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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章§10.3


§10.3 二项式定理

§ 10. 3 二 项 式 定 理

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.二项式定理 公式(a+b)
n 0 n 1 n- 1 r n- r r =Cna +Cna b+…+Cna b +… n +Cn b n (n∈N+)所表示的定理叫作二项式定理.

思考感悟 1.在公式中,交换a,b的顺序对其二项展开式 是否有影响?

【思考· 提示】
n

(a+b) 与(b+a) 虽然结果相同,
k n-k k Cna b 和(b+a)n 的展开

n

n

但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,(a+ b) 的展开式的第 k+1 项 式的第 k+1 项
k n-k k Cnb a 是有区别的,应用二项式

定理时,其中 a 和 b 不能随便交换.
2.相关概念及公式 (1)公式右边的多项式叫作(a+b)n 的二项展开式. ____________ (2)各项的系数 Cr n(r=0,1,…,n)叫作二项式系数. (3)展开式中的________叫作二项展开式的通项, 记
r n-r r r+1 项. 作: Tr+1=Cna b , 它表示展开式的第________

(4)在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公式(1+ x)n=______________________________ 3.二项式系数的性质 (1) 二 项 式 系 数 的 对 称 性 : ___________________________________________ 距首末两端等距离的两项的二项式系数相等 n 1 n- 1 r n- r 即:C0 = C , C = C ,…, C = C n n n n n n . n+1 k (2)增减性与最大值:二项式系数 Cn,当 k< 时,二项式 2 n+1 递增的 ,当 k> 系数是_______ 时,二项式系数是递减的 _________. 2

当 n 是偶数时,_________________取得最大值. n-1 n+1 当 n 是奇数时,中间两项 C n和 C n 相等且 2 2 取得最大值. 1 2 n n (3)展开式系数总和:C0 + C + C +…+ C = 2 ,其 n n n n
2 中奇数项系数的和等于偶数项系数的和, 即 C0 + C n n 1 3 5 +C4 +…= C + C + C n n n n+…=_____

思考感悟

2.二项式系数与项的系数是否是同一概念?

【思考· 提示】 二项式系数与项的系数是不同的概 念,如(a+bx)n 的展开式中,第 r+1 项的二项式系
r n r r 数是 Cr ,而第 r + 1 项的系数是 C b. n na


课前热身

1 6 1. ( x- ) 的展开式中常数项为( x A.15 B.-20 C.-15 D.20
答案:B

)

2.设S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)
+1,则它等于( )

A.(x-2)4
C.x4 答案:C

B.(x-1)4
D.(x+1)4


2 3 n 1 n 3. (原创题)C1 + 3C + 9C +…+ 3 Cn等于( n n n A.4n B.3· 4n n n 4 -1 4 C. -1 D. 3 3

)

答案:D

1n 4.记(2x+ ) 的展开式中第 m 项的系数为 bm,若 x 1n b3=2b4,则 n=________.4.记(2x+x) 的展开式中 第 m 项的系数为 bm,若 b3=2b4,则 n=________.
答案:5

5.(2011 年马主马店调研)已知 n 为正偶数,且(x2 1 n - ) 的展开式中第 4 项的二项式系数最大,则第 2x 4 项的系数是________ .(用数字作答)
解析:n 为正偶数,且第 4 项二项式系数最大,故 展开式共 7 项,n=6,第 4 项系数为 13 5 3 C6(- ) =- . 2 2

5 答案:- 2

考点探究?挑战高考

考点突破 求二项展开式的特定项或特定项的系数

求二项展开式中的特定项,一定要抓住展开式中的 通项
k n- k k n Tk+1=Cna b ,要注意通项是(a+b) 的展开

式的第 k+1 项, 而不是第 k 项, 这里 k=0,1, …, n.求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方 的形式,然后根据需要求适合条件的项.

1 n 例1 已知在( x- ) 的展开式中, 第 6 项为常 3 2 x 数项.
(1)求n;

3

(2)求含x2项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.

【思路点拨】
项的特征求解.

利用通项确定n,进而根据特定

【解】

(1)二项展开式的通项公式为 1 r r 1 r r r n-r Tr + 1 = C n x (- ) x- = (- ) Cn 3 2 3 2 n-2r x . 3 ∵第 6 项为常数项, n-2r ∴r=5 时,有 =0, 3 解得 n=10. n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2

∴含 x 项的系数为

2

1 2 45 2 C10(- ) = . 2 4

?10-2r ? ∈Z, ? 3 (3)由题意知:? ?0≤r≤10, ? ?r∈Z.

10-2r 令 =k(k∈Z), 3 3 则 10-2r=3k,则 r=5- k. 2 ∵r∈Z, ∴k 应为偶数,∴k=2,0,-2,即 r=2,5,8.

