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五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版


第十讲:数论之余数问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必 考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了! ” 余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理) , 及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨:

一、带余除法的定义及性质: 带余除法的定义及性质:
一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b≠0),若有 a÷b=q……r,也就是 a=b×q+r, 0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当 r = 0 时:我们称 a 可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当 r ≠ 0 时:我们称 a 不可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图,这是一堆书,共有 a 本,这个 a 就可以理解为被除数, 现在要求按照 b 本一捆打包,那么 b 就是除数的角色,经过打包后 共打包了 c 捆,那么这个 c 就是商,最后还剩余 d 本,这个 d 就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。 并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理: 三大余数定理:
1.余数的加法定理 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数。 例如:23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余数等 于 4,即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如:23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数,即 2. 2.余数的乘法定理 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数。 例如:23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。

例如:23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数,即 2. 3.同余定理 3.同余定理 若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。 同余式读作:a 同余于 b,模 m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论: 若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为:如果有 a≡b ( mod m ),那么一定有 a-b=mk,k 是整数,即 m|(a-b)

三、弃九法原理: 弃九法原理:
在公元前 9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》 ,他们在计算时通常是 在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验 方式是这样进行的: 例如:检验算式 1234 + 1898 + 18922 + 678967 + 178902 = 889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边 几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数 的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了,在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去,所以这种方 法被称作“弃九法” 。 所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被 9 除的余 数即可。 利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适 用 注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。 例如:检验算式 9+9=9 时,等式两边的除以 9 的余数都是 0,但是显然算式是错误的 但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往

往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理: 中国剩余定理:
1.中国古代趣题: 1.中国古代趣题: 中国古代趣题 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题: “今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩 三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰: “二十三。 ” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵” 。 韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列 余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人, 则兵有多少? 首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945(注:因为 5、9、13、17 为两两互质的整数,故其最 小公倍数为这些数的积) ,然后再加 3,得 9948(人) 。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来 说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。 中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法: 2.核心思想和方法: 核心思想和方法 对于这一类问题, 我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法, 下面我们就以 《孙子算经》 中的问题为例,分析此方法: 今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何? 题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先 构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数。 先由 5 × 7 = 35 ,即 5 和 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数 35 × 2 = 70 是否可以,很显然 70 除以 3 余 1 类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所求的自然数可以这样计 算:

2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 45 ± k[3,5, 7] = 233 ? k[3, 5, 7] ,其中 k 是从 1 开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所 求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” , 那么我们可以计算 2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 45 ? 2 × [3, 5, 7] = 23 得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上[3,5,7]即可,即 23+105=128。

例题精讲:

【模块一:带余除法的定义和性质】
【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数 a 去除 1992 ,得到商是 46,余数是 r ,求 a 和 r . 第五届小学数学报竞赛决赛) 46, 【解析】 因为 1992 是 a 的 46 倍还多 r ,得到 1992 ÷ 46 = 43......14 ,得 1992 = 46 × 43 + 14 ,所以 a = 43 ,
r = 14 .

清华附中小升初分班考试)甲 求甲、乙两数. 【巩固】 (清华附中小升初分班考试 甲、乙两数的和是 1088 ,甲数除以乙数商 11 余 32 ,求甲、乙两数. 清华附中小升初分班考试 【解析】 (法 1)因为 甲 = 乙 ×11 + 32 ,所以 甲 + 乙 = 乙 ×11 + 32 + 乙 = 乙 ×12 + 32 = 1088 ; 则乙 = (1088 ? 32) ÷ 12 = 88 ,甲 = 1088 ? 乙 = 1000 . (法 2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从 1088 中减掉 32 以后, 1056 就应当 是乙数的 (11 + 1) 倍,所以得到乙数 = 1056 ÷ 12 = 88 ,甲数 = 1088 ? 88 = 1000 . 【巩固】 一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数。 , ,求这样的两位数。 【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问 题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上 一个“除数与余数的差” ,也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而 273=3×7×13,所求的两位数约数还要满 足比 37 大,符合条件的有 39,91.

全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除, 已知被除数、 【例 2】 ( 2003 年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是 17 ,余数是 13 ,已知被除数、 】 除数、商与余数之和为 则被除数是多少 数是多少? 除数、商与余数之和为 2113 ,则被除数是多少? 【解析】 被除数 + 除数 + 商 + 余数 = 被除数 + 除数+17+13=2113,所以被除数 + 除数=2083,由于被除数是 除数的 17 倍还多 13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数 =2083-115=1968. 被除数、 【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为 40,余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933,求 用一个自然数去除另一个自然数, , 被除数 除数、 , 个自然数各是多少? 这 2 个自然数各是多少? 【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y,可以得到

? x = 40 y + 16 ? x = 856 ,解方程组得 ? ,即这两个自然数分别是 856,21. ? ? x + y + 40 + 16 = 933 ? y = 21

祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为 2001, 【例 3】 (2000 年 “ 祖冲之杯” 小学数学邀请赛试题 )三个不同的自然数的和为 2001 , 它们分别除以 19,23, 所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______ _______,_______。 _______, 19,23,31 所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______。 【解析】 设所得的商为 a ,除数为 b . (19a + b) + (23a + b) + (31a + b) = 2001 , 73a + 3b = 2001 ,由 b < 19 ,

可求得 a = 27 , b = 10 .所以,这三个数分别是 19a + b = 523 , 23a + b = 631 , 31a + b = 847 。

年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数 一个自然数, 【巩固】 (2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题 一个自然数,除以 11 时所得到的商和余数是相等 时所得到的商是余数的 这个自然数是_________. 的,除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍,这个自然数是 . 除以 9 余 b (0 ≤ b < 9) , 则有 11a + a = 9 × 3b + b , 3a = 7b , 即 【解析】 设这个自然数除以 11 余 a (0 ≤ a < 11) , 只有 a = 7 , b = 3 ,所以这个自然数为 12 × 7 = 84 。

年我爱数学少年数学夏令营试题) 本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多 【例 4】 (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题)有 48 本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多 5 有剩余; 书不够. 人.如果把书全部分给第一组,那么每人 4 本,有剩余;每人 5 本,书不够.如果把书全分给 如果把书全部分给第一组, 部分给第一组 第二组, 有剩余; 书不够. 第二组有多少人? 第二组,那么每人 3 本,有剩余;每人 4 本,书不够.问:第二组有多少人? 【解析】 由 48 ÷ 4 = 12 , 48 ÷ 5 = 9.6 知,一组是 10 或 11 人.同理可知 48 ÷ 3 = 16 , 48 ÷ 4 = 12 知,二组是 13、14 或 15 人,因为二组比一组多 5 人,所以二组只能是 15 人,一组 10 人.

【巩固】 一个两位数除以 13 的商是 6,除以 11 所得的余数是 6,求这个两位数. 一个两位数除以 , ,求这个两位数. 所以这个两位数一定大于 13 × 6 = 78 , 并且小于 13 × (6 + 1) = 91 ; 【解析】 因为一个两位数除以 13 的商是 6, 又因为这个两位数除以 11 余 6,而 78 除以 11 余 1,这个两位数为 78 + 5 = 83 .

