tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

解析几何高二理科基础复习(家教用)


高二理科解析几何复习讲义(基础) 考点一 直线的相关问题:
直线的方程几种形式、 两点坐标求直线的斜率、 两条直线平行与垂直的条件、 两直线交点、 点到直线的距离公式。 例 1 [2011· 浙江卷] 若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m= ________. 【解题技巧点睛】在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条

直线无斜 率或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在的情况下才可以应用条 件 l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1 解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问 题上,除上述方法外,还可以用两直线 l1 和 l2 的方向向量 v1=(a1,b1)和 v2=(a2,b2)来判定,即 l1 ⊥l2?a1a2+b1b2=0. 练习:1.已知 l1 : 2x ? m2 y ? 2m ? 0 与 l2 : y ? ?3x ? 6 ,若两直线平行,则 m 的值为 2 经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C , 且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 . .

考点二 圆的相关问题:
圆的标准方程和一般方程、 两圆位置关系. 直线与圆的位置关系: 例 3[2011· 湖南卷] 已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 例 4 [2011· 课标全国卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在 圆 C 上.(1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

5) 的最长弦和最短弦分别 练习:1.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,
2 2

为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6

) D. 40 6

1.(2011· 东莞模拟)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

2.在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边依次为 a,b,c,且 2lg sin B=lg sin A+lg sin C,

则两条直线 l1:xsin2A+ysin A=a 与 l2:xsin2B+ysin C=c 的位置关系是 A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交不垂直

3.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0
2

B.1
2

C.2

D.3

x y 4.以双曲线 - =1 的右焦点为圆心,且与渐近线相切的圆的方程是 9 16 A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+16=0 B.x2+y2-10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0

5.(2011· 海淀模拟)圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2-12x-6y+40=0 的公共弦长为 A. 5 B. 6 C.2 5 D.2 6

6.(2011· 珠海模拟)已知直线 l:y=-1,定点 F(0,1),P 是直线 x-y+ 2=0 上的动点,若 经过点 F、P 的圆与 l 相切,则这个圆面积的最小值为 π A. 2 B.π C.3π D.4π

7.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0 平行,则实数 a=________. 8.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小 值是________. 9.若直线 l:2x+y+3=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=5 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 10.设直线 l 经过点 P(3,4),圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=4. (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率; (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围.

11.已知圆 M 的方程为 x2+(y-2)2=1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B.(1)若∠APB=60° ,试求点 P 的坐标;(2)若 P 点的 坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

考点三 椭圆方程与几何性质 (知识点复习看课本上和双曲线的对比)
例 5[2011· 福建卷] 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶ |F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( ) 1 3 2 1 2 3 A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或 2 2 3 2 3 2 1 x2 y2 1, ?作圆 x2+y2=1 的切线,切 例 6[2011· 江西卷] 若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点? ? 2? a b 点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. 例 7[2011· 课标全国卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方 2 程为________________.

考点四 双曲线方程与几何性质
x2 y2 例 8[2011· 天津卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的 a b 距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦 距为( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 x2 y2 例 9[2011· 辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它 a b 的离心率为________. x2 y2 例 10[2011· 山东卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5 a b =0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 4 5 3 6 6 3

考点五 抛物线方程与几何性质
例 11[2011· 课标全国卷] 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 例 12 [2011· 福建卷] 如图 1-4,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

例 13 [2011· 江西卷] 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值.

考点六 直线与曲线的位置关系
x2 y2 3 例 15[2011· 陕西卷] 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计 算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的 直线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来,相互转化.其中,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据 .通过相切 构造方程可以求值,通过相交、相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是 否有意义.

考点七 轨迹问题
例 17[2011· 陕西卷]

如图 1-8,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点, 4 且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

例 18[2011· 湖南卷] 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨 → → 迹 C 相交于点 D,E,求AD· EB的最小值.

例 19[2011· 天津卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2 分别为椭 x2 y2 圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. a b (1)求椭圆的离心率 e; → → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM· BM=-2,求点 M 的轨迹方程.

