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数学高二(上)沪教版(等比数列(二))教师版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

等比数列二
1、 掌握等比数列的定义,会求等比中项; 2、 掌握等比数列的通项公式,前 n 项和的求和公式; 教学内容

教学目的

【知识梳理】
1、定义:数列{an}从第 2 项

起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。常数叫公比。 n-1 2、通项公式:an=a1q n-m 推广形式:an=amq 变式: (1)q= n ? m

an * (n、m∈N ) am

?na1 (q ? 1), ? 3、前 n 项和 Sn= ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1).

4、等比中项:若 a、b、c 成等比数列,则 b 为 a、c 的等比中项,且 b=± ac 。 5、等比数列的性质 2 a.当 m+n=p+q 时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=…,当 2n=p+q 时,an =apaq; b.{an}, ?bn ? 为等比数列,数列{kan}, ( k ? 0 ), an , ? c. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列; 6、证明等比数列的方法: (1)用定义:只需证

? ?

?1? 2 ? , ?an ? , ?manbn ? ( m ? 0 )成等比数列; ? an ?

an ?1 =常数; an
2

(2)用中项性质:只需 an+1 =an·an+2 或

an ?1 an ? 2 = an an ?1

(3)当一个数列的通项形如 an ? a? mcn?d 这种形式的时候,可以判定是等比数列(只能在客观题中应用) (4)当一个数列的求和公式形如 sn ? a ? a ? qn 这种形式的时候,可以判定是等比数列(只能在客观题中应用)

【典型例题分析】
例 1、求下列各等比数列的通项公式: (1)a1=?2, a3=?8

解: a3 ? a1q ? q2 ? 4 ? q ? ?2 (2)a1=5, 且 2an+1=?3an 解: q ?

?an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2)n?1 ? (?2)n

an?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? )n?1 2

(3)a1=5, 且

an?1 n ? an n ?1 a3 2 a n ?1 ? , ??, n ? a2 3 an?1 n

解:?

an?1 a n 1 ? ? 2? , an n ?1 a1 2
1 3 a1 ? n n

以上各式相乘得: an ? 变式练习:

1、在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100 ,求 a18 。 解:∵ a1a18 ? a9 a10 ,∴ a18 ?

a9 a10 100 ? ? 20 a1 5

2、在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前七项之积。 解: bb 1 2b3b4b5b6b7 ? ?bb 1 7 ??b2b6 ??b3b5 ? b4 ∵ b42 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5 ,∴前七项之积 3

? ?

2 3

? 3 ? 37 ? 2187

3、在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 解: a8 ? a5 q ? a5 ?
3

a5 54 ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2

另解:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? a8 ??2 ∴ a8 ? ?1458 例 2、求数列的前 n 项和 Sn=

1 3 5 2n ? 1 + + + ┄ + 2 4 8 2n

(该题主要考查了学生对数列求和的掌握情况)

练习:1.求和

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

例 3、已知等比数列{an}的通项公式 an ? 3 ? ( ) 证:∵ an ? 3 ? ( )

1 2

n ?1

且: bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ,求证:{bn}成 GP

1 2

n ?1

∴ bn ? a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ? 3( )

1 3 n ?3 1 1 ? 3( )3n ?2 ? 3( )3n ?1 2 2 2 1 3 n ?3 1 1 21 1 3n ?3 ? 3( ) (1 ? ? ) ? ( ) 2 2 4 4 2
∴{bn}成 GP



bn ?1 1 ? ( )3 bn 2

变式练习:已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 解:∵an+1=Sn 又∵an+1=Sn+1? Sn ∴Sn+1=2Sn n 1 n ∴{Sn}是公比为 2 的等比数列,其首项为 S1= a1=?2, ∴S1= a1×2 ? = ?2 ∴当 n≥2 时, an=Sn?Sn?1=?2 ?
n 1

∴ an ? ?

? ?2 (n ? 1) n ?1 (n ? 2) ??2

例 4、在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, Sn ? 400 ,求 n 的范围。 解:∵ a1a3 ? a12q2 ? 36 ,∴ a1q ? ?6
2 又∵ a2 ? a4 ? a1q 1 ? q 60 ,且 1 ? q2 ? 0 ,∴ a1q ? 0 ,

?

?

∴ a1q ? 6,1 ? q2 ? 10 解之: ?

? a1 ? 2 ? a1 ? ?2 或? ? q ? 3 ? q ? ?3

当 a1 ? 2, q ? 3 时, Sn ?
5
6

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

2 ? 3n ? 1? 2

? 400 ? 3n ? 401 ,∴ n ? 6

(∵ 3 ? 273 3 ? 729 )

当 a1 ? ?2, q ? ?3 时, S n ? ∵ n ? N 且必须为偶数
*

?3 ? ?2 ? ? ?? ? ?4

n

? 1? ? ? 400 ? ?3 n ? 801 , ? ?

