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《两角和与差的三角函数》导学案


《两角和与差的三角函数》导学案
姓名: 班级: 组别: 【学习目标】 1﹑公式的正用、逆用. 2﹑公式的变形应用. 3﹑利用公式化简、求值、证明等综合利用. 【重点难点】 ▲重点:公式的应用. ▲难点:公式的逆用与变形应用. 【知识链接】 组名:

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ?

tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 tan ? tan ?

【学习过程】 类型 1:两角和与差基本公式的应用(公式的正用) 例 1﹑ ①已知 cos ? ? ? , ? ? (

3 5

?
2

, ? ) ,求 sin(? ?

?
3

) 的值?

②已知 ?,? 为锐角, cos ? ?

1 11 (? ? ?) ? ? , cos ? 求的值 , cos 7 14

提示:公式的正用包括求值型、凑角型、求角型. 问题 1﹑在①中,sin ? ? ?

? ?

??

? ? ? 要求 sin(? ? ) 值,需求 sin ? 与 ? ? sin ? cos ? cos ? sin 3 3? 3 3,

cos ? 的值,请尝试解答①.

问题 2﹑先尝试直接解出第②问.

1

问题 3﹑你是否是按这样的思路完成的第②问? 由 cos(? ? ? ) 展开得
2 2

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

11 1 14 ,再根据 cos ? ? 得到 sin ? 的值, 7

再根据 sin ? ? cos ? ? 1 得到 cos ? 的值.这个过程很繁琐,我们一般不采纳,你有没有其 他的方法呢? (提示:将已知角 (? ? ? ) 尽量不拆开,尝试一下,利用已知角 (? ? ? ) 与 ? 配凑出角 ? ,你 会有更多的收获哦!)尝试写出本题的完整过程

类型 2: 两角和与差公式的应用(公式的逆用) 例 2﹑ ①求 sin 7? ? cos 37? ? sin 83? ? cos 53? 的值? ②求

1 ? cot15? 3 ? tan15? 的值。 ? 1 ? tan 75? 1 ? 3 tan15?

问题 1﹑在①中应尽量的先统一角再观察所求式,请尝试解答本问.

问题 2﹑第②问考察了正切公式的逆用,要注意特殊角以及“1”的转化,请尝试解答本问.

2

类型 3:和差公式的技巧运用 例 3﹑已知

?

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? 求 sin 2? 的值. 2 4 13 5

提示:可以用配凑的方法来达成角的统一,尽量将所求角转化为已知角来表示,例如:

? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? )
问题 1﹑将 cos(? ? ? ) , sin(? ? ? ) 直接展开,方便求解吗?尝试一下.

? 2 的 值 需 求 出 sin(? ? ? ) 与 cos(? ? ? ) 的 值 , 根 据 问 题 3 ﹑ 要 求 s i n
sin 2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) ? 1 可得 sin 2 (? ? ? ) ?
25 16 2 ,同理也可得 cos (? ? ? ) ? ,尝 169 25

试求出 sin(? ? ? ) 与 cos(? ? ? ) 的值(注意取正负的问题哦!)?写出本题完整的解答过程

例 4﹑在三角形 ABC 中, tan B+ tan C + 3tanBtanC ? 3 ,求角 A. 问题 1﹑本题可整理为 tan B ? tan C ? 3(1 ? tan B tan C) ,易得 tan A 的值.

问题 2﹑本题也可使用 tan B ? tan C ? tan( B ? C )(1 ? tan B tan C ) 代入已知式进行求解,尝 试一下. 【基础达标】

3

A1﹑已知 cos ? ? ?

12 3 ? , ? ? (? , ? ) ,求 cos(? ? ) 的值. 13 2 4

B2﹑已知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

7? 4 3 ) 的值. ,求 sin(? ? 6 5

C3﹑化简 【小结】

sin(2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) . sin ?

【当堂检测】 B1﹑已知 sin ? ? ?

2 3 3 3 , ? ? (? , ? ) , cos ? ? , ? ? ( ? , 2? ) ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 2 4 2

【课后反思】 本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是

4


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