【解题技巧点睛】求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的 轨迹方程研究曲线几何性质,一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程 . 轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解 决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求. 如果题目中有明显的等量关系, 或者能够利用平面几何推出等量关系 ,可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知 曲线的定义,则可用定义法;如果轨迹的动点 P 依赖另一动点 Q,而 Q 又在某已知曲线上,则可 通过列方程组用代入法求出轨迹方程 ;另外当动点的关系不易找到,而动点又依赖于某个参 数,则可利用参数法求轨迹方程,常用的参数有变角、变斜率等.

考点八 圆锥曲线的综合问题
例 20[2011· 山东卷] 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) x2 y2 3 例 20[2011· 湖南卷] 如图 1-9,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,x 轴被曲线 C2: a b 2 y=x2-b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1,C2 的方程; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的 直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D,E. ①证明:MD⊥ME; ②记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2.问: S1 17 是否存在直线 l,使得 = ?请说明理由. S2 32 c 3 【解答】 (1)由题意知,e= = ,从而 a=2b.又 2 b=a,解得 a=2,b=1. a 2 x2 故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1,y=x2-1. 4 (2)①由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx. ?y=kx, ? 由? 得 x2-kx-1=0. 2 ? y = x - 1 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1+x2=k,x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0,-1),所以 y1+1 y2+1 ?kx1+1??kx2+1? kMA· kMB= · = x1 x2 x1x2 2 k x1x2+k?x1+x2?+1 = x1x2 -k2+k2+1 = =-1. -1 故 MA⊥MB,即 MD⊥ME. ②设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 ? ?y=k1x-1, y=k1x-1,由? 解得 2 ?y=x -1 ?
?x=0, ?x=k1, ? ? ? 或? 2 ? ? ?y=-1 ?y=k1-1.

则点 A 的坐标为(k1,k2 1-1). 1 1 1 - , 2-1?. 又直线 MB 的斜率为- ,同理可得点 B 的坐标为? k ? 1 k1 ? k1 2 1 1 1 ? 1 ? 1+k1 - = 于是 S1= |MA|· |MB|= 1+k2 |k1|· 1+ 2· . 1· 2 2 k1 ? k1? 2|k1| ? ?y=k1x-1, 2 2 由? 2 得(1+4k1 )x -8k1x=0. 2 ?x +4y -4=0 ?

? ?x=0, 解得? 或 ?y=-1 ?

? ?x=1+4k , ? 4k -1 ? ?y=1+4k .
2 1 2 1 2 1 2

8k1

-8k1 4-k2 1 1? ? 又直线 ME 的斜率为- ,同理可得点 E 的坐标为? ?. 2, k1 4+k2 ?4+k1 1? 2 32?1+k1?· |k1| 1 于是 S2= |MD|· |ME|= . 2 2 ?1+4k2 1??k1+4? 4 S1 1 ? 4k2 因此 = ? 1+ 2+17 . k ? ? S2 64 1 4 1 17 4k2+ 2+17?= , 由题意知, ? ? 32 64? 1 k1 2 1 解得 k2 1=4,或 k1= . 4 1 k2 1- 2 k1 1 又由点 A,B 的坐标可知,k= =k1- , 1 k1 k1+ k1 3 所以 k=± . 2 3 3 故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y= x 和 y=- x. 2 2 x2 y2 例 21[2011· 山东卷] 已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点, 3 2 6 且△OPQ 的面积 S△OPQ= ,其中 O 为坐标原点. 2 2 2 2 (1)证明:x1 +x2 2和 y1+y2均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值; 6 (3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ?若存在,判断 2 △DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 【解答】 (1)(ⅰ)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1,y2=-y1, 因为 P(x1,y1)在椭圆上, 2 x2 y1 1 所以 + =1.① 3 2 6 又因为 S△OPQ= , 2 6 所以|x1|· |y1|= ,② 2 6 由①、②得|x1|= ,|y1|=1, 2 2 2 2 此时 x2 1+x2=3,y1+y2=2. (ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m, x2 y2 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得 3 2 (2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0, 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0, 即 3k2+2>m2,(★)

? 8k1 ,4k1-1?. 则点 D 的坐标为? 2? ?1+4k2 1 1+4k1?

