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15级高一数学期末复习专题第一讲(集合、函数表示)


成都七中(林荫校区)高 2015 级上学期期末复习专题一
命题人:江海兵 审题人:廖学军

知识点一:集合

考点 1:集合元素的特性:确定性、互异性、无序性 例 1 已知集合 A ? x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0

?

?
(2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的

取值范围.

(1)若 A 是单元素集合,求集合 A ;

考点 2:集合的表示方法:自然语言法、例举法、描述法 例 1 下列各集合是用描述法表示的,请读懂各集合中的元素,并用列举法表示下列集合:

(1) x | (2x ?1)(x ? 2)(x2 ? 1) ? 0, x ? Z

?

?

? ?2 x ? y ? 8? (2)?不 大 于 的 非 负 偶 ? (3)??x, y ? | ? 10 数 ? ? x ? y ?1 ? ?
6 ? ? (5) B ? ? x | ? Z, x ? N*? ? 3? x ?

? ? a b (3) A ? ? x | x ? ? , a, b为非零实数? a b ? ?

考点 3 子集、真子集、非空真子集 例 1 (判断关系) 判断下列两个集合之间的关系 (1) A ? ? ,2,4?, B ? x | x是8的约数 1

?

? ?

(2) A ? ?x | x ? 3k , k ? N ?, B ? ?x | x ? 6 z, z ? N ? (3) A ? x ? N ? | x是4与10 的公倍数,B ? ?x | x ? 20m, m ?N ? ? 例 2(子集、真子集个数) (1)已知集合 A ? ? ,2?,集合 B 满足 A ? B ? ? ,2?,则集合 B 有 1 1 个. 个.

?

(2)已知 ??? A ? ? ,2,3?,求满足条件的所有的集合 A 有 1 1
?

例 3(方程子集的问题)注:考虑空集 若集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且 B?A,求实数 a 的取值范围.

例 4(不等式子集问题)注:考虑空集 集合 A ? x | x 2 ? 3x ?1 ? 0 若 B ? A, B ? x | m ? 1 ? x ? 2m ?1, m为常数 , 求实数 m 的取值范围

?

?

?

?

考点四:集合的交集、并集、补集 例 1 (venn 图 )学校举办运动会,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人 参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比 赛的有 3 人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有 多少人?

例 2(venn 图 ) 设全集 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8,9? CU ( A ? B) ? ? ,3? A ? (CU B) ? ?2,4?,求集合 B 1 , 1 ,

例 3(画数轴)已知集合 A ? ?x | x ? a? B ? ?x | 1 ? x ? 2? A ? (CR B) ? R ,实数 a 的取值范围 , , 例 4(有关方程与集合)注: A ? B ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A ? B; A ? B ? A ? B ? A ? B 设集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

知识点二:函数的概念
考点 1:函数概念的理解 例 1 (函数的概念与图像关系) 设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能 表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )

A.①②③④ B.①②③ C.②③

D.②

例 2 (同一函数) 在下列四组函数中,表示同一函数的是________.(填序号) x 5 ①y=1,y=x;②y= x-1 x+1,y= x2-1;③y=x,y= x5;④y=|x|,y=( x)2.

例 3 (求定义域)
2 (1)求下列函数的定义域: f ( x) ? x ? 5 x ? 6 ?

( x ? 1) 0 x? x

的定义域

. .

(2)已知函数 f ( x) 的定义域是 (1, 2) ,求函数 F ( x) ? f (3x ? 1) ? f (3x ? 1) 的定义域 (3)已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域 例 4(求值域)(1) y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ; (2) y ? .?

x2 (3) y ? x ? 2 x ? 1 . ( x ? R) ; x2 ? 1

例 5(映射的概念)集合 A ? ?a, b, c?, B ? ?0,1? ,试问:从 A 到 B 的映射共有几个?并将它们分别表示出来。

知识点三 函数的表示方法
例 1 (求解析式) (1)复合函数的解析式 (2)有关对称的解析式
2 已知 f (4x ? 3) ? x , x ? ?1,2?, 那么 f (x) ? 2 已知 f ( x) ? x , g ( x) 的图像与 f (x) 图像关于 x ? 2 对称, g (x) ?

如果 g (x) 的图像与 f (x) 图像关于 ( 2,0) 对称 g (x) ?
2 (3)用奇偶性求解析式 已知 f (x) 是 R 上的偶函数,且 x ? 0, f ( x) ? x ? 2 x , f (x) 解析式

(4)有关周期函数的解析式
2 定义在 R 上的函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? f ( x) 且 f ( x) ? x , x ? ?? 2,2?, 那么 f (x) ?

(5)有关函数方程求解析式 Ⅰ.已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 2 x ,那么 f (x) ?
2 Ⅱ.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x ,那么 f (x) ?

1 x

Ⅲ.f(x)是 R 上的函数,满足 f(0)=1,对任意实数 x,y,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),f(x)的解析 式 . .

(6)已知函数模型求解析式 二次函数 f(x)满足 f(0)=f(4),且 f(x)=0 的两根的平方和为 10,图象过(0,3)点,f(x)的解析式

例 2(分段函数)

? x ? 1, ? 已知函数 f ( x) ? ? 1 , ? x ?

x?0 x ? 0 ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

例3 (二次函数根的分布) 对于关于 x 的方程 x2 ? (2m ?1) x ? 4 ? 2m ? 0 , 求满足下列条件的 m 的取值范围: (1)两个正根; . ? ??, ? ? (2)有两个负根;

? ?

5? 2?

. ? ,2?

?3 ?2

? ?

(3)两个根都小于 ?1;

. ? (4)两个根都大于

1 ; 2

. ? ??, ? ? . ?

? ?

5? 2?

(5)一个根大于 2,一个根小于 2 ; (7)两个根有且仅有一个在 ? 0, 2 ? 内 ; (8)一个根在 ? ?2,0 ? 内,另一个根在 ?1,3? ; (9)一个正根,一个负根,且正根绝对值较大; (10)一个根小于 2,一个根大于 4. 例 4(抽象函数)

.

? ??, ?3? (6)两个根都在 ? 0, 2 ? 内;
. . ? . ? . ?? ,?

? ??, ?3? ? ? 2, ???

? 7 ? 2

5? ? 2?

(1)、已知函数 f (x) 对任意实数 x,y,均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,

f (?1) ? ?2 ,求 f (x) 在区间[-2,1]上的值域。

(2) .定义在 R 上的函数 f (x) 满足:对任意实数 m, n ,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时,

0 ? f ( x) ? 1. (1)试求 f (0) 的值; (2)判断 f (x) 的单调性并证明你的结论;

(3)、 已 知 函 数 f (x) 满 足 定 义 域 在 (0,??) 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x, y ? (0,??) , 都 有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当且仅当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 成立,设 x1 , x2 ? (0,??) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试比较 x1 与 x2 的大小;

(4) 定义在 ? -?,0? ? ? 0,+?? 上的函数 f(x)对任何 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)>0,当 x>1 时,有 f(x)<1. (1)判断 f(x)的奇偶性 (2)判断并证明 f(x)在(0,+∞)上的单调性.


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