∴n ? 8, (∵ ? ?3? ? ?2187, ? ?3? ? 6561 )
7 8

注意:本题要进行分类讨论 例 5、是否存在数等比列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 解:设等比数列{an}的公比为 q,如果{Sn}是公比为 q 的等比数列,则:

Sn ? S1q

n ?1

? a1q

n ?1

? na1 ? 而S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

q ?1 q ?1

∴ q ? 1 时,

S (n ? 1)a1 n ? 1 Sn ? a1q n?1 ? na1 即: n?1 ? ? ? q ? 1 得n ? 1 ? n(矛盾) Sn na1 n
n S a ( 1 ? q n?1 1 1? q ) 即:n?1 ? ? q ? q ? 1 (矛盾) 1? q Sn 1 ? qn

q ? 1时, Sn ? a1q n?1 ?

所以,这样的等比数列不存在。 例 6、 (1)已知数列 ?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列,求常数 p 。 (2)设 ?an ? ,?bn ? 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明数列 ?cn ? 不是等比数列。 说明:题(1)主要说明若已知某数列是等比数列,如何求未知参数的值,在解决这类问题时,要注意一般与特殊的 关系; (2)主要说明怎样证明一个数列不是等比数列。 【答案】 (1) p ? 2, p ? 3 (2)设 ?an ? ,?bn ? 的公比分别是 p, q( p ? q) ,则有
2 c2 ? c1c3 ? (a1 p ? b1q)2 ? (a1 p 2 ? b1q 2 ) ? ?a1b1 ( p ? q)2 ? 0( p ? q)

2 c2 ? c1c3, ,即数列 ?cn ? 不是等比数列

例 7、已知数列 ?an ? 中 Sn 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2 ? n ? 1,2??,a1 ? 1 (1)设数列 bn ? an?1 ? 2an ? n ? 1, 2,?? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)设数列 cn ?

an , ? n ? 1, 2, ?? , 求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

(3)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 【答案】 (1)由 Sn?1 ? 4a2 ? 2, Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? 4 ? an?1 ? a ?n 即 an?2 ? 4an?1 ? 4an

an?2 ? 2an?1 ? 2 ? an?1 ? an ? , 又bn ? an?1 ? 2an

所以 bn?1 ? 2bn

① ②

已知 S2 ? 4a1 ? 2, a1 ? 1 ,a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 ,解得 a2 ? 5, b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由①和②得,数列 ?bn ? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 bn ? 3? 2n?1

(2)因为 cn ?

an an ?1 an an ?1 ? 2an bn 3?2n?1 3 ? n ? N c ? c ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? n ?1 n 2n 2n ?1 2n 2n ?1 4 2n ?1 2n ?1

又 c1 ?

a1 1 1 3 3 1 ? , 故数列 ?cn ? 是首项为 ,公差是 的等差数列, cn ? n ? 2 2 2 4 4 4

(3) Sn ? 2n?1 ?3n ? 4? ? 2

【课堂小练】
1、三数成 GP,若将第三数减去 32,则成 AP,若将该等差数列中项减去 4,以成 GP,求原三数。 (2,10,50 或

2 26 38 , , ) 9 9 9

2、一个等比数列前 n 项的和为 Sn ? 48, 前 2 n 项之和 S2 n ? 60 ,求 S3n 。 (63) 3、在等比数列中,已知: a3 ? 4, S6 ? 36 ,求 an 。 答案: ?

? 1 n ?1 ? ?2 ? ?7 ?

【课堂总结】
1、 等比数列的定义是什么? 2、 等比数列的通项公式?求和公式? 3、等比数列有哪些性质?

【课后练习】
1、等比数列 ?an ? 中, an ? 0 , a3a4 ? 4 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a6 值为( B ) A.5 B.6 C.7 D.8 ( C D.1:3 )

2、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S6 : S3 ? 1: 2 ,则 S9 : S3 ? A.1:2 B.2:3 C.3:4

3、已知等比数列 { an } 的首项为 8, S n 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2=20,S3=36,S4=65, 后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为 A . S1 B.S2 C . S3
* 2、在等比数列 {an } ( n ? N )中,若 a1 ? 1 , a4 ?