3?m2-2? 6km 又 x1+x2=- , 2,x1x2= 2+3k 2+3k2 所以|PQ|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 2 6 3k2+2-m2 = 1+k2· . 2+3k2 |m| 因为点 O 到直线 l 的距离为 d= , 1+k2 1 所以 S△OPQ= |PQ|· d 2 2 6 3k2+2-m2 |m| 1 = 1+k2· · 2 2+3k2 1+k2 6|m| 3k2+2-m2 . 2+3k2 6 又 S△OPQ= , 2 整理得 3k2+2=2m2,且符合(★)式. 2 2 此时 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2 ?- 6km 2?2-2×3?m -2?=3, ? 2+3k ? 2+3k2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3 2 2 2 综上所述,x1 +x2 = 3 , y + y = 2 ,结论成立. 2 1 2 (2)解法一:①当直线 l 的斜率不存在时, 6 由(1)知|OM|=|x1|= ,|PQ|=2|y1|=2, 2 6 因此|OM|· |PQ|= ×2= 6. 2 ②当直线 l 的斜率存在时,由ⅰ知: x1+x2 3k =- , 2 2m y1+y2 ?x1+x2? -3k2+2m2 1 3k2 =k +m=- +m= = , 2 2m 2m m ? 2 ? 2 2 1 x1+x2?2 ?y1+y2?2 9k 1 6m -2 1? 3- ? |OM|2=? ? 2 ? +? 2 ? =4m2+m2= 4m2 =2? m2?. 24?3k2+2-m2? 2?2m2+1? ? 1 |PQ|2=(1+k2) = =2?2+m2? 2 2 2 ?. m ?2+3k ? 1 1 1 3- 2?×2×?2+ 2? 所以|OM|2· |PQ|2= ×? ? m? 2 ? m? 1 1 1 ?? 1 ? ?3- 2+2+ 2?2 25 ? m?= . =?3-m2??2+m2?≤? m 4 ? 2 ? 5 1 1 所以|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2,即 m=± 2时,等号成立. 2 m m 5 综合①②得|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 解法二: 2 2 2 因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2=2[(x1 +x2 2)+(y1+y2)]= = 10. 4|OM|2+|PQ|2 10 所以 2|OM|· |PQ|≤ = = 5. 2 2

5 即|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立. 2 5 因此|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 (3)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 6 . 2 6 . 2

证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由(1)得 u2+x2 1=3,u +x2=3,x1+x2=3,v +y1=2,v +y2=2,y1+y2=2. 2 3 2 2 2 解得 u2=x2 1=x2= ;v =y1=y2=1. 2 6 因此 u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取. 2 6 ? 因此 D、E、G 只能在?± ,± 1 这四点中选取三个不同点, ? 2 ? 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 6 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 矛盾, 2 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D、E、G. 例 22 【2011 ? 新课标全国】 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, ?1) ,B 点在直线 y ? ?3

上, M 点满足 MB // OA , MA · AB ? MB · BA , M 点的轨迹为曲线 C . (Ⅰ) 求 C 的方程; (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

【解题技巧点睛】 1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题 的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响 的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表 示直线方程、 数量积、 比例关系等, 根据等式的恒成立、 数式变换等寻找不受参数影响的量.

2.解决圆锥曲线中最值、 范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系, 根据目标函 数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立 目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问 题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处 理.

针对训练
一.选择题

1. (2012届微山一中高三10月考试题)
过点 (5, 2) ,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是 A. 2 x ? y ? 12 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 ( )

【答案】B 【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为 2 x ? 5 y ? 0 ,

x y ? ? 1再由过点 (5, 2) 即可解出. a 2a 2.【2012 年上海市普通高等学校春季招生考试】 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则( ) 已知函数 C1 : 12 4 16 8 (A) C1 与 C2 顶点相同 (B) C1 与 C2 长轴长相同
不过原点时,可设出其截距式为 (C) C1 与 C2 短轴长相同 【答案】D 【解析】 (D) C1 与 C2 焦距相同

C1 :

x2 y 2 ? ? 1,? a12 ? 12, b12 ? 4,? c12 ? 8,? 2c1 ? 4 2; 12 4

C2 :

x2 y 2 ? ? 1,? a2 2 ? 16, b2 2 ? 8,? c2 2 ? 8, 2c2 ? 4 2; 16 8

综上可知两个曲线的焦距相等。

3.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
已知点

P 为圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 上一点, 且点 P 到直线 x ? y ? m ? 0 距离的最小值


为 2 ? 1 ,则 m 的值为( A. ?2 B. 2 C. ? 2 D. ?2 【答案】D

0 的距离 【 解 析 】 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 得 圆 心 ? 2, 2 ? 到 直 线 x ? y ? m ?

d?