所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别 为 12 2 15 1 8 -2 2 5 8 C10(- ) x ,C10(- ) ,C10(- ) x . 2 2 2
(1)解此类问题可以分两步完成:

【名师点评】

第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,

建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n
和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);

第二步是根据所求的指数,再求所求解的项;

(2)有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必 须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要 求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.若

求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一
字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项

的方式一致.

x y 6 变式训练 1 (1)(2010 年高考安徽卷)( - ) 的展 y x 开式中,x3 的系数等于________. 16 2 (2)(2010 年高考辽宁卷)(1+x+x )(x- ) 的展开式 x 中的常数项为________.
x y 6 y r r x 6- r 解析:(1)( - ) 的通项 Tr+1=C6( ) (- ) y x y x 3 3 r r =C6(-1) x6- ry r-3,令 2 2
2 x3 的系数为 C2 ( - 1) =15. 6

3 6- r=3 得 r=2,故 2

16 r r 6-2r (2)(x- ) 的一般项为 Tr+1=C6(-1) x ,当 r=3 x
4 时,T4=-C3 =- 20 ,当 r = 4 时, T = C 6 5 6=15,因

此常数项为-20+15=-5.
答案:(1)15 (2)-5

二项式系数和或各项的系数和问题 二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式,除了正 用、逆用这个恒等式,还可根据所求系数和的特 征,让 a、b取相应的特殊值,至于特殊值 a、b如

何选取,视具体问题而定.没有一成不变的规
律.

例2 设(2- 3x)

100

=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,

求下列各式的值.
(1)a0;
(2)a1+a3+a5+…+a99;

(3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(4)|a1|+|a2|+…+|a100|.

【思路点拨】

通过给已知等式中的x适当赋值,

“消去”字母x,得到所求的各式.

【 解 】 (1) 由 (2 - 3 x)100 展 开 式 中 的 常 数 项 为 100 100 C0 · 2 ,即 a = 2 ,或令 x=0,则展开式可化为 100 0 a0=2100. (2) 令 x = 1 ,得 a0 + a1 + a2 +…+ a99 + a100 = (2 - 3)100① 令 x=- 1,可得 a0- a1+ a2- a3+…+ a100= (2+ 100 3) ② 联 立 ① ② 得 a1 + a3 + … + a99 = 100 100 ?2- 3? -?2+ 3? . 2

(3)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+
a99)]· [(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]

=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98 -a99+a100) =(2- 3)100(2+ 3)100=1. (4)|a1|+|a2|+…+|a100|即(2+ 3x)100 展开式中各项 的系数和, ∴|a1|+|a2|+…+|a100|=(2+ 3)100.

【名师点评】 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式, 是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+ c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和, 常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+ by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和, 只需令x=y=1即可.

(2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 则 f(x)展开式 中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2 f?1?+f?-1? +a4+…= ,偶数项系数之和为 a1+a3 2 f?1?-f?-1? +a5+…= . 2

若 (1 - 2x)2010 = a0 + a1x + … + a1 a2 a2010 2010 a2010x (x∈R),则 + 2+…+ 2010的值为( ) 2 2 2 A.2 B.0 C.-1 D.-2 1 解析:选 C.依题意令 x= , 2 由(1-2x)2010=a0+a1x+…+a2010x2010(x∈R), 1 2010 a1 a2 a2010 得(1-2× ) =a0+ + 2+…+ 2010=0, 2 2 2 2 令 x=0,可得 a0=1, a1 a2 a2010 所以 + 2+…+ 2010=-1,答案选 C. 2 2 a 变式训练 2

二项式定理的综合应用

1.根据二项式系数的性质,n为奇数时中间两项
的二项式系数最大,n为偶数时中间一项的二项

式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大 项不同,求展开式中系数最大项的步骤是:先假 定第r+1项系数最大,则它比相邻两项的系数都 不小,列出不等式并解此不等式组求得.

2 n 已知 ( x- 2 ) (n ∈ N + )的展开式中第五项的 x 系数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; 3 (2)求展开式中含 x 的项; 2 (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
例3

【思路点拨】 (1)首先确定n,利用二项式的通 项和赋值法,①②不难解决. (2)展开式中二项式系数的最大项应是中间项,并 要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项;系数最 大项的系数,

应满足它不小于前一项的系数,也不小于后一项

的系数,若设第r+1项为展开式的系数最大项,
则应满足第r+1项的系数大于或等于第r项及第r+ 2项的系数.
4 【解】 由题意知,第五项系数为 C4 · ( - 2) ,第三 n 4 4 C · ? - 2 ? 10 n 2 2 项的系数为 Cn· (-2) ,则有 2 . 2= 1 Cn· ?-2? 化简得 n2-5n-24=0,

解得 n=8 或 n=-3(舍去).

