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教案(平面向量基本定理)


《平面向量基本定理》教案
教学目的: (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握 应用向量解决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、 复习引入:
? ? 1.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? ? ? ? ? (1)|λ a |=|λ|| a |;(2)λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相 ? 反;λ=0 时λ a = 0

2.运算定律
? ? ? ? ? ? ? ? 结合律:λ(μ a )=(λμ) a ;分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a ,λ( a + b )=λ a + ? λb ? ? 3. 向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零 ? ? 实数λ,使 b =λ a .

二、讲解新课: 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 ? ? 于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; ? (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 三、讲解范例:

例 1 已知向量 e1 , e2 例2

求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

? 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , ? ? ? AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD

例 3 已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O

是任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例 4(1)如图,OA ,OB 不共线, AP =t AB (t?R) 用 OA , OB 表示 OP . ??? ? ?? ? (2)设 OA、 OB 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB (t ? R ) .求证:A、B、P 三点共线. 例 5 已知 a=2e1-3e2 ,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否 ? ? ? ? 存在这样的实数 ?、? , 使d ? ? a ? ? b 与 c 共线. 四、课堂练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( A.e1、e2 一定平行 )

B.e1、e2 的模相等
C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的 关系为( A.不共线 )

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( A.3 )

B.-3

C.0

D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则λ1=

5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,

a 与 e2_________(填共线或不共线).
五、小结(略) 六、课后作业(略): 七、板书设计(略)

八、课后记:


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