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高二数学晚间小练习015


忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(067)
班级 姓名 成绩 一 填空题(每小题 5 分共 20 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1. “不等式 ax
2

? ax ? 1 ? 0 对一切实数 x 都成立”的充要条件是_____________.
2

2、已知 y ? f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 4 x ? 8 ,且当 x ? ? ? 5, ? 1 ? 时,
n ? f ( x ) ? m 恒成立,则 m ? n 的最小值为
x ? m ?1 x ? 2m



.
1 3 1 2

3、若关于 x 的不等式

? 0 成立的一个充分非必要条件是“

? x ?

” ,则实

数 m 的取值范围是
2



.
2

4 、 已 知 函 数 f ( x ) ? | x ? 1 | , 若 a ? b ? 0, 且 f ( a ) ? f ( b ) , 则 a ? ▲ .

1 b
2

的取值范围是

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5 (15 分) 已知命题 p:? x ? [1, 3], ( )
2 1
x ?1

? m ?1 ? 0 , 命题 q:? x ? (0, ? ? ), m x ? x ? 4 ? 0 .
2

若“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围.

6(15 分)某市近郊有一块大约 500m×500m 的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一 个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为 3000 平方米,其 中阴影部分为通道,通道宽度为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地 (其中两个小场地形状相同) ,塑胶运动场地占地面积为 S 平方米。 (1)分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式,并给出定义域; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值。 x米 a a

y米

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(067)答案

注:选择题答案是上面的后四条
5 解:由 (
1 2 )
x ?1

? m ?1? 0

,知 1 ?

1 x ?1 m ? ( ) 2



1 x ?1 1 ? [ ,1] , ? x ? ?1, 3 ? , ? ( ) 2 4
? 1 ? m ? 1 ,即 m ? 0

-------------------4 分 -------------------6 分


? 0

又由 m x 2
? 4? x x
2

? x?4? 0

,x

,得 m

?

4? x x
2

, 分

1 2 1 1 1 2 1 1 ? 4( ) ? ? 4( ? ) ? ? [? , ? ? ) ,-------------------10 x x x 8 16 16 1 16 , ?? )

由题意, m ? [ ?

-----------------------12 分

由“ p 且 q ”为真命题,知 p 和 q 都是真命题, 所以,符合题意的 m 的取值范围是 [ ? 6 解: (1)由已知 x y
? 3 0 0 0 ,? y ? 3000 x 1 16 , 0)



------------------------15 分

,其定义域是 ? 6 , 5 0 0 ? .-----------------------3 分 ,

S ? ? x ? 4 ? a ? ? x ? 6 ? a ? ? 2 x ? 10 ? a
? 2 a ? 6 ? y ,? a ? y 2 ?3? 1500 x ?3

, ,其定义域是 ? 6 , 5 0 0 ? .-----------8 分

? 1500 ? ? 15000 ? ? S ? ? 2 x ? 10 ? ? ? ? 3 ? ? 3030 ? ? ? 6x? x ? x ? ? ?

(2) S

15000 ? 15000 ? ? 3030 ? ? ? 6 x ? ? 3030 ? 2 6 x ? ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 x x ? ?
15000 x ? 6x

, -----------13 分

当且仅当 此时, x

,即 x

? 5 0 ? ? 6 , 5 0 0 ? 时,上述不等式等号成立,

? 5 0, y ? 6 0, S m ax ? 2 4 3 0



-------------------------------------15 分

答:设计 x

? 50m , y ? 60m

时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米.-------15 分

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(068)
班级 姓名 成绩 一 填空题(每小题 5 分共 35 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.设点 P 是曲线 y= 2.设 a ?
ln 2 2 ,b ? 1 3 ln 3 3 ,c ? ln 5 5

x -x 上的任一点,P 点处切线倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是 ,则 a , b , c 的大小为

3

3.若直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k ? 4 . 设 f(x) , g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x<0 时 ,
f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x ) ? 0 且 g ( ? 3 ) ? 0,则不等式
' '

f ( x ) g ( x ) ? 0的解集是
'

