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9 第九讲 函数的分布


随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布律 X Pk

x1

x2 ? ? ? xk ? ? ?

p1

p2 ? ? ? pk ? ? ?

Y=g(X) g ( x1 ) g ( x2 ) ? ? ? g ( xk ) ? ? ? 或

>Y=g(X)~P{Y=g(xk)}=pk , k=1, 2, …
(其中g(xk)有相同的,其对应概率合并。)
1

二、连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法
若X?f(x), -?< x< +?, Y=g(X)为随机变量X 的函数,则可先求Y的分布函数

FY (y) =P{Y?y}=P {g(X) ?y}=
然后再求Y的密度函数

?

g ( x )? y

f ( x )dx

dFY ( y ) fY ( y ) ? dy 此法也叫“ 分布函数法 ”
2

例.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单减函数,求Y=g(X)的概率密度。 解:Y的分布函数为 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))

?Y的概率密度为
fY(y)=F?(g-1(y))=-fX(g-1(y)) d g-1(y)
dy

3

2、公式法一般地 若X~fX(x), y=g(x)是单调可导函数,则

Y ? g( X ) ~ fY ( y ) ? f X [h( y )] | h?( y ) |
其中h(y)为y=g(x)的反函数. 注:1 只有当g(x)是x的单调可导函数时,才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择
4

例 设X?U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)

y ?b 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) ? a
故 而 故
y?b 1 fY ( y ) ? f [ h( y )] | h?( y ) |? f X ( ) a a
?1 0 ? x ? 1 f X ( x) ? ? ?0 others
?1 ? fY ( y ) ? ? a ?0 ? y?b 0? ?1 a others

5

注3 若X~fX(x) ,y=g(x)关于X分段严格单调,且 在第i个单调区间上,反函数为hi(y),则Y=g(X) 的概率密度为

fY ( y ) ? ? f X [hi ( y )] | hi?( y ) |
i ?1

m

设随机变量X服从[0,2?]均匀分布, 求Y=sin(X)的概率密度。

6

第二章 阶段小结.
随机变量 随机变量函数的分布

离散型——分布律 归一性 分布函数与分布律的互变 概率计算

分布函数 归一性 概率计算 单调性

连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变

0-1分布 二项分布B(n,p) 泊松分布P( ) ?

正态分布的概率计算

均匀分布U(a,b) 2 正态分布N(a,? ) 指数分布E( ) ?
7

习题课

一、填空: 1.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,
随机变量Y服从参数(3,p)的二项分布,若 5 , 则P{Y≥1}= P{ X ? 1} ? 9 2.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随 机变量Y=X2在(0,4)内的密度函数为 fY(y)= 3.设随机变量X~N(2,σ 2),且P(2<X<4)=0.3, 则P(X<0)=
8

二. 一工人看管三台机床,在一小时内机床不 需要工人照管的概率为第一台等于0.9, 第二台 等于0.8, 第三台等于0.7,求在一小时内需要工 人照管的机床台数的概率分布
三、某射手对靶射击,单发命中概率都为0.6, 现他扔一个均匀的骰子,扔出几点就对靶独立射 击几发,求他恰好命中两发的概率。

9

四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的 等待时间X(分)的分布函数是,

?1 ? e?0.4 x F ( x) ? ? ? 0

x?0 x?0

求下列事件的概率: 等待时间(1)”至多3分钟”;(2)”3分钟至5分钟之间”

(3) “至多3分钟或至少5分钟”;
(4)在开始营业3分钟没有顾客的条件下,顾客在以后 的3分钟之内到达的概率.
10

五.设随机变量X的概率密度为 ? xe ? x x ? 0 f ( x) ? ? x?0 ?0 Y ? ( X ? 1)2 的分布函数. 求X的分布函数,且求
六.已知随机变量X的概率密度为
?2 ? (1 ? x ) ? 2 ? x ? 1 f ( x) ? ? 9 ? 0 others ?

求:Y=1-X2的概率密度
11


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