2?2?m 2

,所以 d ? r ?

2?2?m 2

? 1 ? 2 ? 1 ,解得 m ? ?2

4.【湖北省孝感市 2011—2012 学年度高中三年级第一次统一考试】
已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线
2

的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为

A. 【答案】B

B.

C.

D.3

【解析】由题意可知抛物线的焦点为 (2,0), 双曲线的一个焦点为右焦点且为 ( a 2 ? 1,0) , 因两点重合故有

a 2 ? 1 ? 2, 即 a 2 ? 3. 且 c ? a2 ?1 ? 2. 则 双 曲 线 的 离 心 率 为

e?

c 2 2 ? ? 3. a 3 3

5.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点坐标为(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 8 24

B.

x1 y 2 ? ?1 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 24 8

D.

x2 y 2 ? ?1 4 12

【答案】A 【解析】由题意可设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) ,利用已知条件可得: a 2 b2

?b ?b ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 1. 故选 A. ,即 ? a ,? ? 2 ,? 双曲线方程为 ? ?a 4 12 b ? 12 ? 2 2 2 ? ? ? ?c ? 4 ?a ? b ? 4
6. 【 2012 届景德镇市高三第一次质检 】 已 知 点 F1 、 F2 为 双 曲 线
x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为右支上一点,点 P 到右准线的距离为 d ,若 | PF1 | 、

| PF2 | 、 d 依次成等差数列,则此双曲线的离心率的取值范围是
A. [2 ? 3 , ? ?) 【答案】C 【解析】由 PF ? ? PF ? ? ?a, PF ? ? d ? ? PF ? 得 d ? PF ? ? ?a, B. (1 , 3) C. (1 , 2 ? 3] D. [2 , 2 ? 3]

e?

PF? PF? ? ?a
?

?

?ac ?a ? a? ?a ? c ,d ? ,而a? ? d ? , PF? ? , c?a c?a c c?a a
?

所以 c ? ?ac ? a ? ? , e? ? ?e ??? ?,?? e ? ? ? ?.

7.【2012 北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离, 那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的 点 ( 的 ) (A)圆 (C)双曲线的一支 (B)椭圆 (D)直线 轨 迹 不 . 可 . 能 . 是

【答案】D 【解析】 如图,A 点为定圆的圆心,动点 M 为定圆半径 AP 的中点, 故 AM=MP,此时 M 的轨迹为以 A 圆心,半径为 AM 的圆。

如图,以 F1 为定圆的圆心,F1P 为其半径,在 F1P 截得 |MP|=|MA|, 设 PF1 ? r ,? MF1 ? PM ? MF1 ? MA ? r ? F1 A , 由椭圆的定义可知,M 的轨迹是以 F1、A 为焦点, 以 F1 A 为焦距,以 r 为长轴的椭圆。

如图,以 F1 为定圆的圆心,F1P 为其半径, 过 P 点延长使得|MP|=|MA|,则有

M P

MF1 ? PM ? r ,? MF1 ? MA ? r ? FA ,
由双曲线的定义可知,M 的轨迹是以 F1、A 为 焦点的双曲线的右支。 若 M 落在以 A 为端点在 x 轴上的射线上,也满足条件 ,此时轨迹为一条射线,不是直线。故答案为 D。

F1

A

8.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 设 e 1 、e 2 分别为具有公共焦点 F 1 、F 2 的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点, e1 e 2 且满足 P 的值为 F P F F F 1? 2? 1 2 ,则 e 12 ? e 22
A.

2 2

B.2

C. 2

D.1

【答案】A 【解析】设 | ,不妨设 m?n.由 P P F | ? m , | P F | ? n , | F F |2 ? c F P F F F 1 2 1 2 1? 2? 1 2 知,∠
2 2 2 ,则 m ,∴ e1 ? F P F 9 0 ? ? n ? 4 c 1 2?