5.已知二次函数 f ( x ) ? ax 实数 x 都有 f ( x ) ? 0 , 则

2

? bx ? c 的导数为

f ( x ), f ( 0 ) ? 0 , 对任意的
'

f (1 ) f (0)
'

的最大值为

6.已知函数 f(x)=alnx+ x (a 为常数),若存在 x??1,e?使得 f(x)?(a+2)x 成立,则实数 a 的取值范围为 7.已知关于 x 的方程 x ? ax
3 2

2

? 2 ax ? a

2

? 1 ? 0 有且只有一个实根,则实数 a 的范围为

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
8. (本小题满分 15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ? P B O 系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? A
??

,把 y 表示成 ? 的函数关

P

B

O
(第 8 题图)

C

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(068)答案
1、解: ? 0 ,
? ?

? ?

? 3? ? ,? ? ?? ? 2 ? ? 4 ?

2、 b ? a ? c ;

3、

1 e

4.解:设 F(x)=f(x)g(x)由题意知 F(x)是 R 上的奇函数且 F(-3)=0
F (x) ? f (x)g (x) ? f (x)g (x)
' ' '

? x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , 即 F ( x ) 在( - ? ,)上是单调增函数,在 0
'

( 0, ? )也是单调增函数 ?

? F ( x ) ? 0的解集是(

? F ( x ) ? 0的解集是(

- ? , 3) ( 0,) ? 3

- ? , 3) ( 0,) ? 3

52

x ? 2x
2
6、解∵a≥
x
2

? 2x

x ? ln x

(x ? [1.e])令 g(x)=

x ? ln x

(x ? [1.e])g'(x)=

( x ? 1 )( x ? 2 ? 2 ln x ) ( x ? ln x )
2

>0

∴g(x)的最小值 g(1)=-1∴a≥-1 7、 解: a ? ( x ? 2 x ) a ? x ? 1 ? 0 ∴(a-1-x)(a-x ? x ? 1) =0∴a=1+x ∵
2 2 3 2

或 a=x +x+1,
3 4
π 由题意 4

2

2 由题意知 x +x+1-a=0 无解,∴△<0,即 a ?

3 4

方程有一个实根 x=a-1 ∴ a ?

8 【 解 】( 1 ) 在 R t ? A O B 中 , A B ? 6, 所 以 O B =OA= 3 2 . 所 以 ? A B C ? 知. 所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为
y ? 2PB ? PA ? 2 ? 3 2 co s ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? co s ?

????????2 分

.

????????6 分

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . co s ? 4 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 y? ? 3 2 ?
? ?
π 6 2 sin ? ? 1 cos ?
2

?

?

????????7 分
1 2

, 令 y ? ? 0 即 s in ? ?
π 6 ?? ? π 4

,又 0?? ?

π ,从而 4

.

????????9 分.当 0 ? ? ?
π 6

π 6

时, y ? ? 0 ;当

时, y ? ? 0 .

所以当 ? ?

时, y ? 4 ? 3 2 ?
π 6 ?

2 ? sin ? cos ?

取得最小值,

??????? 13 分
6 km 处.

此时 O P ? 3 2 tan

6 (km) ,即点 P 在 OA 上距 O 点

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. ???? 15 分

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(069)
一 填空题(每小题 5 分共 30 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.从 6 名男生和 4 名女生中,选出 3 名代表,要求至少包含 1 名女生,则不同的选法 共有 ▲ 种. 2.已知 C n4 ? C n6 ,设 (3 x ? 4 ) n ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a n ( x ? 1) n , 则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ▲ .

