为 4, 2 即 f′(a)=3a +1=4,解得 a=1 或 a=﹣1, 当 a=1 时,f(1)=0;当 a=﹣1 时,f(﹣1)=﹣4, 则 P0 点的坐标为(1,0)或(﹣1,﹣4) . 故选 C. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及导数的几何意义, 即函数 在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率,属于基础题. 6. (5 分)函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2
3

D.3

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的定义域, 再把函数转化为对应的方程, 在坐标系中画出两个函数 y1=|x ﹣2|,y2=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数 解答: 解:由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ; 由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0 的根. 令 y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0) ,在一个坐标 系中画出两个函数的图象: 由图得,两个函数图象有两个交点, 故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 故选:C

点评: 本题考查了函数零点、 对应方程的根和函数图象之间的关系, 通过转化和作图求出 函数零点的个数

7. (5 分)定义在闭区间上的连续函数 y=f(x)有唯一的极值点 x=x0,且 y 极小值=f(x0) , 则下列说法正确的是() A.函数 f(x)在上不一定有最小值 B. 函数 f(x)在上有最小值,但不一定是 f(x0) C. 函数 f(x)在上有最小值 f(x0) D.函数 f(x)在上的最大值也可能是 f(x0) 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的单调区间, 从而求出函数的极小值也是函数的最小值, 从而求出答案. 解答: 解:∵连续函数 y=f(x)在上有唯一的极值点 x=x0,且 y 极小值=f(x0) , ∴函数 y=f(x)在递增, ∴y 最小值=y 极小值=f(x0) , 故选:C. 点评: 本题考察了函数的单调区间,考察函数的极值问题,考察导数的应用,本题属于基 础题. 8. (5 分)已知一组样本点(xi,yi) , (其中 i=1,2,3,…,30) ,变量 x 与 y 线性相关,且 根据最小二乘法求得的回归方程是 A.至少有一个样本点落在回归直线 B. 若 = x+ 斜率 = = x+ x+ ,则下列说法正确的是() 上

>0,则变量 x 与 y 正相关 xi+ 的值与 yi 有误差

C. 对所有的解释变量 xi(i=1,2,3,…,30) , D.若所有样本点都在 = x+

上,则变量间的相关系数为 1

考点: 线性回归方程. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 根据样本点可能全部不在回归直线上,可得 A 错;根据相关系数 r 与 b 符号相同, 故 b>0 可得变量 x 与 y 正相关,可得 B 正确;根据所有的样本点都在 量之间的关系为函数关系,此时 xi+ = x+ 上时,变

的值与 yi 相等,可判断 C 错误;根据相关系数绝对 = x+ 上,可判断 D 正确.

值为 1 时,即 r=±1,所有样本点都在

解答: 解:回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上,故 A 错 误; 相关系数 r 与 b 符号相同,若 = x+ 斜率 >0,则 r>0,样本点应分布从左到右应该

是上升的,则变量 x 与 y 正相关,故 B 正确; 若所有的样本点都在 = x+ 上,则 xi + 的值与 yi 相等,故 C 错误;

所有样本点都在

=

x+

上,则变量间的相关系数为±1,故 D 错误.

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是线性回归及最小二乘法, 其中熟练掌握最小二乘法的相关基本 概念是解答的关键. 9. (5 分)观察下列算式:2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2 =64,2 =128,2 =256,… 2015 用你所发现的规律得出 2 的末位数字是() A.2 B. 4 C. 6 D.8 考点: 归纳推理. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 因为 2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2 =64,2 =128,2 =256,观察发现:2 2015 的个位数字是 2,4,8,6 四个一循环,所以根据 2015÷4=503…3,得出 2 的个位数字与 3 2 的个位数字相同,是 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 解答: 解:∵2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2 =64,2 =128,2 =256,…. 2015÷4=503…3, ∴2 的末位数字和 2 的末位数字相同,是 8. 故选:D 点评: 本题考查了归纳推理,考查尾数特征的应用,关键是能根据题意得出规律,进一步 得出算式. 10. (5 分)函数 f(x)=cos x+sin x﹣cosx 上最大值等于() A. B. C. D.
3 2 2015 3 1 2 3 4 5 6 7 8 n 1 2 3 4 5 6 7 8