2c 2c , e2 ? , m?n m?n 2 2 1 1 2 ( m ? n ) e1e2 2 ∴ 2? 2 ? ,∴ . ? 2 ? 2 2 2 e e 4 c 2 e1 ? e2 1 2

二.填空题 9.【惠州市 2012 届高三第二次调研考试】若直线 y ? x ? m 与圆 ( x ? 2)2 ? y2 ? 1 有
两个不同的公共点,则实数 m 的取值范围为 【解析】圆心到直线的距离 d ? .

2?m 2

?1? 2 ? 2 ? m ? 2 ? 2 .

10.【2012 北京海淀区高三年级第一学期期末试题】 抛物线 x2 = ay 过点 A(1, ) ,则点 A 到此抛物线的焦点的距离为 【答案】

1 4

.

5 4

1 a,? a ? 4.? x 2 ? 4 y. 由抛物线的定义可知 A 点到焦点距离为 A 4 p 1 5 到准线的距离: y A ? ? ? 1 ? . 2 4 4 11.【河北省唐山市 2012 届高三上学期期末考试数学】
【解析】由已知可得:1 ? 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与椭圆的一个 a 2 b2


交点为 P,若 ?F1 PF2 ? 45? ,则椭圆的离心率 e ? 【答案】 2 ? 1

【 解 析 】 根 据 题 意 可 知 , Rt ?PF 1F2 的 直 角 边 PF2 为 椭 圆 通 经 的 一 半

b2 b2 , F ? 2c, 又 b2 ? a 2 ? c2 , 代入整理得: 1F 2 ? 2c, ?PF 1F 2 ? 45 ,? F 1F 2 ? PF 2 ,? a a

c2 ? 2ac ? a2 ? 0,?e2 ? 2e ?1 ? 0,?e ? ?1? 2, 0 ? e ? 1,?e ? ?1? 2. 20.
12.【浙江省 2012 年高三调研理科数学测试卷】 若点 P 在曲线 C1:

x2 16

?

y2 9

? 1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在


曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则 | PQ |-| PR | 的最大值是

【答案】10 【解析】如图所示,

PQ max ? PC1 ? r, PR min ? PC2 ? r,?( PQ ? PR )max ? PQ max ? PR min ? PC1 ? PC2 ? 2
P 点在双曲线上,? PC1 ? PC2 ? 2a ? 8, ? | PQ |-| PR | 的最大值是 10.

13.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
P 是 C1 与 C2 的一个公共点, ?PF1F2 是 已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的焦点 F 1 、 F2 ,点
一个以 PF1 为底的等腰三角形, PF 1 ? 4 , C1 的离心率为 【答案】3 【解析】因为 ?PF 1F 2 是一个以 PF 1 为底的等腰三角形, PF 1 ? 4 , C1 的离心率为

3 ,则 C2 的离心率为 7

3 ,所 7

c ? 3. a 14.【2012 届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 e? 以 PF2 ? F 1F 2 ? 3 ,所以 C2 中的 2a ? 1, 2c ? 3 ,所以 C2 的离心率

x2 C: ? y 2 ? 1 的渐近线交于 E1 , E2 两点, 记 OE1 ? e1, OE2 ? e2 , 任取双曲线 C 上的点 P, 4
若 OP ? ae1 ? be2 ,则实数 a 和 b 满足的一个等式是_____________.

【答案】 3a ? 10ab ? 3b ? 4 ? 0
2 2

【解析】该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 向量线性表示及坐标运算 . 可求出

? a ? b ? x0 (a ? b)2 ,? ? (a ? b) 2 ? 1, e1 ? (1,1), e2 ? (1, ?1) ,设 P( x0 , y0 ) ,则 ? a ? b ? y 4 0 ?
? 3a 2 ? 10ab ? 3b2 ? 4 ? 0

三.解答题 15.【浙江省 2012 年高三调研理科数学测试卷】
如图,椭圆 C: x2+3y2=3b2 (b>0). (Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) 若 b=1,A,B 是椭圆 C 上两点,且 | AB | = 3 ,求△ AOB 面积的最大值. 解析:(Ⅰ):由 x2+3y2=3b2 得

x2 y2 ? ?1, 3b 2 b 2
…………5 分

所以 e=

6 2 c 3b2 ? b2 = = = . 2 3 3 a 3b

(Ⅱ)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO 的面积为 S.