3.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 0 .6 ,且各次射击的结果互不影 响,则射手在 3 次射击中,恰有两次连续击中目标的概率是 ▲ . 4.甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.5,本 场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束. 设各局比赛相互之间没有影响. 用
? 表示本场比赛的局数,则 ? 的数学期望为





5.从 6 人中选 4 人分别到上海世博会美国馆、英国馆、法国馆、沙特馆四个馆参观,要求 每个馆有一人参观,每人只参观一个馆,且这 6 人中甲、乙两人不去法国馆参观,则不同 的选择方案共有 ▲ 种.
2

6.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 1 ? ? 为 .



f ?? x? ? 1

,则不等式

f

? x 2 ? ? x 2 ? 1 的解集

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7. (本题满分 15 分) (Ⅰ)当 a ? ?
10 3

设函数 f ( x ) ? x 4 ? a x 3 ? 2 x 2 ? b , a , b ? R .

时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x=0 处有极值,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任何 a ? [ ? 2, 2 ] , 不 等 式 f ( x ) ≤ 1在 x ? [ ? 1 ,0 ] 上恒成立,求 b 的取值范围

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(069)答案
1. 1 0 0 ; 2. 1 0 2 3 ; 3. 0 .2 8 8 (或
33 8
36 125

) ;

4. 4 . 125 (或 6.
??

) ; 5. 2 4 0 .
?
1 , ? ??

?, ?1 ? ?

7 解: (1) f ? ( x ) ? 4 x 3 ? 3 a x 2 ? 4 x ? x ( 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ) , 当a ? ?
10 3
2 时 , f ? ( x ) ? x ( 4 x ? 1 0 x ? 4 ) ? 2 x ( 2 x ? 1)( x ? 2 )

令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x1 ? 0 , x 2 ?

1 2

, x3 ? 2,

当 x 变化时, f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(?? , 0)

0

(0,

1 2

)

1 2

(

1 2

, 2)

0

(2, ?? )

f ?( x )

- 单调 递减
1 2

0 极 小值

+ 单调 递增

0 极 大值

- 单调 递减

0 极 小值

+ 单调 递增

f (x)

所以 f ( x ) 在 (0 , ) 和 ( 2 , ? ? ) 上是增函数, 在区间 ( ? ? , 0 ) 和 ( , 2 ) 上是减函数;…………………………(4 分)
2 1

(2) f ? ( x ) ? x ( 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ), 显 然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ? 0 的根,
? f ( x )仅 在 x ? 0

处有极值。

则方程 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根, 2 ? ? 9a ? 4 ? 16 ≤ 0 , 解此不等式,得 ?
8 3
≤ a≤

8 3



这时,f(0)=b 是唯一极值,

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。
因此满足条件的 a 的取值范围是 [ ? , ] ;……………………(8 分)
3 3 8 8

注:若未考虑 ? ? 9 a 2 ? 4 ≤ 0 ,进而得到 a 的范围为 [ ? , ] ,扣 2 分,
3 3

8 8

(3)由(2)知,当 a ? [ ? 2, 2 ]时 , 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ? 0 恒成立, 当 x<0 时, f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 在区间 ( ? ? , 0 ] 上是减函数, 因此函数 f ( x ) 在[-1,0]上最大值是 f(-1) …………(10 分) , 又∵对任意的 a ? [ ? 2, 2 ], 不 等 式 f ( x ) ≤ 1在 [ ? 1, 0 ] 上恒成立, ∴ f ( ? 1) ≤ 1, 即 3 ? a ? b ≤ 1 , 于是 b ≤ a ? 2 在 a ? [ ? 2, 2 ] 上恒成立。 ∴ b ≤ ?2 ? 2解 得 b ≤ -4. 因此满足条件的 b 的取值范围是( - ? ,4 ] .

…………………………(15 分)

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(070)
一 填空题(每小题 5 分共 30 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.现有 5 个人站成一排,其中甲不站在排头也不站在排尾的不同排列方法有 2. 将甲、 丙、 乙、 丁四个人平均分成两组, “甲、 则 乙两人恰好在同一组” 的概率为 种. .