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用换元法将函数进行换元, 求函数的导数, 利用导数和函数最值之间的关系即可 得到结论. 解答: 解:f(x)=cos x+sin x﹣cosx=cos x+1﹣cos x﹣cosx, 令 t=cosx,则﹣1≤t≤1, 3 2 则函数 f(x)等价为 g (t)=t +1﹣t ﹣t,﹣1≤t≤1 2 函数的导数 g′(t)=3t ﹣2t﹣1=(t﹣1) (3t+1) ,﹣1≤t≤1, 当 时,g′(t)≤0,函数单调递减,
3 2 3 2

当﹣1≤t≤﹣ 时,g′(t)≥0,函数单调递增, 则 t=﹣ ,函数 g(t)取得极大值,同时也是最大值 g(﹣ )= ,

故选:D. 点评: 本题主要考查函数的最值, 利用换元法, 结合函数最值和函数导数之间的关系是解 决本题的关键.

11. (5 分 )函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象如图所示,则函数 g(x)=log2(x + 的单调递减区间是()

3

2

2

+ )

A.( ,+∞)

B.(﹣∞, )

C.(﹣2,3)

D. (﹣∞,﹣2)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,由图象得到 f′(﹣2)=f(3)=0,联立求得 b,c 的值,代 入 g(x)=x +
2

+ ,由 g(x)>0 求得 x 的范围,再由导数求出函数 g(x)的减区间,
2

则函数 g(x)=log2(x +
3

+ )的单调递减区间可求.
2

解答: 解:∵f(x)=x +bx +cx+d, 2 ∴f′(x)=3x +2bx+c, 由图可知 f′(﹣2)=f(3)=0. ∴
2

,解得
2

令 g(x)=则 g(x)=x ﹣x﹣6,g′(x)=2x﹣1.

2

由 g(x)=x +

+ =x ﹣x﹣6>0,解得 x<﹣2 或 x>3.

当 x< 时,g′(x)<0, ∴g(x)=x ﹣x﹣6 在(﹣∞,﹣2)上为减函数. ∴函数 g(x)=log2(x +
2 2

+ )的单调递减区间为(﹣∞,﹣2) .

故选:D. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性, 训练了简单的复合函数单调性的求法, 关 键是注意函数的定义域,是中档题. 12. (5 分)设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线的倾斜 角的取值范围为,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为() A. B. C. D. 考点: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 专题: 压轴题.
2

分析: 先由导数的几何意义,得到 x0 的范围,再求出其到对称轴的范围. 解答: 解:∵过 P(x0,f(x0) )的切线的倾斜角的取值范围是, ∴f′(x0)=2ax0+b∈, ∴P 到曲线 y=f(x)对称轴 x=﹣ ∴x0∈.∴d=x0+ ∈. 的距离 d=x0﹣(﹣ )=x0+

故选:B. 点评: 本题中是对导数的几何意义的考查,计算时,对范围的换算要细心. 二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置. ) 13. (5 分)设集合 M={a },N={1,2},则“a=1”是“M?N”的充分不必要条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据集合的关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:当 a=1 时,M={1},此时 N={1,2},满足 M?N, 若当 a=﹣1 时,满足 M?N,但 a=1 不成立, ∴a=1 是 M?N 的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要; 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据集合关系是解决本题的关键, 比较 基础. 14. (5 分)若一个 2×2 列联表中,由其数据计算得 K =4.013,则有 95%把握认为这两个变 量有关系. 参考数据: 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据所给的观测值, 把观测值同临界值表中的临界值进行比较, 看出所求的结果比 哪一个临界值大,得到可信度. 2 解答: 解:∵由一个 2×2 列联表中的数据计算得 K =4.013, 2 ∴K =4.013>3.841 ∴有 1﹣0.05=95%的把握说两个变量有关系, 故答案为:95%. 点评: 本题考查独立性检验的应用,本题是一个基础题,解题的关键是会看临界值表. 15. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 9.
2 2

