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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第五章 第3讲 等比数列及其前n项和


第 3 讲 等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,定义的表达式为 an+1 =q. an (2)等比中项: 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即

:G 是 a 与 b 的等比中 项?a,G,b 成等比数列?G2=ab. 2.等比数列的有关公式 - (1)通项公式:an=a1qn 1. ?na1,q=1, (2)前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和.(m,n,p,q,r,k∈N*) (1)若 m+n=p+q=2r,则 am·an=ap·aq=a2 r; (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列; (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠-1). [做一做] 1.(2014· 高考重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 a6 a9 解析:选 D.设等比数列的公比为 q,因为 = =q3,即 a2 6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成 a3 a6 等比数列.故选 D. 2.(2014· 高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 解析:因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消 去 a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 答案:4 1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不能为 0,但 q 可为正数,也可为负数. (2)由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽 略 q=1 这一特殊情形而导致解题失误. 2.等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. an - (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. 2 (3)等比中项法:an+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列. 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,an,

?

Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在解题 中根据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn= a1(1-qn) na1;当 q≠1 时,Sn= ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1-q [做一做] 3. (2015· 海淀区第二学期期中练习)在数列{an}中, “an=2an-1, n=2, 3, 4, ?” 是“{an} 是公比为 2 的等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 an=0 时,也有 an=2an-1,n=2,3,4,?,但{an}是等差数列,不是 an 等比数列, 因此充分性不成立. 当{an}是公比为 2 的等比数列时, 有 =2, n=2, 3, 4, ?, an-1 即 an=2an-1,n=2,3,4,?,所以必要性成立.故选 B. 4.若等比数列{an}满足 a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:由题意 a2+a5=q(a1+a4),得 20=q×10,故 q=2,代入 a1+a4=a1+a1q3=10, 10 得 9a1=10,得 a1= . 9 10 (1-2n) 9 10 故 Sn= = (2n-1). 9 1-2 10 n 答案: (2 -1) 9

考点一__等比数列的基本运算(高频考点)________ 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度 适中,属中、低档题. 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度: (1)求首项 a1、公比 q 或项数 n;(2)求通项或特定项;(3)求前 n 项和. (1)(2015· 江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数, 其前 n 项和 为 Sn,若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k=________. (2)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公 式 an=________. (3)(2014· 高考重庆卷节选)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和.设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公 式及其前 n 项和 Tn. a3 [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,由已知 a1=1,a3=4,得 q2= =4.又{an}的各 a1 k 1-2 项均为正数,∴q=2.而 Sk= =63,∴2k-1=63,解得 k=6. 1-2 (2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q, ∵a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1, 2 8 9 ? a ① ? 1·q =a1·q , ? ∴ 2 ?2(1+q )=5q, ② ? 由①得 a1=q,

1 由②知 q=2 或 q= , 2 又数列{an}为递增数列,∴a1=q=2,从而 an=2n. [答案] (1)6 (2)2n (3)解:因为{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 an=a1+(n-1)d=2n-1, n(a1+an) Sn=1+3+?+(2n-1)= 2 n(1+2n-1) 2 = =n . 2 所以 a4=7,S4=16. 因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, - - - 所以 bn=b1qn 1=2· 4n 1=22n 1. b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 3 1-q [规律方法] 等比数列运算的通法: 与等差数列一样, 求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法. 从方程的观点看等 na , q = 1 ? 1 比数列的通项公式 an=a1· qn 1(a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn=?a1(1-qn) 中共有五个 ? 1-q ,q≠1 ? 变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方程组求另外两个变量,在求公比 q 时, 要注意应用 q≠0 验证求得的结果. 1.(1)(2015· 北京海淀模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1, S2+a2,S3 成等差数列,则数列{an}的公比为( ) A.1 B.2 1 C. D.3 2 (2)(2015· 河北唐山高三统考)在公比大于 1 的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27, 则 a12=( ) A.96 B.64 C.72 D.48 (3)(2015· 东北三校第二次模拟)已知数列{an}满足 2an+1+an=0,a2=1,则数列{an}的前 10 项和 S10 为( ) 4 10 4 A. (2 -1) B. (210+1) 3 3 4 -10 4 - C. (2 -1) D. (2 10+1) 3 3 解析:(1)选 D.因为 S1,S2+a2,S3 成等差数列,所以 2(S2+a2)=S1+S3,2(a1+a2+a2) =a1+a1+a2+a3,a3=3a2,q=3. (2)选 A.由题意及等比数列的性质知 a3a7=a2a8=72,又 a2+a8=27,∴a2,a8 是方程 x2 -27x+72=0 的两个根, ? ?a2=24 ? ?a2=3, ∴? 或? 又公比大于 1, ? ? ?a8=3 ?a8=24, ?a2=3, ? ∴? ∴q6=8,即 q2=2,∴a12=a2q10=3×25=96. ? a = 24 , ? 8 an+1 1 (3)选 C.∵2an+1+an=0,∴ =- . an 2


?