3 . 若 曲 线 f ? x ? ? x ln x 在 点 P 处 的 切 线 平 行 于 直 线 3 x ? y ? 0 , 则 点 P 的 坐 标 为 . _.
3 2 4. 如图为函数 f ? x ? ? a x ? b x ? cx ? d 的图象, f ? ? x ? 为函

y

数 f ? x ? 的导函数,则不等式 x ? f ? ( x) ? 0 的解集为______ 5. 以下有四种说法: ①“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;

? 3

O

3

x

②命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是“若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b ”; ③“ x ? 3 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

④命题“ ? n ? R , 使得 n ? n ? 0 ”的否定为“ ? n ? R , 均有 n ? n ? 0 ”.
2 2

其中正确说法的序号为 6. 若 ? 1 ? 2 x ?
2010

.(填序号)
2010

? a 0 ? a1 x ? ? ? a 2 0 1 0 x

,? x ? R ?





a1 2

?

a2 2
2

?? ?

a 2010 2
2010

的值为

.

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7(本题满分 15 分)设函数 f ( x ) ? e ? e
x ?x



(Ⅰ)证明: f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x ) ≥ a x ,求 a 的取值范围.



生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(070)答案
1.72 2.
1 3

3. ( e , 2 e ) 4.

2

2

? ? ? , ? 3 ? ? ? 0,

3

?

5② ④

6. ? 1

x ?x 7(Ⅰ) f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ? e ? e .

由于 e ? e ≥ 2 e ?e
x -x x

?x

? 2 ,故 f ? ( x ) ≥ 2 .

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) . (Ⅱ)令 g ( x ) ? f ( x ) ? a x ,则
x ?x g ?( x ) ? f ?( x ) ? a ? e ? e ? a ,

(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g ? ( x ) ? e ? e
x

?x

?a ? 2?a≥ 0,

? 故 g ( x ) 在 (0, ∞ ) 上为增函数,

所以, x ≥ 0 时, g ( x ) ≥ g (0 ) ,即 f ( x ) ≥ a x .
a? a ?4
2

(ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ? ( x ) ? 0 的正根为 x1 ? ln



2

此时,若 x ? (0, x1 ) ,则 g ? ( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0, x1 ) 时, g ( x ) ? g (0 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? a x ,与题设 f ( x ) ≥ a x 相矛盾.

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(071)
一 填空题(每小题 5 分共 25 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.命题 “ ? x ? R , x 2
? x ?1? 0

成立”的否定为

2. 若函数 f(x)=ax3+3x2-x (a≠0) 恰有三个单调区间, 那么 a 的取值范围是____________ 3.已知 x ? [0, π ] ,则函数 y
? s in x cos x ? 2

的值域为





4.下列关于命题的说法正确的有

(请填写相应的序号) :

(1)原命题的否命题与逆命题的真假相同; (2)命题“ ? A B C 中,若 A (3)命题“ ? x ? R ,使 x 2 (4)命题“若函数 y
? B

,则 sin 2 A

? sin 2 B

”的逆命题是真命题;

? x ?1? 0
2

成立”的否定是真命题; ,则实数 a 的取值范围是 (0,1] ”的

? lg ( a x ? 2 x ? 1) 的值域为 R

逆否命题是假命题. 5.定义:关于 x 的两个不等式 f ? x ? ? 0 和 g ? x ? ? 0 的解集分别为 ? a , b ? 和 ? , ? ,则称这
?b a? ?1 1?

两 个 不 等 式 为 对 偶 不 等 式 . 如 果 不 等 式 x ? 4 3 x co s ? ? 1 ? 0 与 不 等 式
2

?? ? 2 x ? 1 2 x sin ? ? 1 ? 0 为对偶不等式,且 ? ? ? , ? ? ,则 ? ? 2 ? ?

.

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6 设函数
f ( x ) ? ( x ? 1) ln ( x ? 1). 若对所有的 x ? 0, 都有 f ( x ) ? a x

成立,求实数 a 的

取值范围。

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(071)答案
1
?x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
2

2 a>-3

3

[?