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S= 的 i 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S= ∵S= S= ∴跳出循环的 i 值为 9,∴输出 i=9. 故答案为 9; 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 16. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,不等式 f(x)+xf′ (x)<0 成立,若 a=3 f(3 ) ,b=(logπ3)f(logπ3) ,c=(log3 )f(log3 ) ,则 a,b, c 间的大小关系 是 c>a>b. 考点: 利用导数研究函数的单调性;对数的运算性质. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由“当 x∈(﹣∞,0)时不等式 f(x)+xf′(x)<0 成立”知 xf(x)是减函数,要 得到 a,b,c 的大小关系,只要比较 a=3 ,logπ3,log3 ,的大小即可. 解答: 解:设 g(x)=xf(x) ,则 g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0) , ∴当 x<0 时,g(x)=xf(x)为减函数. 又 g(x)为偶函数, ∴当 x>0 时,g(x)为增函数. ∵1<3 <2,0<logπ3<1,log3 =﹣2, ∴g(﹣2)>g(3 )>g(logπ3) , 即 c>a>b. 故答案为:c>a>b. 点评: 本题主要考查由已知函数构造新函数用原函数的性质来研究新函数,属于中档题. 三、解答题(共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 17. (12 分)已知 m∈R,复数 z=m(m﹣2)+(m +2m﹣3)i, (1)m 为何值时 z 为纯虚数? (2)若 z 对应的点位于复平面第二象限,求 m 的范围. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数.
0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

的值,根据条件确定跳出循环

的值,

=

>﹣1,

分析: (1)由已知得

,解出即可.

(2)由已知得

,解出即可.

解答: 解: (1)由已知得 解得 m=0 或 m=2, ∴m=0 或 m=2 时 z 为纯虚数. (2)由已知得 ,



解得 m 的范围是 1<m<2. 点评: 本题考查了纯虚数的定义、几何意义,考查了计算能力,属于基础题. 18. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ax +(a ﹣1)x+b(a,b∈R) ,其图象在点(1,f(1) ) 处的切线方程为 x+y﹣3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间上的最大值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数,从而得到切线的斜率,建立 等式关系,再根据切点在函数图象建立等式关系,解方程组即可求出 a 和 b,从而得到函数 f(x)的解析式; (2)先求出 f′(x)=0 的值,根据极值与最值的求解方法,将 f(x)的各极值与其端点的 函数值比较,其中最大的一个就是最大值. 2 2 解答: 解: (1)f′(x)=x ﹣2ax+a ﹣1, ∵(1,f(1) )在 x+y﹣3=0 上, ∴f(1)=2, ∵(1,2)在 y=f(x)上, ∴2= ﹣a+a ﹣1+b, 又 f′(1)=﹣1, 2 ∴a ﹣2a+1=0, 解得 a=1,b= . (2)∵f(x)= x ﹣x + , ∴f′(x)=x ﹣2x,
2 3 2 2 3 2 2

由 f′(x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点,所以有 x (﹣∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以 f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0)和(2,+∞) ,单调递减区间是(0,2) . ∵f(0)= ,f(2)= ,f(﹣2)=﹣4,f(4)=8, ∴在区间上的最大值为 8. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及利用导数求闭区间上函数 的最值等基础题知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 19. (12 分)下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用 y(万元)的几组统 计数据: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 y 与 x 之间有较强线性相关性. (1)求线性回归直线方程 = x+ ,

(2)试估计使用年限为 10 年时,维修费用多少万元?