【模块二:三大余数定理的应用】
的整数, 所得的余数相同,求这个数. 【例 5】 有一个大于 1 的整数,除 45,59,101 所得的余数相同,求这个数. 【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据 解析】 同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两 数差的公约数. 101 ? 45 = 56 , 59 ? 45 = 14 , (56,14) = 14 , 14 的约数有 1, 2, 7,14 ,所以这个数可 能为 2,7,14 。

有一个整数, 求这个数. 【巩固】 有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是 3,求这个数. 【解析】(法 1) 39 ? 3 = 36 ,147 ? 3 = 144 , (36,144) = 12 ,12 的约数是 1, 2,3, 4, 6,12 ,因为余数为 3 要小 解析】 于除数,这个数是 4,6,12 ; (法 2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是 任意两数差的公约数. 51 ? 39 = 12 ,147 ? 39 = 108 , (12,108) = 12 ,所以这个数是 4,6,12 .

的自然数中, 所得余数相同的数有多少个?( ?(余数可以为 【巩固】 在小于 1000 的自然数中,分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个?(余数可以为 0) 【解析】我们知道 18,33 的最小公倍数为[18,33]=198,所以每 198 个数一次. 解析】

1~198 之间只有 1,2,3,…,17,198(余 O)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同, 而 999÷198=5……9,所以共有 5×18+9=99 个这样的数.

年仁华考题) 都有余数, 【巩固】 (2008 年仁华考题)一个三位数除以 17 和 19 都有余数,并且除以 17 后所得的商与余数的和等于 后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少 最小数是多少 多少, 多少? 它除以 19 后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少? 它除以 17 和 19 的商分别为 a 和 b , 余数分别为 m 和 n , s = 17a + m = 19b + n . 则 【解析】设这个三位数为 s , 解析】 根据题意可知 a + m = b + n ,所以 s ? ( a + m ) = s ? ( b + n ) ,即 16a = 18b ,得 8a = 9b .所以 a 是 9
8 1 的倍数, b 是 8 的倍数.此时,由 a + m = b + n 知 n ? m = a ? b = a ? a = a . 9 9

由于 s 为三位数,最小为 100,最大为 999,所以 100 ≤ 17a + m ≤ 999 ,而 1 ≤ m ≤ 16 , 所以 17a + 1 ≤ 17a + m ≤ 999 , 100 ≤ 17 a + m ≤ 17a + 16 ,得到 5 ≤ a ≤ 58 ,而 a 是 9 的倍数,所以 a 最小为 9,最大为 54.
1 当 a = 54 时, n ? m = a = 6 ,而 n ≤ 18 ,所以 m ≤ 12 ,故此时 s 最大为 17 × 54 + 12 = 930 ; 9 1 当 a = 9 时, n ? m = a = 1 ,由于 m ≥ 1 ,所以此时 s 最小为 17 × 9 + 1 = 154 . 9

所以这样的三位数中最大的是 930,最小的是 154. 【例 6】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1,并且 a > b ,求 ab × ba . 即 ( ( 能被 7 整除. 所以只能有 a ? b = 7 , 那么 ab 【解析】 ab ? ba 能被 7 整除, (10a + b) ? 10b + a) = 9 × a ? b) 解析】 可能为 92 和 81,验算可得当 ab = 92 时, ba = 29 满足题目要求, ab × ba = 92 × 29 = 2668

个乒乓球, 个乒乓球网, 如果将这三种物品平分给每个班级, 【巩固】 学校新买来 118 个乒乓球, 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网, 67 如果将这三种物品平分给每个班级, 那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班? 那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?

【解析】所求班级数是除以 118, 67,33 余数相同的数.那么可知该数应该为 118 ? 67 = 51 和 67 ? 33 = 34 解析】 的公约数,所求答案为 17.

年全国小学数学奥林匹克试题) 13511, 时能剩下相同余数的最大整 剩下相同余数的最大整数 【巩固】 (2000 年全国小学数学奥林匹克试题)在除 13511,13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数 是_________. _________.

【解析】因为 13903 ? 13511 = 392 , 14589 ? 13903 = 686 , 解析】 由于 13511,13903,14589 要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数 整除. (392,686) = 98 ,所以所求的最大整数是 98.

年南京市少年数学智力冬令营试题) 的余数是________. ________ 【例 7】 (2003 年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是________. 【解析】找规律.用 7 除 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,…的余数分别是 2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2 解析】 的个数是 3 的倍数时,用 7 除的余数为 1;2 的个数是 3 的倍数多 1 时,用 7 除的余数为 2;2 的 个数是 3 的倍数多 2 时,用 7 除的余数为 4.因为 22003 = 23×667 + 2 ,所以 22003 除以 7 余 4.又两个数 的积除以 7 的余数,与两个数分别除以 7 所得余数的积相同.而 2003 除以 7 余 1,所以 20032 除 以 7 余 1.故 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 4 + 1 = 5 .

年南京市少年数学智力冬令营试题) 1995,1998 2000,2001, 98, 【巩固】 (2004 年南京市少年数学智力冬令营试题)在 1995,1998,2000,2001,2003 中,若其中几个数 则将这几个数归为一组.这样的数组共有______ ______组 的和被 9 除余 7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组. 【解析】1995,1998,2000,2001,2003 除以 9 的余数依次是 6,0,2,3,5. 解析】 因为 2 + 5 = 2 + 5 + 0 = 7 , 2 + 5 + 3 + 6 = 0 + 2 + 5 + 3 + 6 = 7 + 9 , 所以这样的数组共有下面 4 个: (2000,2003) , (1998,2000,2003) ,

(2000,2003,2001,1995)

, (1998,2000,2003,2001,1995) .

年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数, 70,110, 【例 8】 (2005 年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除 70,110,160 所得到的 3 个余数 50, 么这个整数是______ ______. 之和是 50,那么这个整数是______. 【解析】 (70 + 110 + 160) ? 50 = 290 , 50 ÷ 3 = 16......2 ,除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数,只可能 解析】 是 29 和 58, 110 ÷ 58 = 1......52 , 52 > 50 ,所以除数不是 58.
70 ÷ 29 = 2......12 , 110 ÷ 29 = 3......23 , 160 ÷ 29 = 5......15 , 12 + 23 + 15 = 50 ,所以除数是 29

年全国小学数学奥林匹克试题) 63,91, 【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数 n 去除 63,91,129 得到的三个余数之和为 25, n=________ 25,那么 n=________ 【解析】 n 能整除 63 + 91 + 129 ? 25 = 258 .因为 25 ÷ 3 = 8...1 ,所以 n 是 258 大于 8 的约数.显然,n 解析】 不 能大于 63.符合条件的只有 43.

个运动员进行乒乓球比赛, 【巩固】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101,126,173,193 除以 3 的余数分别为 2,0,2, 解析】 1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2,0,2,1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员 打 5 盘是最多的。

小学生数学报》数学邀请赛试题) 【例 9】 (2002 年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、 元钱,一起到新华书店购买 成语大词典》 新华书店购买《 .一看定价才发现有 个人带的钱不够, 26 元、37 元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》 一看定价才发现有 5 个人带的钱不够, . 但是其中甲、 丙 但是其中甲、 、 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本, 、 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本. 中甲 乙 丁 戊 这 种《成语大词典》的定价是________元. 成语大词典》的定价是________元 ________ 【解析】六名小学生共带钱 133 元.133 除以 3 余 1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本,所以 解析】 他们五人带的钱数是 3 的倍数,另一人带的钱除以 3 余 1.易知,这个钱数只能是 37 元,所以每 本《成语大词典》的定价是 (14 + 17 + 18 + 21 + 26) ÷ 3 = 32 (元) .

