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高一数学:第二章《基本初等函数》 测试(2)(新人教A版必修1)


新课标高一数学同步测试第二章测试
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.已知 p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是 ( ) A. a ? a
p q

B. p a ? q a

C. a



?p

? a ?q

D. p ? a ? q ? a ( )

2.已知 f ( x ) ?

ax ? b (a,b,c是常数)的反函数 f x?c

?1

( x) ?

2x ? 5 ,则 x?3

A.a=3,b=5,c=-2 C.a=2,b=3,c=5

B.a=3,b=-2,c=5 D.a=2,b=-5,c=3 ( )

3.函数 y ? loga x 当 x>2 时恒有 y >1,则 a 的取值范围是 A.

1 ? a ? 2且a ? 1 2

C. 1 ? a ? 2 4.函数 f(x)的图象与函数 g(x)=( A.(- ? ,1) 5.函数 y=

1 或1 ? a ? 2 2 1 D. a ? 1或0 ? a ? 2
B.0 ? a ?

1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x2)的单调减区间为 2
( ) ) C.(0,1) D.[1,2] ( C. (?1,0) D.[?1,0]

x ?1 ,x?(0,1)的值域是 x ?1

B.[1,+ ? ]

A. [ ?1,0)

B. (?1,0 ]

6. 设g(x)为R上不恒等于0的奇函数, f ( x) ? ? 数b的值为 A.2 B.1

1? ? 1 ? ? g ( x) (a>0且a≠1)为偶函数,则常 x ? a ?1 b ?
( C. )

1 2

D.与a有关的值

7.设f(x)=a ,g(x)=x ,h(x)=logax,a满足loga(1-a2)>0,那么当x>1时必有 A.h(x)<g(x)<f(x) C.f(x)<g(x)<h(x) 8.函数 y ? B.h(x)<f(x)<g(x) D.f(x)<h(x)<g(x)

x

1 3





a2 ? x2 (a>0)的定义域是 x ?x
B.[-a,0]∪(0,a) D.[-a,0]





A.[-a,a] C.(0,a) 9.lgx+lgy=2lg(x-2y),则 log 2 A.{1}

x 的值的集合是 y
C.{1,0}
-1-

( D.{2,0}



B.{2}

10.函数 y ?

x x

? x 的图象是





二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.按以下法则建立函数f(x):对于任何实数x,函数f(x)的值都是3-x与x2-4x+3中的最大者, 则函数f(x)的最小值等于 . 12.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出四个命题: ① c ? 0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; ② b ? 0, c ﹥0 时,方程 f ( x) ? 0 ,只有一个实数根; ③ y ? f ( x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 ,至多有两个实数根. 上述四个命题中所有正确的命题序号是 则人口的年平均自然增长率 p 的最大值是 。 13. 我国 2000 年底的人口总数为 M, 要实现到 2010 年底我国人口总数不超过 N (其中 M<N) , . 14.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得几次测量分别得a1,a2,?,an,共n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较, a与各数据的差的平方和最小,依此规定,从a1,a2,?,an推出的a= 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12分)已知 log32 9 ? p, log27 25 ? q ,试用p,q表示lg5. .

16. (12分)已知a,b∈R+,函数 f ( x) ?

a x ?1 ? b x ?1 ( x ? R) . ax ? bx

(1)判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;

a2 ? b2 (2)比较 与 ab 的大小. a?b

-2-

17. (12 分)已知函数 y ? b ? a x ymin=

2

?2 x

(a、b 是常数且 a>0,a≠1)在区间[-

3 ,0]上有 ymax=3, 2

5 ,试求 a 和 b 的值. 2

18. (12分)已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1) (1)若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围及f(x)的值域; (2)若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围及f(x)的定义域.

19. (14分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是

?t ? 20, p?? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关 25 ? t ? 30, t ? N .

系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售 金额最大的一天是30天中的第几天?

-3-

20. (14分)已知函数f(x)是 y ?

2 10 ? 1
x

? 1 (x ? R)的反函数,函数g(x)的图象与函数

y??

1 的图象关于直线x=-2成轴对称图形,设F(x)=f(x)+g(x). x?2

(1)求函数F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直?若存 在,求出 A,B 坐标;若不存在,说明理由.

参考答案(9)
一、BAACD 二、11.0; 三、 15. 解: p ?
2 q 3 3 2 q? 2 5p

CBDBD 12.①②③; 13. 10

N -1; M

14.

a1 ? a 2 ? ? ? a n ; n

log3 5 log3 5 2 2 log 2 3, q ? log 3 5 , lg5= ? 5 3 log3 10 log3 5 ? log3 2
15 pq . 15 pq ? 4

?