3 3

, 0]

(1) (4) 5. 4

?
6

6 解法一:

令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1, ??5 分 (i)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0,所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又 g(0)=0,所以对 x≥0,都有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. ??9 分 a-1 (ii)当 a>1 时,对于 0<x<e -1,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,ea-1-1)是减函数, 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,都有 g(x)<g(0), 即当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. ??12 分 解法二:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立. ??3 分 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1, ??6 分 当 x> ea-1-1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, ??9 分 a-1 所以要对所有 x≥0 都有 g(x)≥g(0)充要条件为 e -1≤0. 由此得 a≤1,即 a 的取值范围是(-∞,1]. ??12 分

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(072)
一 填空题(每小题 5 分共 30 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.将 5 本不同的书全发给 4 名同学,每名同学至少有一本书的概率 是 ; 2.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ? 个红球,则
P ( ? ? 1) =
1 ? ? 3.若 ? x 2 ? ? ax ? ?
6

的二项展开式中 x 3 的系数为 ,且 b
? 0

5 2

,则 a

?

(用数字作答) .

4.复数 z 可以是 5.已知 B

? a ? b i , a, b ? R

,若 z 2

? 4bz

是实数,则有序实数对 ( a, b )

. (写出一个有序实数对即可)
? 2 ? ? ?? ? 1 3? ? 4?

,且 det(

B ) ? ? 1 ,则 ?

=

6.如右图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色, 每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则 不同的涂色方法共有 种(用数字作答) .

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7(15 分)已知函数
x ? 2y ?3 ? 0
f (x) ? a ln x x ?1 ? b x

,曲线 y

? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为


? 0

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x 取值范围。

,且 x

? 1 时, f ( x ) ?

ln x x ?1

?

k x

,求 k 的

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(072)答案
1,
15 64

;2, ; 3, a
5

3

? 2 ;4, ? 2,1 ?

;5, 4 ;6, 3 9 0 ;

?(

x ?1

7 解: (Ⅰ)

f '( x ) ?

? ln x ) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

1 2

,且

? f (1) ? 1, ? 过点 (1,1) ,故 ? 1 即 f '(1) ? ? , ? ? 2 ? b ? 1, ? ?a 1 ? ?b ? ? , ?2 2
ln x x ?1 1 x
2

解得 a

? 1 ,b ? 1。

(Ⅱ)Ⅰ) f(x)= ( 知

?

, 所以

f (x) ? (

ln x x ?1

?

k x

)?

1 1? x
2

( 2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1)
2

)



x
2

考虑函数 h ( x ) ?

2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1) x

( x ? 0 ) ,则 h '( x ) ?

( k ? 1)( x ? 1) ? 2 x x
2



(i)设 k 故

? 0

,由 h '( x ) ?

k ( x ? 1) ? ( x ? 1)
2

2

x

2

知,当 x

? 1 时, h '( x ) ? 0

。而 h (1) ? 0 ,

当 x ? (0 ,1) 时, h ( x ) 可得
1 1? x
2

? 0 ,可得

1 1? x
2

h(x) ? 0

;当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,

h(x)>0
ln x x ?1

从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1,
1 1 1? k 1? k

+

k x

)>0,即 f(x)>

ln x x ?1

+

k x

.

)时, (k-1) 2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, (x )时,h(x)>0,可得
1 1? x
2

而 h(1)=0,故当 x ? (1, 题设矛盾。

h(x)<0,与

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(073)
一 填空题(每小题 5 分共 30 分, 请将答案直填入答题纸中的相应空 档内)
1.满足 1 C n ? 2 C n ? ... ? n C n ? 2 0 1 0 ( n ? 2 , n ? N ) 的最小整数 n =________
2 1 2 2 2 n
*

2. 已知 n ? N ,则
*

1 2!

?

2 3!

? ... ?

n ( n ? 1) !

=________________;

3. 现将 10 个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村,要求一个村 1 个名额,一个村 2 个 名额,一个村 3 个名额,一个村 4 个名额,则不同的分配方案种数为 ; 4. 已知 0 ? ?
?