年全国小学数学奥林匹克试题 商店里有六箱货物, 学数学奥林匹克试题) 15,16,18,19,20, 千克, 【巩固】 (2000 年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重 15,16,18,19,20,31 千克, 两个顾客买走了其中的五箱. 那么商店剩下的 两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍,那么商店剩下的 走了其中的五箱 一箱货物重量是________千克. 一箱货物重量是________千克. ________千克 【解析】两个顾客买的货物重量是 3 的倍数. 解析】
(15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31) ÷ (1 + 2) = 119 ÷ 3 = 39...2 , 剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2, 只能是

20 千克. 10】 的余数. 【例 10】 求 2461 × 135 × 6047 ÷ 11 的余数. 【解析】因为 2461 ÷ 11 = 223...8 , 135 ÷ 11 = 12...3 , 6047 ÷ 11 = 549...8 ,根据同余定理(三), 解析】
2461 × 135 × 6047 ÷ 11 的余数等于 8 × 3 × 8 ÷ 11 的余数,而 8 × 3 × 8 = 192 , 192 ÷ 11 = 17...5 ,所以 2461 × 135 × 6047 ÷ 11 的余数为 5.

的余数. 【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求 478 × 296 × 351 除以 17 的余数. 华罗庚金杯赛模拟试题) 赛模拟试题 【解析】 先求出乘积再求余数,计算量较大.可先分别计算出各因数除以 17 的余数,再求余数之积除 解析】 以 17 的余数. 478, 296,351 除以 17 的余数分别为 2,7 和 11, (2 × 7 × 11) ÷ 17 = 9......1 .

的最后两位数. 【巩固】 求 31997 的最后两位数. 【解析】即考虑 31997 除以 100 的余数.由于 100 = 4 × 25 ,由于 33 = 27 除以 25 余 2,所以 39 除以 25 余 8, 解析】
310 除以 25 余 24,那么 320 除以 25 余 1;又因为 32 除以 4 余 1,则 320 除以 4 余 1;即 320 ? 1 能被 4

和 25 整除,而 4 与 25 互质,所以 320 ? 1 能被 100 整除,即 320 除以 100 余 1,由于
1997 = 20 × 99 + 17 ,所以 31997 除以 100 的余数即等于 317 除以 100 的余数,而 36 = 729 除以 100 余

29, 35 = 243 除以 100 余 43, 317 = (36 ) 2 × 35 ,所以 317 除以 100 的余数等于 29 × 29 × 43 除以 100 的余数,而 29 × 29 × 43 = 36163 除以 100 余 63,所以 31997 除以 100 余 63,即 31997 的最后两位数为 63.

所得余数是_____. 【巩固】 222 L 2 除以 13 所得余数是_____. 1 23 4 4
2000 个"2"

【解析】我们发现 222222 整除 13,2000÷6 余 2,所以答案为 22÷13 余 9。 解析】

的余数. 【巩固】 求 14389 除以 7 的余数. 【解析】法一: 解析】 由于 143 ≡ 3 ( mod 7 ) (143 被 7 除余 3), 所以 14389 ≡ 389 ( mod 7 ) ( 14389 被 7 除所得余数与 389 被 7 除所得余数相等) , 而 36 = 729 , 729 ≡ 1( mod 7 ) (729 除以 7 的余数为 1) 所以 389 ≡ 36 × 36244 6 × 35 ≡ 35 ≡ 5 ( mod 7 ) . 3 14 × L ×3 4
14 个

故 14389 除以 7 的余数为 5. 法二: 计算 389 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:
31
mod 7 3

32
2

33
6

34
4

35
5

36
1

37
3

L L

于是余数以 6 为周期变化.所以 389 ≡ 35 ≡ 5 ( mod 7 ) .

年实验中学考题) 的余数是多少? 【巩固】 (2007 年实验中学考题) 12 + 22 + 32 + L + 20012 + 2002 除以 7 的余数是多少? 【解析】由于 12 + 22 + 32 + L + 20012 + 20022 = 解析】
2002 × 2003 × 4005 = 1001 × 2003 × 1335 , 1001 是 7 的倍数, 而 6

所以这个乘积也是 7 的倍数,故 12 + 22 + 32 + L + 20012 + 20022 除以 7 的余数是 0; 除所得的余数是多少? 【巩固】 ( 3130 + 3031 ) 被 13 除所得的余数是多少? 【解析】31 被 13 除所得的余数为 5,当 n 取 1,2,3, L 时 5n 被 13 除所得余数分别是 5,12,8,1,5, 解析】 12, 1 L 以 4 为周期循环出现, 8, 所以 530 被 13 除的余数与 52 被 13 除的余数相同, 12, 3130 余 则 除以 13 的余数为 12; 30 被 13 除所得的余数是 4,当 n 取 1,2,3,L 时, 4n 被 13 除所得的余数分别是 4,3,12,9, 10,1,4,3,12,9,10, LL 以 6 为周期循环出现,所以 431 被 13 除所得的余数等于 41 被 13 除所得的余数,即 4,故 3031 除以 13 的余数为 4; 所以 ( 3130 + 3031 ) 被 13 除所得的余数是 12 + 4 ? 13 = 3 .

年奥数网杯) 所得的余数是多少? 【巩固】 (2008 年奥数网杯)已知 a = 20082008L 2008 ,问: a 除以 13 所得的余数是多少? 144 2444 4 3
2008 个 2008

【解析】2008 除以 13 余 6,10000 除以 13 余 3,注意到 20082008 = 2008 × 10000 + 2008 ; 解析】
200820082008 = 20082008 × 10000 + 2008 ; 2008200820082008 = 200820082008 × 10000 + 2008 ;

LL

根据这样的递推规律求出余数的变化规律: 20082008 除以 13 余 6 × 3 + 6 ? 13 = 11 , 200820082008 除以 13 余 11 × 3 + 6 ? 39 = 0 , 200820082008 即 是 13 的倍数. 而 2008 除以 3 余 1,所以 a = 20082008L 2008 除以 13 的余数与 2008 除以 13 的余数相同,为 6. 144 2444 4 3
2008 个 2008

的余数是多少 多少? 【巩固】 77724 除以 41 的余数是多少? 1 ???3 4 77
1996 个 7

【解析】找规律: 7 ÷ 41 = □ ? ? ? 7 , 77 ÷ 41 = □ ? ? ? 36 , 777 ÷ 41 = □ ? ? ? 39 , 7777 ÷ 41 = □ ? ? ? 28 , 解析】
77777 ÷ 41 = □ ? ? ? 0 ,……,所以 77777 是 41 的倍数,而 1996 ÷ 5 = 399L1 ,所以 77724 可以分 1 ???3 4 77
1996 个 7

成 399 段 77777 和 1 个 7 组成,那么它除以 41 的余数为 7.