?

16. 解:(1)∵ f ( x) ? f ( y) ?

(a ? b)(a x ? y ? b x? y ) a y b y ,当a≠b时,f(x)为递增函数;当a=b时,f(x)为常数 (a x ? b x )(a y ? b y )

函数.

(2)

ab ?
2

a2 ? b2 a?b
x∈[-

.

17.解:令 u=x +2x=(x+1) -1

2

3 2

,0]

∴当 x=-1 时,umin=-1

当 x=0 时,umax=0

-4-

?b ? a 0 ? 3 ?a ? 2 ? 1)当a ? 1时? 5 解得? ?1 ?b ? 2 ?b ? a ? 2 ? ? ?b ? a ?1 ? 3 a? ? ? ? 2)当0 ? a ? 1时? 解得 ? 5 0 ?b ? a ? ?b ? 2 ? ? ? ? ?a ? ?a ? 2 ? 综上得? 或? ?b ? 2 ?b ? ? ? 2 3 . 3 2

2 3 2 2

2 18.解: (1)因为f(x)的定义域为R,所以ax +2x+1>0对一切x ? R成立.

由此得 ?

?a ? 0, 解得a>1. ?? ? 4 ? 4a ? 0,
a

2 又因为ax +2x+1=a(x+

1 a

)+1-

1 a

>0,

2 所以f(x)=lg(a x +2x+1)

? lg(1- 1 ),所以实数a的取值范围是(1,+ ? ) ,

f(x)的值域是 ?lg?1 ? 1 ?,?? ? ? ? ? a? ? ? ? ? ? 2 ( 2 ) 因为f(x)的值域是R,所以u=ax +2x+1的值域 ? (0, + ? ). 当a=0时,u=2x+1的值域为R ? (0, + ? ); 2 ?a ? 0, 当a≠0时,u=ax +2x+1的值域 ? (0, + ? )等价于 ? ? 4a ? 4 ? 0. ? ? 4a 解之得0<a ? 1. 所以实数a的取值范围是[0.1] 当a=0时,由2x+1>0得x>-

1 2

,

f (x)的定义域是(-

1 2

,+ ? );

2 当0<a ? 1时,由ax +2x+1>0

解得 x ? ? 1 ? 1 ? a 或x ? ? 1 ? 1 ? a

a

a

f (x)的定义域是 ? ? ?,?

? ? ?

? 1? 1? a ? ? 1? 1? a . ? ? ?? ,?? ? ? ? ? a a ? ? ?

19.解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q.

??t 2 ? 20t ? 800, ? ?y ?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000,
??(t ? 10) 2 ? 900, ? ?? 2 ? ?(t ? 70) ? 900,
当0 ? t

0 ? t ? 2 5t , ?N , 2 5? t ? 3 0t, ? N .

0 ? t ? 2 5t , ?N , 2 5? t ? 3 0t, ? N .

? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900(元); ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125(元) .

当 25 ? t

-5-

由1125>900,知ymax=1125(元) ,且第25天,日销售额最大. 20.解:(1)F(x)定义域为(-1,1) 则y1-y2 =F(x1)-F(x2)= lg (2)设F(x)上不同的两点A(x1,y2),B(x1 y2),-1< x1< x2<1

1 ? x1 1 ? x2 1 1 ? ? lg ? ? 1 ? x1 x1 ? 2 1 ? x2 x2 ? 2

? 1 ? x1 1 ? x2 ? ? 1 x2 ? x1 1 ? = ? 1 ? x2 1 ? x1 ? . lg? ? 1? x ?1? x ? ? ? ( x ? 2)(x ? 2) ?1? x ? 1? x ? ??? ? x ? 2 ? x ? 2? ? lg? 1 2 ? 1 2 1 2 ? 2 ? ? 1 ? ?
由-1< x1< x2<1 得

1 ? x2 1 ? x1 ? 1, ? 1, x2 ? x1 ? 0, ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0, 1 ? x1 1 ? x2
y1> y2,

所以 lg?

? 1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? x1 ? 1? x ?1? x ? ? ? 0, ( x ? 2)(x ? 2) ? 0, 1 2 ? 1 2 ?

即F(x)是(-1,1)上的单调减函数, 故不存在A,B两点,使AB与y轴垂直.

-6-


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