?
2

,由不等式 ta n ?
ta n ? 3 ta n ? 3

?

1 ta n ?

? 2

, ta n ? ?
3
3 3

2

2 2

ta n ?

?

ta n ? 2

?

ta n ? 2

?

2

2 2

ta n ?

?3



ta n ? ?

3

3 3

ta n ?

?

?

?

ta n ? 3
a

?

ta n ?

? 4 ,……,

启发我们得到推广结论: ta n ? ? 5. 随机变量 X 的分布列如下:
X
P ?1
0

ta n ?
n

? n ? 1( n ? N ) ,则 a ? ___________ ;
*

1

a

b

c

其中 a, b, c 成等差数列,若 E ( X ) ?

1 3

,则 V ( X ) 的值是

;

6 .某盏吊灯上并联着 3 个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 0 . 7 , 则在这段时间内吊灯能照明的概率是_____________________;

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7(15 分)已知函数
f ( x ) ? x ? sin x f (x)



(1)设 P,Q 是函数

图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0;
f ( x )≥ a x co s x

(2)求实数 a 的取值范围,使不等式

在 ? 0, π ? 上恒成立.
? 2?

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。

高二数学晚间小练习(073)答案
1. 8 2.
1? 1 ( n ? 1) !

3. 24
f ? ( x ) ? 1 ? co s x≥ 0 x s i n在 ? x

4. .

n

n

5

5 9

6. 0.973

7 解: (1)由题意,得 所以函数 设
k PQ ? 0

f ( x )?

R 上单调递增. , 则 有
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 0

P ( x1, 1 ) y



Q ( x 2, 2 ) y





. ????????????6 分 ( 2 ) 当
a≤ 0





f ( x ) ? x ? sin x≥ 0≥ a x co s x





立.???????????????8 分 当a
? 0

时,令 g ( x ) ?

f ( x ) ? a x co s x ? x ? sin x ? a x co s x



g ' ( x ) ? 1 ? co s x ? a (co s x ? x sin x ) ? 1 ? (1 ? a ) co s x ? a x sin x

. ,

①当 1 ?

a≥ 0 ,即 0 ? a ≤1 时, g ' ( x ) ? 1 ? ? 1 ? a ? co s x ? a x sin x ? 0

所以 g ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数.
? 2?





g ( x ≥ g ( 0?) )

?0

s i? a ? n 0

? 0

c ? s 0 ,0 o







意. ???????????10 分 ②当 1 ? a
?0

,即 a

? 1 时,令 h ( x ) ? g ' ( x ) ? 1 ? (1 ? a ) co s x ? a x sin x



于是 h ' ( x ) ? 因为 a

( 2 a ? 1) sin x ? a x co s x



? 1 ,所以 2 a ? 1 ? 0

,从而 h ' ( x )≥ 0 .

所以 h ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数.
? 2?

所以 h ( 亦
2 ? a ≤ g ' ( x )≤ π a ?1 2

π 0 ≤ h (x≤) h ) 2

) ? ? ,即 2 ? a ≤ h ( x≤ π 2

? a

1 ,

即 .???????????????????????12 分
a≤ 2

(i)当 2 ? a≥ 0 ,即 1 ?
? 2?

时, g ' ( x )≥ 0 ,
0

所以 g ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数. 于是 g ( x )≥ g (0 ) ? 14 分

, 符合题意. ????

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。
(ii)当 2 ? a
? 0

,即 a

? 2

时,存在 x 0 ?
0

? 0, π ? ,使得 2

当 x ? (0,x 0 ) 时,有 g ' ( x ) ? 从而 g ( x ) ? 综
a≤ 2

,此时 g ( x ) 在 (0, x 0 ) 上为单调减函数,
0

g (0 ) ? 0

,不能使 g ( x ) ? , 实 数

恒成立.
a



















.????????????????????15 分

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。



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