所得的余数为多少? 【巩固】 11 + 22 + 33 + 44 + LL + 20052005 除以 10 所得的余数为多少?

【解析】求结果除以 10 的余数即求其个位数字.从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的, 解析】 而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是 4 个一循环的,因此把所有加数的个位数按每 20 个(20 是 4 和 10 的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的. 首先计算 11 + 22 + 33 + 44 + LL + 2020 的个位数字, 为 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0 + 1 + 6 + 3 + 6 + 5 + 6 + 7 + 4 + 9 + 0 = 94 的个位数字,为 4, 由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数,100 组的个位数字和是 4 × 100 = 400 的个位数即 0, 另 外 5 个 数 为 20012001 、 20022002 、 20032003 、 20042004 、 20052005 , 它 们 和 的 个 位 数 字 是
1 + 4 + 7 + 6 + 5 = 23 的个位数 3,所以原式的个位数字是 3,即除以 10 的余数是 3.
11】 也是质数. 【例 11】 求所有的质数 P,使得 4 p 2 + 1 与 6 p 2 + 1 也是质数.

【解析】如果 p = 5 ,则 4 p 2 + 1 = 101 , 6 p 2 + 1 = 151 都是质数,所以 5 符合题意.如果 P 不等于 5,那么 P 解析】 除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4, p 2 除以 5 的余数即等于 12 、 22 、 32 或者 42 除以 5 的余数,即 1、4、9 或者 16 除以 5 的余数,只有 1 和 4 两种情况.如果 p 2 除以 5 的余数为 1,那么 4 p 2 + 1 除

以 5 的余数等于 4 × 1 + 1 = 5 除以 5 的余数,为 0,即此时 4 p 2 + 1 被 5 整除,而 4 p 2 + 1 大于 5,所 如果 p 2 除以 5 的余数为 4, 同理可知 6 p 2 + 1 不是质数, 所以 P 不等于 5, 以此时 4 p 2 + 1 不是质数;
4 p 2 + 1 与 6 p 2 + 1 至少有一个不是质数,所以只有 p = 5 满足条件.

在图表的第二行中, 这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上 89~98 这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所
得的余数都是 3.

因数 因数

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

【解析】 因为两个数的乘积除以 11 的余数,等于 解析】

两个数分别除以 11 的余数之积.因此原题中的 89~98 可以改换为 1~10 ,这样上下两数的乘积除以 11 余 3 就容易计算了.我们得到下面的结果: 因数 进而得到本题的答案是: 因数 因 数 因 数 89 3 89 91 90 7 90 95 91 1 91 89 92 9 92 97 93 5 93 93 94 6 94 94 95 2 95 90 96 10 96 98 97 4 97 92 98 8 98 96

试题) 【巩固】 (2000 年 华杯赛” “华杯赛” 试题)3 个三位数乘积的算式 abc × bca × cab = 234235286 (其中 a > b > c ), 在 校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误, 是正确的, 校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位 6 是正确的,问原式中的 abc 是 多少? 多少?

【解析】由 于 234235286 ≡ 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 5 + 2 + 8 + 6 ≡ 8(mod 9) , abc × bca × cab ≡ (a + b + c)3 (mod 9) , 解析】 于是 (a + b + c)3 ≡ 8(mod 9) ,从而(用 a + b + c ≡ 0,1, 2,...,8(mod 9) 代入上式检验)
a + b + c ≡ 2,5,8(mod 9) …(1),对 a 进行讨论:

如果 a = 9 ,那么 b + c ≡ 2,5,8(mod 9) …(2),又 c × a × b 的个位数字是 6,所以 b × c 的个位数字为 4, b × c 可能为 4 × 1 、 7 × 2 、 8 × 3 、 6 × 4 ,其中只有 (b, c) = (4,1),(8,3) 符合(2),经检验只有
983 × 839 × 398 = 328245326 符合题意.

如果 a = 8 , 那么 b + c ≡ 3, 6, 0(mod 9) …(3), b × c 的个位数字为 2 或 7, b × c 可能为 2 × 1 、 × 3 、 又 则 4
6 × 2 、 7 × 6 、 7 × 1 ,其中只有 (b, c) = (2,1) 符合(3),经检验, abc = 821 不合题意.

如果 a = 7 , 那么 b + c ≡ 4, 7,1(mod 9) …(4), b × c 可能为 4 × 2 、6 × 3 , 则 其中没有符合(4)的 (b, c) . 如果 a ≤ 6 ,那么 b ≤ 5 , c ≤ 4 , abc × bca × cab < 700 × 600 × 500 = 210000000 < 222334586 ,因此 这时 abc 不可能符合题意.综上所述, abc = 983 是本题唯一的解.

12】 290, 235, 则这个自然数是多少? 【例 12】 一个大于 1 的数去除 290, , 235 200 时, 得余数分别为 a ,a + 2 ,a + 5 , 则这个自然数是多少? . 【解析】根据题意可知,这个自然数去除 290,233,195 时,得到相同的余数(都为 a ) 解析】 既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0.那么这个 自然数是 290 ? 233 = 57 的约数,又是 233 ? 195 = 38 的约数,因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1,而这个数大于 1,所以这个自然数是 19.

90、 【巩固】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余 数,则这个自然数是多少? 则这个自然数是多少? 【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 + 164 = 254 后所得的余 解析】 数, 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同, 因此这个自然数是 254 ? 220 = 34 的约数, 又大于 10,这个自然数只能是 17 或者是 34.如果这个数是 34,那么它去除 90、164、220 后所 得的余数分别是 22、28、16,不符合题目条件;如果这个数是 17,那么他去除 90、164、220 后 所得的余数分别是 5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是 17.

【例 13】 甲、乙、丙三数分别为 603,939,393.某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍, A 13】 603,939,393. 除丙数所得余数的 等于多少? 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍.求 A 等于多少? 【解析】根据题意,这三个数除以 A 都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表示出来: 解析】
603 ÷ A = K1 LL r1 939 ÷ A = K 2 LL r2 393 ÷ A = K 3 LL r3

由于 r1 = 2r2 , r2 = 2r3 ,要消去余数 r1 , r2 , r3 ,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减. 这样我们先把第二个式子乘以 2,使得被除数和余数都扩大 2 倍,同理,第三个式子乘以 4. 于是我们可以得到下面的式子: 603 ÷ A = K1 LL r1

( 939 × 2 ) ÷ A = 2 K 2 LL 2r2

最后两两相减消去余数, 意味着能被 A 整除. ( 393 × 4 ) ÷ A = 2K 3 LL 4r3 这样余数就处理成相同的.
939 × 2 ? 603 = 1275 , 393 × 4 ? 603 = 969 , (1275,969 ) = 51 = 3 × 17 .