3 3 1 3 3 ? 3= ; , ),此时 S= ? 2 2 2 2 4 如果 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,
如果 AB⊥x 轴,由对称性不妨记 A 的坐标为(

? y ? kx ? m, 由? 2 得 x2+3(kx+m) 2=3, 2 ? x ? 3 y ? 3,
即 (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ =36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0, 所以 x1+x2=-

6km 3m2 ? 3 , x x = , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
12(1 ? 3k 2 ? m2 ) , (1 ? 3k 2 ) 2


(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1 x2=

由 | AB |= (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 及 | AB |= 3 得 (x1-x2)2=

3 , 1? k2



结合①,②得 m2=(1+3k2)-

(1 ? 3k 2 ) 2 |m| .又原点 O 到直线 AB 的距离为 , 4(1 ? k 2 ) 1? k2

所以 S= ?

1 2

|m| 1? k2

? 3,

因此 S2= ?

(1 ? 3k 2 ) 2 1 1 ? 3k 2 3 m2 3 1 ? 3k 2 3 = [ - ] = [ - ( -2)2+1] ? ? 2 2 2 2 2 4(1 ? k ) 4 1? k 4 1? k 4 1? k 4

3 3 3 1 ? 3k 2 -2)2+ ≤ , ?( 2 4 4 16 1 ? k 2 3 3 3 3 1 ? 3k 故 S≤ .当且仅当 =2,即 k=±1 时上式取等号.又 > ,故 S max= . 2 2 2 2 4 1? k
=-

16.【惠州市 2012 届高三第二次调研考试】已知点 P 是圆 F1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上任
意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称。线段 PF2 的中垂线 m 分别与 PF1、PF2 交于 M 、N 两 点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 P, Q 两点,若 OP ? OQ ? 0 ( O 为坐标原点) ,试求直 线 l 在 y 轴上截距的取值范围. 解: (1)由题意得, F1 (?1,0), F2 (1,0), 圆 F1 的半径为 2 2 ,且 | MF2 |?| MP | 从而 | MF1 | ? | MF2 |?| MF1 | ? | MP |?| PF1 |? 2 2 ?| F1F2 | ∴ 点 M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆, ………… 3 分 ……… 1 分

………… 5 分

其中长轴 2a ? 2 2 ,得到 a ? 2 ,焦距 2c ? 2 , 则短半轴 b ? 1 椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

………… 6 分

? y ? kx ? n ? (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? n ,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2
可得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4knx ? 2n2 ? 2 ? 0 则 ? ? 16k 2 n2 ? 8(n2 ? 1)(2k 2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? n 2 ? 1 ? 0 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ① ………… 8 分

?4kn 2n 2 ? 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
…………10 分

由 OP ? OQ ? 0 可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (kx1 ? n)(kx2 ? n) ? 0 整理可得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? kn( x1 ? x2 ) ? n2 ? 0 即 …………12 分

(k 2 ? 1)(2n 2 ? 2) ?4kn ? kn ? ( 2 ) ? n 2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1

化简可得 3n 2 ? 2k 2 ? 2 ,代入①整理可得 n2 ?

1 , 2

故直线 l 在 y 轴上截距的取值范围是 (??, ?

2 2 )?( , ??) . 2 2

…………14 分

17.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,抛 物线的准线与 x 轴交于点 C。 (1)证明: ?ACF ? ?BCF ; (2)求 ?ACB 的最大值,并求 ?ACB 取得最大值时线段 AB 的长。 p p 解: (Ⅰ)由题设知,F 2 ,0 ,C - 2 ,0 ,

(

)

(

)

p 设 A (x1,y1),B (x2,y2),直线 l 方程为 x=my+ 2 , 代入抛物线方程 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0. y1+y2=2pm,y1y2=-p2. …4 分 不妨设 y1>0,y2<0,则 y1 y1 2py1 2py1 2p tan ∠ACF= = = , 2 2 p = y1 p =y1 +p2 y2 - y y y 1 1 2 1-y2 x1+ 2 2p+ 2 y2 2p tan ∠BCF=- p =-y2-y1, x2+ 2 ∴tan ∠ACF=tan ∠BCF,所以∠ACF=∠BCF. …8 分 2py1 2py1 (Ⅱ)如(Ⅰ)所设 y1>0,tan ∠ACF= 2 ≤ =1,当且仅当 y1=p 时取等号, y1+p2 2py1 π π 此时∠ACF 取最大值 4 ,∠ACB=2∠ACF 取最大值 2 , p p 并且 A 2 ,p ,B 2 ,-p ,|AB|=2p. …12 分

