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解题---从一道题目的解答看常规教学--任大江


从一道题目的解答看常规教学 任大江 陕西省城固县第二中学 723200 一、问题的提出 本学期我校高二年级学习了北师大版选修 2-1(理)、选修 1-1(文)的数学选修课程,其中 都有圆锥曲线这一章节,对于本章的学习,学生普遍反映:上课能听懂,课后题目太难,难 以下手。这不,本章上完后本年级文科重点班一学生问了我以下题目: 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a

? b ? 0) 上存在点 P,使得 PF1 ? PF2 (F1 , F2是其左右焦点) ,求 a 2 b2

此椭圆的离心率 e 的范围。 看罢此题,从教师的角度看,题面简单易懂,条件清楚简单,我想此题应该简单呀!作 为重点班的学生对于此题应该是手到擒来。然而却不是想象的那样,解题过程中问题频发。 下面是讲解过程中的思维对话, 从中可以看到学生在解决问题的过程中的思维过程, 以助我 们了解学生,从学生出发使以生为本的教学理念得到更好的实施。 师: 1、是否会画相应图形以帮助分析? 2、对于条件 PF1 ? PF2 你有啥想法?想怎么运用? 生:画图略。 PF1 ? PF2 则其斜率之积为 -1 ,所以要设点 P 坐标 P(x.y) ,并且有

k PF1 ?

y y y y , k PF2 ? ? ? ?1 ? x 2 ? y 2 ? c 2 —————①. 则条件化为: x?c x?c x?c x?c
由于点 P 在椭圆上,则 P(x,y)满足

x2 y 2 ? ? 1 ——————② a 2 b2

下来不会做了。 师:1、 PF1 ? PF2 则其斜率之积为-1,这个是怎么想到的?还有其他用法吗? 2、按照一般思路,列出的两个方程应该怎么办?再读一遍题目试试。 生:老师说“在圆锥曲线里垂直的条件都是转化成斜率之积为-1”的;老师说一般情况 下列出的几个相关的方程要联立方程组求解,但是这个字母太多不会解。 师:思路是对的,但要注意谁是未知量谁是已知量,联立方程组的目的是什么?解方 程组的思想是什么?应该有信心做出来,你试试。 生:由①得 x2 ? c2 ? y 2 带入②得: y ?
2

b4 b2 ? y ? ? ,之后又怎么办呢? c2 c

师:注意题目条件,存在点 P,使得 PF1 ? PF2 ,点 P 在椭圆上是否是限制呢? 生:明白了,点 P 的纵坐标是介于-b 到 b 的,之后顺利解完本题。 师:解完题后学到了什么?这种方法是否可以改进?有没有更简单的思路?下去想一 想。 二、问题的解答 从思维对话的过程不难看出,该生思维僵化只是学会了老师多次重复的结论和规律—

—程咬金三板斧舞完之后什么都不是, 不会理解题意也不会知识的迁移和创新, 那么其他学 生是什么情况呢?我拿这个题对我班里的学生(普通班)做了检测,大致如此,我在想新课改 改成这个状况那还有什么意义呢?所以之后对此题我让学生开动脑筋想和解, 经过我和学生 的思考打磨,形成了以下解法: 解法一:同上 略 (垂直条件化为向量数量积为 0 亦然)

解法二:利用焦半径公式解题

设P(x 0 ,y 0 ),由于PF1 ? PF2 则 |PF1|=a +ex 0 ,|PF2 |=a-ex 0 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? 4c 2 即 ? ?
2 2a 2 ? 2e 2 x0 ? 4c 2 ? 2 a 2

e2 ? e ?[

1 2 2 ,1) 2

点评:此解法只能是理科班的学生做了,因为理科班学生学习了圆锥曲线的共同特征, 初步介绍了焦半径公式, 学生能从这方面考虑不失为一种发散思维的解题过程, 能把学过的 知识运用到解决新问题的过程中也是一种再创造的过程。 但是其中的放缩技巧是难点, 把陌 生问题转化成熟悉的知识, 向有利于问题解决的方向进行是我们对数学结构, 代数式等变形 的基础。 解法三:如图,由题 ?PF 1F 2 是直角三角形,点 P 在椭圆上 则?

? | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? ? ? ?( I ) 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c ? ? ? ?( II )
2 (I)式平方减(II)得: 2 | PF 1 | ? | PF 2 |? 4b

由(II)得 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 4c ? 2 | PF 1 | ? | PF 2 | (| PF 1 |?| PF 2 |等号成立)
2 2 2



c 2 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2c 2 ? a 2 1 2 ?e? 2 2 2 ? e ?[ ,1) 2 ? e2 ?
点评: 此解法抓住椭圆定义和垂直条件, 适当变形利用已学习过的均值不等式放缩求解, 思维活跃具有创新性。 此解的关键是二元一次方程和二元二次方程常见的消元变形过程, 最 终化为熟悉的均值不等式放缩。

解法四: 我们已学习并且熟悉椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 圆 x2 ?y 2 ? b2 x 和 ? y2 ? a2 2 a b



位置关系如上图及曲线与方程,显然题干说椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上存在点 P,使得 a 2 b2

PF1 ? PF2 ,则点 P 是以 | F1F2 | 为直径的圆与已知椭圆的交点(直径所对的圆周角是直角)
则 c ? b 以下解法同解法三。 点评: 此解法立足数形的结合, 将枯燥的代数运算和精确的变形技巧变为具有形的能看 懂的活的数学问题的解决,思路简单清楚,但思维较高,对于一些选择题填空题选择数形结 合是我们解决问题的简便之路。 解法五:在画椭圆及其焦点三角形的过程中发现,焦点三角形顶角 P 的最大角在上下顶点 处取得,我们考虑极限情况,点 P 落于上顶点且形成直角 P 则 b=c,从而离心率 e ?

2 2

当 c 自 b 开始增大的过程中,椭圆与以 | F1F2 | 为直径的圆相交那么 P 点就是交点之一满足 题意,此过程中离心率逐渐增大故 e ? [

2 ,1) 2

点评:其实题目做到方法四我认为已经到此为止了,但班上一学生又提出了这种方法, 经过润色形成方法五, 用到了极限方法、模糊数学的思想, 是值得肯定的。他从极限位置(物 理上经常讲临界位置,可能受此影响想出的)过渡到渐变过程,并且从作图过程大胆给出他 所不知道的猜想“焦点三角形顶角 P 的最大角在上下顶点处取得”是值得鼓励的(课后我将 此结论做了证明,不是本文的内容,略)。 三、解题过后的再反思 站在解题的角度看,我们要弄清楚以下问题: ( 1)条件是什么(2)结论是什么(3) 条件与结论有何逻辑关联(4)问题的表征的内涵是什么;从解题过程上看,我们要分下列 步骤: ( 1)提取有效信息是(2)化归有效信息(3)组合信息求解。 学生出现“会而不对,对而不全”的解题困扰是因为,对以上两个维度把握不够,没

有形成必要的数学思维,他的思维形态是间断的不联系的知识点,而不是知识面,所以不能 从整体上把握数学问题。 上述五种不同视角下的求解思路可以看出,数与形的完美统一。不管是方法一的纯代 数方法,方法二的焦半径公式的运用,还是之后的数形结合思想的运用,都不能脱离函数单 独存在,函数的情况确定对应的限制,有时这种限制是隐含的,但是解决问题的过程都是把 已知条件转化成我们熟悉的相应条件、性质,使问题的解决简单易行,而不是记住几个规律 和总结,瞎套乱套而不知道规律和总结的实质,素质教育的本质是教育创新。给学生足够的 空间和时间他们总能迸发令我们意想不到的光芒, 不要人为的想当然的把某些规律方法结论 强加给学生, 这样得到的只是死的不能动的汉字, 通过实践形成的留下的才是生动的活的创 造性的精神,这样的教育才是我们要坚守的。 问题是数学的心脏。数学学习就是围绕提出问题、分析、解决问题和反思问题解决过程 而进行的。 学生有问题是好事, 关键是在提出问题解决问题的思考中形成数学的科学思维和 方法论,把数学解题的技能技巧、思维方式适当的迁移和调用,把复杂问题简单化,把抽象 问题具体化,把陌生问题熟悉化,利用数学定义、定理、推论、结论使得问题在已有知识体 系下得到解决才是中学数学教学的落脚点。 只有这样才能从根本上解放学生, 真正还学生独 立思考之精神,把创新教育落到实处。


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