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2015年全国高中数学联赛模拟试题12


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 12 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知实数 x, y 满足 x ? 3 xy ? 4 y ? 2 2 7 ,则 x ? y 的最大值为 2 2.从集合 ??10, ?9, , ?1,0,1, ,9,10? 中任选 4 个不同元素,考虑这 4 个元素的两数和、三数和、四数和, 这 11 个和中恰有两个和为 0 的概率为 3.设 a , b 是两个给定的正数,且 a ? b ,如果对任意的 x ? 0, a , y ? 0, b ,实数 ? 都满足 a ? b ? x ? y ? ? ab ? xy ? ? ,则称 ? 对于 a , b 来说是“好数”. 则满足条件的最大好数是 (用 a , b 表示) 2 2 2 2 ? ? ? ? 4.球面上有 A, B, C , D 四点, AB, AC , AD 两两垂直,且 AB ? AC ? AD =12 , 则球面面积的最小值为 5.设 n ? 100 ,则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 x 3 6.记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? ) 2 , ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是 3 y 。 ? x ? 3 ? y ? 3 ? 12 ? ? 7.已知 x , y , z 满足 ? y ? 12 ? z ? 12 ? 12 ,则 x ? y ? z ? ? ? ? z ? 27 ? x ? 27 ? 12 8.数列?an ? 满足a1 =2,a2 =8,且an =4an -1 -an -2 (n ? 3),求极限 lim ? arc cot ai 2 =____ n ?? i =1 n 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 已知线段 AB 为过抛物线 y ? 4 x 焦点的弦, O 为原点,求△ ABC 的三边边长的平方和的取值范围 2 10.设非负实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , p ? 1 1 1 ? ? ,试求 p 的最大值 pmax 和最小值 pmin 1? a 1? b 1? c 11.若递增正整数数列 ?an ? 满足 a0 =a1 =47, 且 an-12 +an 2 +an +12 ? an-1an an +1 =4(n ? 1) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 2 +2 +2 + = an ? a+b ? ?+ ? ? c ? bn n b b ? c ? b 是无理数, + 求证: 1 + 2 , ? ? 其中 a ,c 是正整数, 2 22 ? a+b ? b + bn <2 2n 2015 年全国高中数学联赛模拟试题 12 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 二、 (本小题满分 40 分) 三、 (本题满分 50 分) 四、 (本题满分 50 分) 2015 年全国高中数学联赛模拟试题 12 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知实数 x, y 满足 x ? 3 xy ? 4 y ? 2 2 7 ,则 x ? y 的最大值为 2 2.从集合 ??10, ?9, , ?1,0,1, ,9,10? 中任选 4 个不同元素,考虑这


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