(

)

(

)

18.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】
已 知 点 A (? 1 ,0 ? ) , B(1, 0) , 动 点 M 的 轨 迹 曲 线 C 满 足 ? A M B ? 2 ?,

2 ,过点 B 的直线交曲线 C 于 P 、 Q 两点. A MB ? M c o s ? ? 3

(1)求 A M?B M 的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△ APQ 面积的最大值.

A M B ? 2 ? 解 : (1) 设 M ,根据余弦定理得 (x , y) , 在 △ MAB 中 , AB ? 2 , ?

A M ? B MA ? 2 M ? B M c o s 24 ? .
2

2

2

?

A M ? B M )2 ? A M ? B M ( 1 ? c o s 2 ) ? 4 即( .
2 2 ( A M ? B MA ) ? 4 M ? B M c o s ? 4 .

?

?
2

(2 分)

MB ? M c o s? ? 3 A MB ?M )? 434 ? ?. 而 A ,所以 (
2

M ?B M? 4 所以 A .

(4 分)

又 A , M ? B M ??? 42 A B 因此点 M 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的椭圆(点 M 在 x 轴上也符合题意) , a ? 2, c ? 1.

x2 y2 (6 分) ? ? 1. 4 3 (2)设直线 P Q 的方程为 x? . m y? 1 ?x ? my ?1 ? 2 2 由? x2 ,消去 x 并整理得 ( . ① 3 m ? 4 ) y ? 6 m y ? 9 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ? 4 1 显然方程①的 ? ? 0 ,设 P (x (x ?? 2 ? y ? y y ? y 1, y 1) , Q 2, y 2) ,则 S ? A P Q 1 2? 1 2 2 6 m 9 由韦达定理得 y ,y . (9 分) 1 ?y 2 ?? 1y 2 ?? 2 2 3 m ?4 3 m ?4 2 3 m ? 3 2 2 所以 ( . y ? y ) ? ( y ? y ) ? 4 y y ?? 4 8 1 2 1 2 1 2 2 2 ( 3 m ? 4 ) 48 2 2 令 t? ,则 t ≥ 3 , ( y1 ? y2 ) ? . 3 m ? 3 1 t ? ?2 t 1 由于函数 ? (t ) ? t ? 在 [3 , ?? ) 上是增函数. t 1 10 2 所以 t ? ≥ ,当 t? ,即 m ? 0 时取等号. 3 m ?? 33 t 3 48 2 所以 (y ?9,即 y1 ? y2 的最大值为 3. 1 ?y 2) ≤ 10 ?2 3 所以△ APQ 面积的最大值为 3,此时直线 P Q 的方程为 x ? 1 . (12 分)
所以曲线 C 的方程为

19.【2012 北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. (ⅰ)若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小; (ⅱ)若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在, 求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

3 , Q 为椭圆 C 的左顶点. 2

6 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且 a 2 = b2 + c 2 . a 2 b2

由题意可知:b = 1 ,
2

c 3 . = a 2

………………………………………2 分

所以 a = 4 . 所以,椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………………………3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Q(?2, 0) .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (ⅰ)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ?

6 . 5

6 6 6 ? ? ? x?? , x ? ? , ?x ? ? , ? ? ? ? ? 5 5 5 由? 2 解得: ? 或? ? x ? y2 ? 1 ?y ? 4 ?y ? ? 4. ? ? ? 5 5 ? ? ?4
即 A(? , ), B( ? , ? ) (不妨设点 A 在 x 轴上方). ………………………………………5 分 则直线 AQ 的斜率 k AQ ? 1,直线 BQ 的斜率 kBQ ? ?1 . 因为 k AQ ? kBQ ? ?1 , 所以 AQ ^ BQ . 所以 ?AQB ?

6 4 5 5

6 5

4 5

? . 2

………………………………………6 分

(ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? )(k ? 0) .