(1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. 2 r r 8-r (2)通项公式 Tr+1=C8· ( x) · ( - 2) x r r 8-r =C8· (-2) · x -2r, 2 8-r 3 令 -2r= ,则 r=1, 2 2 3 3 故展开式中含 x 的项为 T2=-16x . 2 2 (3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的 系数绝对值分别为
r-1 r-1 r r r+1 r+1 C8 · 2 ,C8· 2 ,C8 · 2 ,

若 第 r + 1 项 的 系 数 绝 对 值 最 大 , 则 -1 r-1 r r ?Cr · 2 ≤ C 2, 8 8· ? r+1 r+1 解得 5≤r≤6. r r 2 ≤C8· 2, ?C8 · -11 又 T6 的系数为负, ∴系数最大的项为 T7=1792x . 由 n=8 知第 5 项二项式系数最大. 此时 T5=1120x-6.

【名师点评】

(1)求二项式系数最大项: n ①如果 n 是偶数,则中间一项(第( +1)项)的二 2 项式系数最大;

n+1 n+1 ②如果 n 是奇数,则中间两项[第 项与第( 2 2 +1)项]的二项式系数相等并最大. (2)求展开式系数最大项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的 展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设 展开式各项系数分别为 A1,A2,…,An+1,且第 r
?Ar≥Ar-1, 项系数最大,应用? 从而解出 r 来,即 ?Ar≥Ar+1,

得.

方法感悟 方法技巧
1.通项公式最常用,是解题的基础.(如例1) 2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的 特点,转化为二项式来解决,转化的方法通常为

集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合
理性和简捷性.(如课前热身2)

3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据
通项公式讨论对r的限制;求有理项时要注意到指 数及项数的整数性.(如例1,例3)

4.性质 1 是组合数公式

r n- r Cn=Cn 的再现,性质

2

是从函数的角度研究的二项式系数的单调性,性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系 数的和.(如例 2)
5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所

以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项
展开式各项系数和的一种重要方法.(如例2)

6.二项式定理体现了二项式的正整数次幂的展开
式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,

涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只
需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行 逐个分析,对于与组合数有关的和的问题,赋值 法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的 逆用.(如例2变式)

失误防范 1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇 (偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别 开来.

2.应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化,
学生易出错.

3.通项公式是第r+1项而不是第r项.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 二项式定理是每年高考必考的知识点之一,考查 重点是二项展开式中特定项及项的系数,题型为

选择题或填空题,分值在5分左右,属容易
题.在考查基本运算、基本概念的基础上重点考 查方程思想、等价转化思想. 预测2012年高考,求二项展开式的特定项和特定 项的系数仍然是考查重点,同时应注意二项式系

数性质的应用.

命题探源
1 6 例 (2010 年高考四川卷)(2- ) 展开式中的第 3 x 四项是______.

【解析】

3 T4=C3 · 2 (- 6

1 3 160 ) =- x . 3 x

160 【答案】 - x

【名师点评】

(1)本题易失误的是:①这类带有

减号的二项展开式最容易出现的问题就是忽视了 (-1)r这个因素,导致最后结果产生符号的差异, 出现错误.②用错通项公式,误认为T4中的r=4. (2)本题是课本习题的简单变化,如选修2 3第一 章§5.1的例4“求(x-2y)6展开式中的第4项”.

名师预测

1. 若(1+ 2)4=a+b 2(a、b 为有理数),则 a+b =( ) A.33 B.29 C.23 D.19

解析:选 B.∵(1+ 2)4=1+4 2+12+8 2+4= 17+12 2=a+b 2,又∵a,b 为有理数,∴a= 17,b=12.∴a+b=29.

2.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…
+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )

A.-2
C.1

B.-1
D.2

解析:选A.令x=-1,则原式化为
[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2 =a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11, ∴a0+a1+a2+…+a11=-2.

a9 3.若(x-x) 的展开式中 x3 的系数是-84,则 a= ________.
r 9-r -r r r r 9 解析:Tr+1=C9x x (-a) =(-a) C9x -2x

. 令 9-2r=3,得 r=3. ∴x3 的系数为-a3C3 9=-84. ∴a3=1,∴a=1.
答案:1

1 n 4.(2011 年南阳质检)若(x + 2) 的展开式中,仅第 x
3

六项系数最大, 则展开式中不含 x 的项为________.
解析:由题意知,展开式各项的系数即为各项的二 项式系数. 第六项系数最大,即第六项为中间项,故 n=10. r 3 10-r 1 r r 30-5r ∴通项为 Tr+1=C10· (x ) · ( 2) =C10· x .令 30- x 5r=0,得 r=6.∴常数项为
答案:210
6 T7=C10=210.

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