51 的约数有 1、3、17、51,其中 1、3 显然不满足,检验 17 和 51 可知 17 满足,所以 A 等于 17. 429、791、 的值. 【巩固】 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a + 5 、 2a 、 a ,求这个自然数和 a 的值. 【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a 的数: ( 429 ? 5 ) × 2 = 848 , 791 、 500 × 2 = 1000 ,这样 解析】 这些数被这个自然数除所得的余数都是 2a ,故同余. 将这三个数相减, 得到 848 ? 791 = 57 、1000 ? 848 = 152 , 所求的自然数一定是 57 和 152 的公约数, 而 ( 57,152 ) = 19 ,所以这个自然数是 19 的约数,显然 1 是不符合条件的,那么只能是 19.经过验 证,当这个自然数是 19 时,除 429 、 791 、 500 所得的余数分别为 11 、 12 、 6 , a = 6 时成立,所

以这个自然数是 19 , a = 6 .

【模块三:余数综合应用】
14】 著名的裴波那契数列是这样的: 13、21…… ……这串数列当中第 【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的:1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第 2008 个数除以 所得的余数为多少? 3 所得的余数为多少? 【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以根据余数 解析】 定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列: 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…… 第九项和第十项连续两个是 1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现,由于 2008 除以 8 的余数为 0,所以第 2008 项被 3 除所得的 余数为第 8 项被 3 除所得的余数,为 0.

年走美初赛六年级)有一串数: ……,从第三个数起, 【巩固】 (2009 年走美初赛六年级)有一串数:1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是 前两个数之和, 个数中, 的倍数? 前两个数之和,在这串数的前 2009 个数中,有几个是 5 的倍数? 【解析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数. 解析】 所以这串数除以 5 的余数分别为:1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4, 1,0,1,1,2,3,0,……可以发现这串余数中,每 20 个数为一个循环,且一个循环中,每 5 个数中第五个数是 5 的倍数. 由于 2009 ÷ 5 = 401L 4 , 所以前 2009 个数中, 401 个是 5 的倍数. 有

15】 圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数, 的余数. 【例 15】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数, 并且求出了它分别除以 3、 和 9 的余数. 6 现 知这三余数的和是 15.试求该数除以 18 的余数. 这三余数的和是 15.试求该数除以 的余数. 【解析】除以 3、6 和 9 的余数分别不超过 2,5,8,所以这三个余数的和永远不超过 2 + 5 + 8 = 15 , 解析】 既然它们的和等于 15,所以这三个余数分别就是 2,5,8.所以该数加 1 后能被 3,6,9 整除, 而 [3,6,9] = 18 ,设该数为 a ,则 a = 18m ? 1 ,即 a = 18(m ? 1) + 17 ( m 为非零自然数) ,所以它除 以 18 的余数只能为 17. 【巩固】 (2005 年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人 年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、 妹四人, 的整数倍,每人的岁数都是一个质数, 100, 亲岁数最大, 的岁数之和都是 3 的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是 100,父亲岁数最大, 问:母亲是多少岁? 母亲是多少岁? 100 就知四个岁数都是 3k + 1 型的数, 又是质数. 只 【解析】从任意三人岁数之和是 3 的倍数, 除以 3 余 1, 解析】 有 7,13,19,31,37,43,就容易看出:父 43 岁,母 37 岁,兄 13 岁,妹 7 岁.

16】 华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔( 【例 16】 (华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个),小明像玩跳棋

B

A

那样, 出发沿着 时针方向,每隔几孔跳一步, 沿着逆 他先试着 那样,从 A 孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到 A 孔.他先试着 孔跳一步, 他又试着每隔 孔跳一步, 每隔 2 孔跳一步,结果只能跳到 B 孔.他又试着每隔 4 孔跳一步,也只能跳到 B 孔.最后他每 孔跳一步,正好跳回到 你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 隔 6 孔跳一步,正好跳回到 A 孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号:A 孔编号为 1,然后沿逆时针方向顺次编号 解析】 为 2,3,4,…,B 孔的编号就是圆圈上的孔数. 我们先看每隔 2 孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在 1,4,7,10,…上,也就是说, 小明跳到的孔上的编号是 3 的倍数加 1.按题意,小明最后跳到 B 孔,因此总孔数是 3 的倍数加 1. 同样道理,每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔,就意味着总孔数是 5 的倍数加 1;而每隔 6 孔跳一步 最后跳回到 A 孔,就意味着总孔数是 7 的倍数. 如果将孔数减 1,那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数,因而是 15 的倍数.这个 15 的倍数加上 1 就等于孔数,设孔数为 a ,则 a = 15m + 1 ( m 为非零自然数)而且 a 能被 7 整除.注意 15 被 7 除余 1,所以 15 × 6 被 7 除余 6,15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除.我们还可以看出,15 的其他(小于 的 7)倍数加 1 都不能被 7 整除,而 15 × 7 = 105 已经大于 100.7 以上的倍数都不必考虑,因此, 总孔数只能是 15 × 6 + 1 = 91 .

年全国小学数学奥林匹克试题) 个数字, 【巩固】 (1997 年全国小学数学奥林匹克试题)将 12345678910111213...... 依次写到第 1997 个数字, 组成一 ________. 个 1997 位数,那么此数除以 9 的余数是 ________. 【解析】本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么,再对数字求和. 解析】
1~9 共有 9 个数字, 10~99 共有 90 个两位数,共有数字: 90 × 2 = 180 (个), 100~999 共 900

个三位数,共有数字: 900 × 3 = 2700 (个),所以数连续写,不会写到 999,从 100 开始是 3 位数, 每三个数字表示一个数, (1997 ? 9 ? 180) ÷ 3 = 602......2 ,即有 602 个三位数,第 603 个三位数只 写了它的百位和十位.从 100 开始的第 602 个三位数是 701,第 603 个三位数是 9,其中 2 未写 出来.因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除,所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除,702 个 数能分成的组数是: 702 ÷ 9 = 78 (组),依次排列后,它仍然能被 9 整除,但 702 中 2 未写出来, 所以余数为 9-2 = 7 .
17】 是质数,证明: 除所得的余数各不相同. 【例 17】 设 2n + 1 是质数,证明: 12 , 22 ,…, n 2 被 2n + 1 除所得的余数各不相同.

【解析】假设有两个数 a 、 b ,( 1 ≤ b < a ≤ n ),它们的平方 a 2 , b 2 被 2n + 1 除余数相同.那么,由 解析】 同余定理得 a 2 ? b 2 ≡ 0(mod(2n + 1)) ,即 (a ? b)(a + b) ≡ 0(mod(2n + 1)) ,由于 2n + 1 是质数,所以
a + b ≡ 0(mod(2n + 1)) 或 a ? b ≡ 0(mod(2n + 1)) , 由于 a + b , ? b 均小于 2n + 1 且大于 0, a 可知, + b a

与 2n + 1 互质, a ? b 也与 2n + 1 互质,即 a + b , a ? b 都不能被 2n + 1 整除,产生矛盾,所以假设 不成立,原题得证.