6 5

6 ? y ? k ( x ? ), ? ? 5 由? 2 消去 y 得: (25 ? 100k 2 ) x2 ? 240k 2 x ? 144k 2 ?100 ? 0 . x ? ? y2 ? 1 ? ?4
因为 点 (-

6 , 0) 在椭圆 C 的内部,显然 ? ? 0 . 5

? 240k 2 x ? x ? ? , ? ? 1 2 25 ? 100k 2 ? 2 ? x x ? 144k ? 100 . ? 1 2 25 ? 100k 2 ?

………………………………………8 分

因为 QA ? ( x1 ? 2, y1 ), QB ? ( x2 ? 2, y2 ) , y1 ? k ( x1 ? ) , y2 ? k ( x2 ? ) ,

6 5

6 5

所以 QA ? QB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

6 6 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? ) ? k ( x2 ? ) 5 5 6 36 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 5 25

? (1 ? k 2 )
所以 QA ? QB .

144k 2 ? 100 6 2 240k 2 36 ? (2 ? k )( ? ) ? 4 ? k2 ? 0 . 2 2 25 ? 100k 5 25 ? 100k 25

所以 ?QAB 为直角三角形.

………………………………………11 分

所以 点 M 的纵坐标 yM = k ( xM +

6 6k )= . 5 5 + 20k 2

所以 QM ?NM

10 + 16k 2 6k 6 6k ( , ) ( , ) 2 2 2 5 + 20k 5 + 20k 5 + 20k 5 + 20k 2

=

60 + 132k 2 (5 + 20k 2 )2

0.

所以 QM 与 NM 不垂直,矛盾. 所以 当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形. ………………………………………13 分

20.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过点 M (?2, ?1) ,离心率为 ,过点 M 作倾斜 2 a b 2

角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P 、 Q . (I)求椭圆 C 的方程;

(II) ?PMQ 能否为直角?证明你的结论; (III)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值. 解析: (I)由题设,得

4 1 ? ?1 a 2 b2

(1)



a 2 ? b2 2 ? a 2

(2)

由(1) (2)解得 a2 ? 6, b2 ? 3 ,

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………3 分 6 3

(II)设直线 MP 的斜率为 k ,则直线 MQ 的斜率为 ? k , 假设 ?PMQ 为直角,则 k (?k ) ? 1, k 若k

? ?1

? 1 ,则直线 MQ 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2) ,
2

与椭圆 C 方程联立,得 x

? 4x ? 4 ? 0 ,

该方程有两个相等的实数根 ?2 ,不合题意; 同理,若 k ? ?1 也不合题意. 故 ?PMQ 不能为直角.…………………………………………………………6 分 (III)记 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , 设直线 MP 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,与椭圆 C 方程联立,得

(1 ? 2k 2 ) x2 ? (8 ? 4k ) x ? 8k 2 ? 8k ? 4 ? 0 ,

?2, x1 是方程的两根,则 ?2 x1 ?

8k 2 ? 8k ? 4 ?4k 2 ? 4k ? 2 , x ? . 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设直线 MQ 的方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 2) ,

?4k 2 ? 4k ? 2 同理得 x2 ? ……………………………………………………9 分 1 ? 2k 2
因 y1 ? 1 ? k ( x1 ? 2), y2 ? 1 ? ?k ( x2 ? 2) ,

8k y1 ? y2 k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) k ( x1 ? x2 ? 4) 1 ? 2k 2 k ? ? ? ? ?1 故 PQ 8k x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 1 ? 2k 2
因此直线 PQ 的斜率为定值………………………………………………………12 分


推荐相关:

解析几何高二理科基础复习(家教用)

解析几何高二理科基础复习(家教用)_数学_高中教育_教育专区。高二理科解析几何复习讲义(基础) 考点一 直线的相关问题:直线的方程几种形式、 两点坐标求直线的斜率、...


高一数学家教教案(函数立体几何解析几何)

高一数学家教教案(函数立体几何解析几何)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一...时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法 ...三.基础知识: 1.直线的五...


家教用.高考易错题解题方法大全以及选择填空专项训练(老师用)

基础良好、心态稳定 我的劣势: 粗心大意、方法较少...立体几何、解析几何 三、小题快速提升训练(实时总结...某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com