( C ) D . S4

1 ,则该数列的前 10 项和为 (B) 8 1 1 1 1 A. 2 ? 4 B. 2 ? 9 C. 2 ? 10 D. 2 ? 11 2 2 2 2 2 3、已知 a 、 b 、 c 、 d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点是 ? b, c ? ,则 ad 等于 A. 3 B. 2 C. 1 D. ?2



B)

4、若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =__—1_。

5 、 已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , 公 比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ??? a30 ? 230 , 那 么 a3 ? a6 ? a9 ??? a30 ( B ) A. 2
10

等于

B. 2

20

C. 2

16

D. 2

15

6、在等比数列 ?an ? 中, a7 a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,则

a20 等于 a10
D.

( A )

A.

2 3 或 3 2

B.

1 1 或- 3 2

C.

2 3

3 2

* 7、数列 ?an ? 中, an ? 0, 且?an an?1? 是公比为 q ? q ? 0? 的等比数列,满足 an an?1 ? an?1an?2 ? an?2an?3 n ? N ,则

?

?

公比 q 的取值范围是 A. 0 ? q ?



D ) C. 0 ? q ?

1? 2 ?1 ? 5 B. 0 ? q ? 2 2
*

?1 ? 2 2

D. 0 ? q ?

1? 5 2
9

8、已知数列 ?an ? 是等比数列,且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 81 ,则 a4 ? a6 ? 9、等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn = a ? 2 ? a ? 2 ,则 an =_____
n

2n?1 __.

10、 已知等比数列 {an } 及等差数列 {bn } , 其中 b1 ? 0 , 公差 d ? 0 . 将这两个数列的对应项相加, 得一新数列 1, 1, 2, …, 则这个新数列的前 10 项之和为 978 .

11、如果 b 是 a 与 c 的等差中项, y 是 x 与 z 的等比中项,且 y , x, z 都是正数,则

(b ? c)logm x ? (c ? a)logm y ? (a ? b)logm z ?

0

( m ? 0, m ? 1 )

12、已知数列 {an }, {bn } 满足 a1 ? 2, a2 ? 4, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . (1)求证:数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2)求 an . 【答案】 (1)? bn ?1 ? 2bn ? 2 ?

??bn ? 2? 是公比为 2 的等比数列
(2) bn ? 2 ? ?b1 ? 2? q
n?1

bn?1 ? 2 ?2 bn ? 2

? 4? 2n?1 ? 2n?1

?bn ? 2n?1 ? 2 又 an?1 ? an ? bn
an ? an?1 ? bn?1 ? 2n ? 2
an?1 ? an?2 ? bn?2 ? 2n?1 ? 2
… …

a2 ? a1 ? b1 ? 22 ? 2

所有式子相加得, an ? a1 ? 2n?1 ? 2n ? 2 所以, an ? 2n?1 ? 2n 13、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a1 , a2 ; 【答案】 (1)由 n ? 1 ,可得 s1 ?

1 (an ? 1)(n ? N ? ). 3
(2)求证数列 ?an ? 是等比数列.

1 1 ? a1 ? 1? ? a1 ,所以 a1 ? ? 3 2 1 1 由 n ? 2 ,可得出 S 2 ? ? a2 ? 1? ? a1 ? a2 ,所以 a2 ? 3 4 1 ? an ? an?1 ? ? an 3

(2) S n ? S n ?1 ?

?

an 1 ?? an ?1 2
n?2 Sn(n=1,2,3,…). n

14、数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 证明: (1)数列{

Sn }是等比数列; (2)Sn+1=4an . n n?2 S n ?nSn?1 ? 2 ? n ?1? Sn 【答案】 (1) S n ?1 ? S n ? an ?1 ? n

?S ? ? ? n ? 是等比数列 ?n?
(2)

sn ? 2n ? S n ? n?2n n

?an ? Sn ? Sn?1 ? ? n ? 1? 2n?1 而 Sn?1 ? ? n ?1? 2n?1 ? 4 ? n ?1? 2n?1 ? 4an

15、已知数列 {an } 满足: a1 ? (1)求 a2 , a3,a4 ;

1 1 , 且an ? an ?1 ? n . 2 2
(2)求数列 {an } 的通项 an

16、设数列 ?an ? 前 n 项之和为 Sn ,若 S1 ? 1, S2 ? 2 且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 0 ? n ? 2? , 问:数列 ?an ? 成 GP 吗? 解:∵ Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 0 ,∴ ? Sn?1 ? Sn ? ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 0

即:

an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,∴ ?an ? 成 GP ? n ? 2 ? an a2 ? 2, a1
? ? 1 ? n ? 1? 。 n ?1 2 n ? 2 ? ? ? ?

又: a1 ? S1 ? 1, a2 ? S2 ? S1 ? 1,

∴ ?an ? 不成 GP,但 ? n ? 2 ? 时成 GP,即: an ? ?


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