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2.3.2抛物线的简单几何性质


2.3.2 抛物线的简单几何性质
(一)学习目标: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物 线图形; 3.在对抛物线几何 性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 . (二)学习重点:抛物线的几何性质及其运用 (三)学习难点:抛物线几何性质的运用 (四)学习过程: 一、复习引入:

(回顾并填表格) 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做 定点 F 叫做抛物线的 ,定直线 l 叫做抛 物线的 . .

y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线 2.抛物线的标准方程: 相同点:

不同点:

二、讲解新课: 类似研究双曲线的性质的过程, 我们以 y ? 2 px? p ? 0? 为例来研究一下抛物线的简单
2

几何性质: 1.范围

2.对称性

3.顶点

4.离心率

对于其它几种形式的方程,列表如下: (通过对照完成下表) 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

O

F

x

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

[来源:Z.xx.k.Com]

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

注意 p 的几何意义: 思考:抛物线有没有渐近线?(体会抛物线与双曲线的区别) 三、例题讲解: 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它的 标准方程,并用描点法画出图形.

[来源:Zxxk.Com]

例 2 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,求线段 AB 的长. (思考用不同方法求解)

变式训练:过抛物线 y ? 4x2 的焦点 F 作直线,交抛物 线于 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点,若 y1 ? y2 ? 6 ,求 PQ 。

点评:由以上例 2 以及变式训练可总结出焦点弦弦长: 四、达标练习:
2 1 . 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =( )
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
2 2 . 已 知 M 为 抛 物 线 y ? 4 x 上 一 动 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 定 点 P?3 , 1? , 则

| MP | ? | MF | 的最小值为( )
(A)3
2

(B)4

(C)5

(D)6

3.过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是

______ 4.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动, AB 中点 M 到 y 轴距离的 求 最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标. 参考答案:1. B 2. B 3. y 2 ? 2?x ? 1? 4. M ?

?5 2? ? , ? ?4 2 ? ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 . 4

五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等. 六、课后作业: 1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点. (3)顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2、B2,则 ∠A2FB2 等于 . 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,求抛物线方 程. 4.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆 5

在准线所得的弦长. 5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽是 多少米? 习题答案: 2 2 2 1. (1)y =±32x (2)x =8y (3)x =-8y 2.90° 3.x =±16 y
2

4. 4 5

5. 20 5 米

七、板书设计(略)

2.3.2 抛物线的简单几何性质
(一)教学目标: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物 线图形; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 . (二)教学重点:抛物线的几何性质及其运用 (三)教学难点:抛物线几何性质的运用 (四)教学过程: 一、复习引入: 学生回顾并填表格) ( 1.抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线. 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.

y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0 ) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

[来源:学科网 ZXXK]

2.抛物线的标准方程: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与 焦点在对称轴上关于原点对称
王新敞
奎屯 新疆

它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 ,即 4

2p p ? . 4 2
不同点:(1)图形关于 x 轴对称时,x 为一次项,y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端 为y ; 图形关于 y 轴对称时, 为二次项, 为一次项, x y 方程右端为 ? 2 py , 左端为 x . (2)
2
2

开口方向在 x 轴(或 y 轴)正向时,焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上,方程右端取正号; 开口在 x 轴(或 y 轴)负向时,焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴时,方程右端取负号. 二、讲解新课: 类似研究双曲线的性质的过程, 我们以 y ? 2 px? p ? 0? 为例来研究一下抛物线的简单
2

几何性质: 1.范围

因为 p>0,由方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等 式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物 线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中, y=0 时, 当 x=0, 因此抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表 示.由抛物线的定义可知,e=1. 对于其它几种形式的方程,列表如下: (学生通过对照完成下表) 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

O

F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

e ?1

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?
学&科&网]

[来源:

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

e ?1

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离. 思考:抛 物线有没有渐近线?(体会抛物线与双曲线的区别) 三、例题讲解: 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它的 标准方程,并用描点法画出图形. 分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数 p. 解:由题意,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,因为它过点 M (2,?2 2 ) , 所以

(?2 2 ) 2 ? 2 p ? 2 ,即 p ? 2

因此,所求的抛物线方程为 y 2 ? 4 x . 将已知方程变形为 y ? ?2 x ,根据 y ? 2 x 计算抛物线在 x ? 0 的范围内几个点的坐标, 得

x y

0 0

1 2

2 2.8

3 3.5

4 4
王新敞
奎屯 新疆

… …

描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分 点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也 向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛 物线没有渐近线. 例 2 斜率 为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线交于两点 A、 B,求线段 AB 的长. 解法 1:如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点 F(1,0) ,准线方程 x=—1. 由题可知,直线 AB 的 方程为 y=x—1 代入抛物线方程 y2=4x,整理得:x2—6x+1=0 解上述方程得 x1=3+2 2 ,x2=3—2 2 分别代入直线方程得 y1=2+2 2 ,y2=2—2 2 即 A、B 的坐标分别为(3+2 2 ,2+2 2 )(3—2 2 ,2—2 2 ) , ∴|AB|= (3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ) 2 ? 2(2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ) 2 ? 64 ? 8 解法 2:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1?x2=1 ∴|AB|= 2 |x1—x2|
? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 6 2 ? 4 ? 8

解法 3:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知, |AF|等于点 A 到准线 x=—1 的距离|AA′| 即|AF|=|AA′|=x1+1

同理|BF|=|BB′|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8 点评:解法 2 是利用韦达定理根与系数的关系,设而不求,是解析几何中求弦长的一种 普遍适用的方法;解法 3 充分利用了抛物线的定义,解法简洁,值得引起重视。 变式训练:过抛物线 y ? 4x2 的焦点 F 作直线,交抛物线于 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点 , 若 y1 ? y2 ? 6 ,求 PQ 。 解: x ?
2

1 1 1 y ,? 2 p ? , p ? , 4 4 8

? PQ ? PF ? QF ? PP ? QQ1 1
? y1 ? y2 ? p ? 6 ? 1 1 ?6 。 8 8

点评:由以上例 2 以及变式训练可总结出焦点弦弦长:

AB ? x1 ? x2 ? p 或 AB ? y1 ? y2 ? p 。
四、达标练习: 1 . 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =( )
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
2 2 . 已 知 M 为 抛 物 线 y ? 4 x 上 一 动 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 定 点 P?3 , 1? , 则

| MP | ? | MF | 的最小值为( )
(A)3
2

(B)4

(C)5

(D)6

3.过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 ______ 4.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y ? x 上移动, AB 中点 M 到 y 轴距离的 求
2

最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标. 参考答案:1. B 2. B 3. y ? 2?x ? 1? 4. M ?
2

?5 2? ? , ? ?4 2 ? ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 . 4

五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等. 六、课后作业: 1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点.

(3)顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2、B2,则 ∠A2FB2 等于 . 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,求抛物线方 程. 4.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆 5

在准线所得的弦长. 5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽是 多少米? 习题答案: 2 2 2 1. (1)y =±32x (2)x =8y (3)x =-8y 2.90° 3.x =±16 y
2

4. 4 5

5. 20 5 米

七、板书设计(略)


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