100, 的和. 【巩固】 试求不大于 100,且使 3n + 7n + 4 能被 11 整除的所有自然数 n 的和. 【解析】通过逐次计算,可以求出 3n 被 11 除的余数, 解析】 依次为: 31 为 3, 32 为 9, 33 为 5, 34 为 4, 35 为 1,…, 因而 3n 被 11 除的余数 5 个构成一个周期:3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,……;类似地, 可以求出 7 n 被 11 除的余数 10 个构成一个周期:7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,……; 于是 3n + 7n + 4 被 11 除的余数也是 10 个构成一个周期:3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,……; 这就表明,每一个周期中,只有第 3、4、6 个这三个数满足题意, 即 n = 3, 4, 6,13,14,16,......,93,94,96 时 3n + 7n + 4 能被 11 整除,所以, 所有满足条件的自然数 n 的和为:
3 + 4 + 6 + 13 + 14 + 16 + ... + 93 + 94 + 96 = 13 + 43 + ... + 283 = 1480 .

为自然数, 【巩固】 若 a 为自然数,证明 10 (a 2005 ? a1949 ) . 【解析】 10 = 2 × 5 ,由于 a 2005 与 a1949 的奇偶性相同,所以 2 (a 2005 ? a1949 ) . 解析】
a 2005 ? a1949 = a1949 ( a56 ? 1) ,如果 a 能被 5 整除,那么 5 a1949 (a 56 ? 1) ;如果 a 不能被 5 整除,那么 a

被 5 除的余数为 1、2、3 或者 4, a 4 被 5 除的余数为 14 、 24 、 34 、 44 被 5 除的余数,即为 1、 16、 81、256 被 5 除的余数,而这四个数除以 5 均余 1,所以不管 a 为多少,a 4 被 5 除的余数为 1, 而 a 56 = ( a 4 )14 , 14 个 a 4 相乘, 即 所以 a 56 除以 5 均余 1, a 56 ? 1 能被 5 整除, 5 a1949 (a 56 ? 1) . 则 有 所 以 5 (a 2005 ? a1949 ) . 由于 2 与 5 互质,所以 10 (a 2005 ? a1949 ) .

18】 为正整数, 的最小值. 【例 18】 设 n 为正整数, k = 2004n ,k 被 7 除余数为 2,k 被 11 除余数为 3,求 n 的最小值. 【解析】2004 被 7 除余数为 2,被 11 除余数也为 2,所以 2n 被 7 除余数为 2,被 11 除余数为 3. 解析】 由于 21 = 2 被 7 除余 2,而 23 = 8 被 7 除余 1,所以 n 除以 3 的余数为 1; 由于 28 = 256 被 11 除余 3, 210 = 1024 被 11 除余 1,所以 n 除以 10 的余数为 8. 可见 n + 2 是 3 和 10 的公倍数,最小为 [3,10] = 30 ,所以 n 的最小值为 28.

【巩固】 有三个连续自然数,其中最小的能被 15 整除,中间的能被 17 整除,最大的能被 19 整除,请写 有三个连续自然数, 整除, 整除, 整除, 出一组这样的三个连续自然数. 出一组这样的三个连续自然数.

【解析】设三个连续自然数中最小的一个为 n,则其余两个自然数分别为 n + 1 , n + 2 . 解析】 依题意可知: 15 | n , 17 | ( n + 1) , 19 | ( n + 2 ) ,根据整除的性质对这三个算式进行变换:
15 | n → 15 | 2n →15 | ( 2n ? 15 ) ? ? 17 | ( n + 1) →17 | ( 2n + 2 ) →17 | ( 2n ? 15) ? ? [15,17,19] | ( 2n ? 15 ) 19 | ( n + 2 ) →19 | ( 2n + 4 ) →19 | ( 2n ? 15 ) ? ?

从上面可以发现 2n ? 15 应为 15、17、19 的公倍数. 由于 [15,17,19] = 4845 ,所以 2n ? 15 = 4845 ( 2k ? 1) (因为 2n ? 15 是奇数),可得 n = 4845k ? 2415 . 当 k = 1 时 n = 2430 , n + 1 = 2431 , n + 2 = 2432 ,所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432.

19】 年西城实验考题) ……, 个数, 【例 19】 (2008 年西城实验考题)从 1,2,3,……,n 中,任取 57 个数,使这 57 个数必有两个数的差 13, 的最大值为多少 多少? 为 13,则 n 的最大值为多少? 【解析】被 13 除的同余序列当中,如余 1 的同余序列,1、14、27、40、53、66……,其中只要取到两个 解析】 相邻的,这两个数的差为 13;如果没有两个相邻的数,则没有两个数的差为 13,不同的同余序
?x? 列当中不可能有两个数的差为 13,对于任意一条长度为 x 的序列,都最多能取 x ? ? ? 个数,使 ?2?

得取出的数中没有两个数的差为 13,即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个.
?n? ?n? 基于以上,n 个数分成 13 个序列,每条序列的长度为 ? ? 或 ? ? + 1 ,两个长度差为 1 的序列, ?13 ? ?13 ?

要使取出的数中没有两个数的差为 13,能够被取得的数的个数之差也不会超过 1,所以为使 57 个数中任意两个数的差都不等于 13,则这 57 个数被分配在 13 条序列中,在每条序列被分配的数 的个数差不会超过 1,那么 13 个序列有 8 个序列分配了 4 个数,5 个序列分配了 5 个数,则这 13 个序列中 8 个长度为 8,5 个长度为 9,那么当 n 最小为 8 × 8 + 9 × 5 = 109 时,可以取出 57 个数, 其中任两个数的差不为 13,所以要使任取 57 个数必有两个数的差为 13,那么 n 的最大值为 108.

个不同的数, 整除. 【巩固】 从 1,2,3,4,…,2007 中取 N 个不同的数,取出的数中任意三个的和能被 15 整除.N 最大为 多少? 多少? 【解析】取出的 N 个不同的数中,任意三个的和能被 15 整除,则其中任意两个数除以 15 的余数相同,且 解析】 这个余数的 3 倍能被 15 整除,所以这个余数只能是 0,5 或者 10.在 1 2007 中,除以 15 的余 数为 0 的有 15 × 1 , × 2 , 15 × 133 , 15 …, 共有 133 个; 除以 15 的余数为 5 的有 15 × 0 + 5 , × 1 + 5 , 15 …,
15 × 133 + 5 ,共有 134 个;除以 15 的余数为 10 的有 15 × 0 + 10 , 15 × 1 + 10 ,…, 15 × 133 + 10 ,

共有 134 个.所以 N 最大为 134. 20】 ……依次写下去, 依次写下去 2000, 那么这个自 这个自然 【例 20】 将自然数 1,2,3,4……依次写下去,若最终写到 2000,成为 123L19992000 ,那么这个自然 余几? 数除以 99 余几?

【解析】由于 99 = 9 × 11 ,可以分别求这个数除以 9 和 11 的余数,进而求出它除以 99 的余数.实际上求 解析】 得这个数除以 9 和 11 的余数均为 3, 所以这个数减去 3 后是 9 和 11 的倍数, 那么也是 99 的倍数, 所以这个数除以 99 的余数为 3. 下面介绍另一种解法. 下面介绍另一种解法. 由于 100a = 99a + a , 所以 100a 除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数. 同样, 10000a , 1000000a …… 等数除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数.可知,一个自然数 a ,如果在它后面加上偶数个 0, 那么这个数除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数. 根据这一点,可以把 123L19992000 分成若干个后面带有偶数个 0 的数之和. 由于 123L19992000 的位数是奇数,那么对于组成 123L19992000 的一位数 1,2,3,……,9, 可以分成 100L 00 , 2300L 00 , 4500L 00 , 6700L 00 , 8900L 00 ; 对于其中的两位数 10,11,12,……,98, 99,可以分成 1000L 00 ,1100L 00 ,1200L 00 ,……,
9800L 00 , 9900L 00 ;

对于其中的三位数 100,101,102,103,……,998,999,两两一组,可以分成 10010100L 00 ,
10210300L 00 , 10410500L 00 ,……, 99899900L 00 ;

对于其中的四位数 1000,1001,……,1999,2000,可以分成 100000L 00 , 100100L 00 ,
100200L 00 ,……, 19990000 ,2000.