参考公式:

=



= ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)先做出利用最小二乘法所用的几个数据,利用最小二乘法做出线性回归方程 的系数,写出线性回归方程. (2)给出自变量的值,把它代入线性回归方程,求出 y 的值,这里得到的不是 y 的准确数 值,而是一个估计值,一个预报值. 解答: 解: (1)由已知数据有 =4, =5,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∵2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0﹣5×4×5=112.5﹣100=12.3 2 2 2 2 2 2 2 +3 +4 +5 +6 ﹣5×4 =90﹣80=10 ∴b=1.23,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) ∴a=5﹣1.23×4 =0.08, ∴回归直线方程为=1.23x+0.08.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) (2)当 x=10 时,维修费用=1.23×10+0.08=12.38(万元)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用, 是一个基础题, 解题的关键是利用最小二乘 法时,不要把数据运算出错 20. (12 分)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加 工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5) ,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40) ,根

据市场调查,销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 公 斤. (Ⅰ)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (Ⅱ)若 t=5,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (I)由条件“日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例”可设日销量为
x

x



根据日利润 y=每件的利润×件数,建立函数关系式,注意实际问题自变量的范围. (II)先对函数进行求导,求出极值点,讨论极值是否在 25≤x≤40 范围内,利用单调性求出 函数的最值. 解答: 解: (Ⅰ)设日销量 ,∴k=100e ,
30

∴日销量





(Ⅱ)当 t=5 时, 由 y'≥0 得 x≤26,由 y'≤0 得 x≥26∴y 在上单调递增,在上单调递减. 4 ∴当 x=26 时,ymax=100e .当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值 4 为 100e 元. 点评: 解决实际问题的关 键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系抽象成数学问题, 在数学领域寻找适当的方法解 决,再返回到实际问题中加以说明. 21. (12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简 单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律 刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形. (Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到 的关系式求 f(n)的表达式.

考点: 归纳推理;进行简单的合情推理. 专题: 规律型.

分析: (I)先分别观察给出正方体的个数为:1,1+4,1+4+8,…从而得出 f(5) ; (II)将(I)总结一般性的规律:f(n+1)与 f(n)的关系式,再从总结出来的一般性的规 律转化为特殊的数列再求解即得. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)﹣f(1)=4=4×1. f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.…(4 分) (Ⅱ)由上式规律得出 f(n+1)﹣f(n)=4n.…(8 分) ∴f(2)﹣f(1)=4×1, f(3)﹣f(2)=4×2, f(4)﹣f(3)=4×3, … f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2) , f(n)﹣f(n﹣1)=4?(n﹣1)…(10 分) ∴f(n)﹣f(1)=4=2(n﹣1)?n, ∴f(n)=2n ﹣2n+1.…(12 分) 点评: 本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在联系,得到 一般性的结论,若求解的项数较少,可一直推理出结果,若项数较多,则要得到一般求解方 法,再求具体问题. 22. (10 分)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 分类讨论;转化思想. 分析: (1)由函数 f(x)在上是减函数得 恒成立,即有 h(x)=2x +ax﹣1≤0 成立求解. (2)先假设存在实数 a,求导得 结合 x∈(0,e]分当 a≤0 时,当 时,当 = ,a 在系数位置对它进行讨论, 时三种情况进行.
2 2 2 2

在上

解答: 解: (1) 令 h(x)=2x +ax﹣1, 有
2

在上恒成立,







(6 分) =

(2) 假设存在实数 a, 使g (x) =ax﹣lnx (x∈ (0, e]) 有最小值 3, (7 分) 当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ∴g(x)无最小值. 当 ∴ 当 时,g(x)在 上单调递减,在 ,a=e ,满足条件. (11 分) 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2

(舍去) ,

上单调递增

(舍去) ,

∴f(x)无最小值. (13 分) 2 综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. (14 分) 点评: 本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用,函数若为单调函数,则转化为不 等式恒成立问题,解决时往往又转化求函数最值问题.


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