那么上面分成的所有数中,虽然每个数后面的 0 的个数互不相同,但都是偶数个,且它们的和恰 好为 123L19992000 , 那么 123L19992000 除以 99 的余数就等于分成的这些数除以 99 的余数的和. 由于这些数除以 99 的余数分别为 1, 23, 45, 67, 89; 10, 11, 12, ……, 98, 99; 100101, 102103, 104105,……,998999;1000,1001,……,1999,2000,而其中 100101,102103,104105,……, 998999 是公差为 2002 的等差数列,共 450 项,可知所有这些余数的和为:

(1 + 23 + 45 + 67 + 89 ) + (10 + 11 + 12 + L + 99 ) + (100101 + 102103 + L + 998999 )
+ (1000 + 1001 + L + 2000 ) = 225 + (10 + 99 ) × 90 ÷ 2 + (100101 + 998999 ) × 450 ÷ 2 + (1000 + 2000 ) × 1001 ÷ 2 = 225 + 4905 + 247297500 + 1501500 = 248804130 ,

而 248804130 除以 99 的余数等于 2 + 48 + 80 + 41 + 30 = 201 除以 99 的余数,为 3. 所以 123L19992000 除以 99 的余数为 3. 个自然数,按从小到大的次序依次写出 得一个多位数: 【巩固】 将 1 至 2008 这 2008 个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数: 20072008, 的余数. 12345678910111213 L 20072008,试求这个多位数除以 9 的余数.

【解析】以 19992000 这个八位数为例,它被 9 除的余数等于 (1 + 9 + 9 + 9 + 2 + 0 + 0 + 0 ) 被 9 除的余数,但 解析】 是由于 1999 与 (1 + 9 + 9 + 9 ) 被 9 除的余数相同,2000 与 ( 2 + 0 + 0 + 0 ) 被 9 除的余数相同,所以 19992000 就与 (1999 + 2000 ) 被 9 除的余数相同. 由此可得,从 1 开始的自然数 12345678910111213 L 20072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数 之和除以 9 的余数相同. 根据等差数列求和公式,这个和为:

(1 + 2008) × 2008 = 2017036 ,它被 9 除的余数为 1.
2

另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质,将原多位数分成 123456789, 101112131415161718,……,199920002001200220032004200520062007,2008 等数,可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同. 因此,此数被 9 除的余数为 1. 【例 21】 (2008 年清华附中考题)已知 n 是正整数,规定 n ! = 1 × 2 × L × n , 21】 年清华附中考题) 是正整数, 的余数为多少 多少? 令 m = 1!× 1 + 2!× 2 + 3!× 3 + L + 2007!× 2007 ,则整数 m 除以 2008 的余数为多少? 【解析】 m = 1!× 1 + 2!× 2 + 3!× 3 + LL + 2007!× 2007 解析】
= 1!× 2 ? 1 + 2!× 3 ? 1 + 3!× 4 ? 1 + LL + 2007!× 2008 ? 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = 2!? 1!+ 3!? 2!+ 4!? 3!+ LL + 2008!? 2007! = 2008!? 1

2008 能够整除 2008! ,所以 2008!? 1 的余数是 2007.

的末三位数是多少? 【巩固】 1 × 3 × 5 × L × 1991 的末三位数是多少?

【解析】首先,仅考虑后三位数字,所求的数目相当于 1 × 3 × 5 × L × 991 的平方再乘以 993 × 995 × 997 × 999 解析】 的末三位. 而 993 × 995 × 997 × 999 = 993 × 999 × 995 × 997
= ( 993000 ? 993) × ( 995000 ? 995 × 3) = ( 993000 ? 993) × ( 995000 ? 2985 ) ,

其末三位为 7 × 15 = 105 ; 然后来看前者.它是一个奇数的平方,设其为 ( 5k )
2
2

(k 为奇数),

由于 ( 5k ) = 25k 2 = 25 + 25 ( k 2 ? 1) , 而奇数的平方除以 8 余 1, 所以 k 2 ? 1 是 8 的倍数, 25 ( k 2 ? 1) 则 是 200 的倍数,设 25 ( k 2 ? 1) = 200m ,则 ( 5k ) = 25 + 25 ( k 2 ? 1) = 25 + 200m ,所以它与 105 的乘
2

积 ( 5k ) × 105 = ( 25 + 200m ) × 105 = 21000m + 2625 ,
2

所以不论 m 的值是多少,所求的末三位都是 625. 22】 个三位数相乘的积是一个五位数, 1031, 10, 【例 22】 有 2 个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是 1031,第一个数各个位的数字之和是 10, 求两个三位数的和。 第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和。 【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和,同时发现乘积的一部分已经给出,即乘积的一部分数字 解析】 之和已经给出,我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算 式,所以一定可以满足弃九法的条件,两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8,所以等式一边除 以 9 的余数为 8,那么□1031 除以 9 的余数也必须为 8,□只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅 有一种情况可以满足是两个三位数的乘积, 即 31031 = 31× 1001 = 143 × 217 所以两个三位数是 143 和 217,那么两个三位数的和是 360

23】 【例 23】 设 20092009 的各位数字之和为 A , A 的各位数字之和为 B , B 的各位数字之和为 C , C 的各位 数字之和为 D ,那么 D = ? 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D 【解析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同, 解析】 除以 9 都同余,而 2009 除以 9 的余数为 2,则 20092009 除以 9 的余数与 22009 除以 9 的余数相同, 而 26 = 64 除以 9 的余数为 1,所以 22009 = 26×334 +5 = ( 26 ) 即为 5. 另一方面,由于 20092009 < 100002009 = 108036 ,所以 20092009 的位数不超过 8036 位,那么它的各位 数字之和不超过 9 × 8036 = 72324 ,即 A ≤ 72324 ;那么 A 的各位数字之和 B < 9 × 5 = 45 , B 的各 位数字之和 C < 9 × 2 = 18 ,C 小于 18 且除以 9 的余数为 5,那么 C 为 5 或 14,C 的各位数字之和 为 5,即 D = 5 .
334

× 25 除以 9 的余数为 25 除以 9 的余数,

课后练习:

练习1. (2002 年全国小学数学奥林匹克试题 两数相除,商 4 余 8,被除数、除数、商数、余数四数之和 年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除 两数相除, 练习 ,被除数、除数、商数、余数四数之和 等 除数是_______. 于 415,则被除数是 ,则被除数是 . 【解析】 因 为 被 除 数 减 去 8 后 是 除 数 的 4 倍 , 所 以 根 据 和 倍 问 题 可 知 , 除 数 为

(415 ? 4 ? 8 ? 8)(4 + 1 = 79 ,所以,被除数为 79 × 4 + 8 = 324 。 ÷ )
练习2. 练习 被一些自然数去除, 10,那么这样的自然数共有多少个? 已知 2008 被一些自然数去除,所得的余数都是 10,那么这样的自然数共有多少个?

【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 解析】 1998 的约数, 同时还要满足大于 10 这个条件。 这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数,

1998 = 2 × 33 × 37 ,共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16 个约数,其中 1,2,3,6,9 是比 10
小的约数,所以符合题目条件的自然数共有 11 个。 练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个 全国小学数学奥林匹克试题) 1193、1258、1842、1866、1912、 练习 数, 结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另— 甲取 3 张,乙取 2 张,丙取 1 张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的 则丙手中卡片上的数是________ 第五届小数报数学竞赛初赛) ________. 2 倍,则丙手中卡片上的数是________.(第五届小数报数学竞赛初赛) 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知,甲、乙手中五张卡 解析】 片上的数之和应是 3 的倍数. 计算这六个数的总和是 1193 + 1258 + 1842 + 1866 + 1912 + 2494 = 10565 ,10565 除以 3 余 2;因为 甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数,那么丙手中的卡片上的数除以 3 余 2.六个数 中只有 1193 除以 3 余 2,故丙手中卡片上的数为 1193.

练习4. 练习

求 6443 ÷ 19 的余数
12

【解析】本题为余数乘法定理的拓展模式,即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 6443÷19 余 2,求 解析】 原式的余数只要求 2 ÷ 19 的余数即可。但是如果用 2÷19 发现会进入一个死循环,因为这时被
12

除数比除数小了,所以可以进行适当的调整, 2 = 2 × 2 = 64 × 64 ,
12 6 6

64÷19 余数为 7,那么求 2 ÷ 19 的余数就转化为求 64 × 64 ÷ 19 的余数,即 49÷19 的余数。
12

49÷19 余数为 11,所以原式 6443 ÷ 19 的余数为 11.
12

练习5. 练习

60,154, 求该自然数的值. 已知 60,154,200 被某自然数除所得的余数分别是 a ? 1 , a 2 , a 3 ? 1 ,求该自然数的值.

【解析】根据题意可知,自然数 61,154,201 被该数除所得余数分别是 a , a 2 , a 3 . 解析】 由于 a 2 = a × a ,所以自然数 612 = 3721 与 154 同余;由于 a 3 = a × a 2 ,所以 61 × 154 = 9394 与 201 同余, 所 以 除 数 是 3721 ? 154 = 3567 和 9394 ? 201 = 9193 的 公 约 数 , 运 用 辗 转 相 除 法 可 得 到 (3567,9193) = 29 ,该除数为 29.经检验成立. 练习6. 练习 (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校,高中 A 校比 B 校多 10 人,B 校比 C 校多 香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校, 三校共有高中生 10 人.三校共有高中生 2196 人.有一所学校初中人数是高中人数的 2 倍;有一所学校初中人数 是高中人数的 还有一所学校高中、初中人数相等. 是高中人数的 1.5 倍;还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是 5480 人,那么 A 校总人数是________ ________人 校总人数是________人.

【解析】三所学校的高中生分别是:A 校 742 人,B 校 732 人,C 校 722 人.如果 A 校或 C 校初中人数 解析】 是高中人数的 1.5 倍,该校总人数是奇数,而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数,与三 校总人数 5480 是偶数矛盾,因此只能是 B 校的初中人数是高中人数的 1.5 倍.三校初中的总人 数是 5480 ? 2196 = 3284 ,被 3 除余 2;732 被 3 整除,722 被 3 除余 2,742 被 3 除余 1.从余数来

看 2 × 2 + 1 = 5 , 1 × 2 + 2 = 4 ,就断定初中人数是高中人数的 2 倍,只能是 C 校.所以,A 校总人 数是 742 + 742 = 1484 (人) .

月考备选 除以一个两位数,余数是12 求出符合条件的所有的两位数. 【备选 1】 1013 除以一个两位数,余数是 .求出符合条件的所有的两位数. 】 【解析】 1013 ? 12 = 1001 ,1001 = 7 × 11 × 13 ,那么符合条件的所有的两位数有 11,13, 77,91 ,因为“余数小 于除数”,所以舍去11,答案只有 13, 77,91 。

所得的余数相同, 33.求这个数是多少? 【备选 2】有一个自然数,除 345 和 543 所得的余数相同,且商相差 33.求这个数是多少? 】有一个自然数, 【解析】由于这个数除 345 和 543 的余数相同,那么它可能整除 543-345,并且得到的商为 33.所以所 解析】 求的数为 (543 ? 345) ÷ 33 = 6 .

年全国小学数学奥林匹克试题) 2836,4582,5164, 【备选 3】 (2001 年全国小学数学奥林匹克试题)若 2836,4582,5164,6522 四个自然数都被同一个自然 】 数 相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_______. 相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_______. _______ 【解析】设除数为 A.因为 2836,4582,5164,6522 除以 A 的余数相同,所以他们两两之差必能被 A 解析】 整除.又因为余数是两位数, 所以 A 至少是两位数.5164 ? 4582 = 582 ,6522 ? 5164 = 1358 , 因为 (582,1358) = 194 ,所以 A 是 194 的大于 10 的约数.194 的大于 10 的约数只有 97 和 194.如 果 A = 194 , 2386 ÷ 194 = 14 L120 ,余数不是两位数,与题意不符.如果 A = 97 ,经检验,余 数都是 23,除数 + 余数 = 97 + 23 = 120 . 【备选 4】 2 】
2008

+ 20082 除以 7 的余数是多少? 的余数是多少?

【解析】 23 = 8 除以 7 的余数为 1,2008 = 3 × 669 + 1 ,所以 22008 = 23×669+1 = (23 )669 × 2 ,其除以 7 的余数为: 解析】
1669 × 2 = 2 ;2008 除以 7 的余数为 6,则 20082 除以 7 的余数等于 62 除以 7 的余数,为 1;所以

22008 + 20082 除以 7 的余数为: 2 + 1 = 3 .

【备选 5】一个自然数被 7,8,9 除的余数分别是 1,2,3,并且三个商数的和是 570,求这个自然数. 570,求这个自然数. 【解析】这个数被 7, 9 除的余数分别是 1, 3, 解析】 8, 2, 所以这个数加上 6 后能被 7, 9 整除, [ 7,8,9] = 504 , 8, 而 所以这个数加上 6 后是 504 的倍数.由于这个数被 7,8,9 除的三个商数的和是 570,那么这个 数加上 6 后被被 7,8,9 除的三个商数的和是 570 + 1 + 1 + 1 = 573 ,而
504 ÷ 9 + 504 ÷ 8 + 504 ÷ 7 = 7 × 8 + 7 × 9 + 8 × 9 = 191 , 573 ÷ 191 = 3 ,

所以这个数加上 6 等于 504 的 3 倍,这个数是 504 × 3 ? 6 = 1506 .



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