1 又 a2 = 1 ,∴ a1 =- 2 ,∴ {an} 是首项为- 2 ,公比为 q =- 的等比数列,∴ S10 = 2 - a1(1-q10) -2(1-2 10) 4 -10 = = (2 -1),故选 C. 1 3 1-q 1+ 2 考点二__等比数列的判定与证明________________ (2015· 东北三校联考 ) 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = 2an + ( -

1) (n∈N ). (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3; 2 (2)求证:数列{an+ (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式. 3 [解] (1)在 Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令 n=1,2,3 得: ?a1=2a1-1 ?a1=1

n

*

(2)证明:由 Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得 - Sn-1=2an-1+(-1)n 1(n≥2),两式相减得: n an=2an-1-2(-1) (n≥2), 4 2 4 2 - an=2an-1- (-1)n- (-1)n=2an-1+ (-1)n 1- (-1)n(n≥2), 3 3 3 3 2 2 n n-1 ∴an+ (-1) =2[an-1+ (-1) ](n≥2). 3 3 2 2 1 故数列{an+ (-1)n}是以 a1- = 为首项,公比为 2 的等比数列. 3 3 3 2 1 - ∴an+ (-1)n= ×2n 1, 3 3 - 2n 1 2 1 n-1 2 n an= ×2 - (-1) = - (-1)n. 3 3 3 3 在本例条件下,若数列{bn}满足 b1=a1,bn=an+an+1.证明:{bn}是等比数 列. - 2n 1 2 证明:∵an= - (-1)n, 3 3 - 2n 1 2 2n 2 + - ∴bn=an+an+1= - (-1)n+ - (-1)n 1=2n 1. 3 3 3 3 又 b1=a1=1, bn+1 ∴ =2, bn ∴数列{bn}是等比数列. [规律方法] 等比数列的判定方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法, 其他方法只用于选择题、 填空题中 的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2 2.已知数列{an}满足:a1=λ,an+1= an+n-4,其中 λ 为实数,n 为正 3 整数.对任意实数 λ,证明:数列{an}不是等比数列. 2 2 ? ? ?4λ-4?, λ - 3 证明: 假设存在一个实数 λ, 使{an}是等比数列, 则有 a2 = a a , 即 = λ 2 1 3 ?3 ? ?9 ? 4 2 4 2 故 λ -4λ+9= λ -4λ,即 9=0,矛盾,所以{an}不是等比数列. 9 9 考点三__等比数列的性质______________________

? ? ?a1+a2=2a2+1 ,解得?a2=0. ? ? ?a1+a2+a3=2a3-1 ?a3=2

1 (1)(2015· 昆明三中、玉溪一中统考)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则 Tn= a1a2 1 1 + +?+ 的结果可化为( ) a2a3 anan+1 1 1 A.1- n B.1- n 4 2 1 1 2 2 1- n? 1- n? C. ? D. ? 3? 4 ? 3? 2 ? (2)(2015· 山西省第三次四校联考)等比数列{an}满足 an>0, n∈N*, 且 a3· a2n-3=22n(n≥2), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 S4 S8 (3)(2015· 山西省第二次四校联考)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =5,则 = S2 S4 ________. n 1? ?1? ? 1 - 2? ?4? ? 1 1 1 1 1 - [解析] (1)依题意, an=2n 1, = n-1 所以 Tn= = n= 2n-1= × n-1, 2 1 anan+1 2 ·2 2 4 1- 4 n 2? ?1? ? ,故选 C. 3?1-?4? ? 2n n (2)由等比数列的性质,得 a3·a2n-3=a2 n=2 ,从而得 an=2 . log2a1+log2a2+?+log2a2n-1 =log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)?(an-1an+1)an] - =log22n(2n 1)=n(2n-1). a3+a4 S4 S8 (3)设数列{an}的公比为 q,由已知得 =1+ =5,1+q2=5,所以 q2=4, =1 S2 S4 a1+a2 a5+a6+a7+a8 + =1+q4=1+16=17. a1+a2+a3+a4 [答案] (1)C (2)A (3)17 [规律方法] (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别 是性质“若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq” ,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此 外,解题时注意设而不求思想的运用. a3 9 3.(1)在等比数列中,已知 a1a3 的值为( ) 8a15=243,则 a11 A.3 B.9 C.27 D.81 (2)(2015· 长春调研)在正项等比数列{an}中, 已知 a1a2a3=4, a4a5a6=12, an-1anan+1=324, 则 n=( ) A.11 B.12 C.14 D.16 (3)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 解析:(1)选 B.设数列{an}的公比为 q, 2 ∵a1a3 8a15=243,a1a15=a8,∴a8=3, 3 3 3 a9 a8q ∴ = =a2=9. a11 a8·q3 8 (2)选 C.设数列{an}的公比为 q, 3 3 12 由 a1a2a3=4=a3 1q 与 a4a5a6=12=a1q , 9 3 3n-3 可得 q =3,an-1anan+1=a1q =324,

因此 q3n 6=81=34=q36, 所以 n=14,故选 C. (3)选 C.由等比数列的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9 -S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4


,[学生用书 P94~P95]) 方法思想——分类讨论思想在求数列前 n 项和中的应用 (2015· 江苏常州模拟)如果有穷数列 a1,a2,a3,?,am(m 为正整数)满足 条件 a1=am,a2=am-1,?,am=a1,即 ai=am-i+1(i=1,2,?,m),我们称其为“对称数 列”.例如,数列 1,2,3,4,3,2,1 与数列 a,b,c,c,b,a 都是“对称数列”. (1)设{bn}是 8 项的“对称数列”,其中 b1,b2,b3,b4 是等差数列,且 b1=1,b5=13. 依次写出{bn}的每一项; (2)设{cn}是 2m+1 项的“对称数列”,其中 cm+1,cm+2,?,c2m+1 是首项为 a,公比为 q 的等比数列,求{cn}的各项和 Sn. [解] (1)设数列{bn}的公差为 d,b4=b1+3d=1+3d. 又因为 b4=b5=13,解得 d=4, 所以数列{bn}为 1,5,9,13,13,9,5,1. (2)Sn=c1+c2+?+c2m+1=2(cm+1+cm+2+?+c2m+1)-cm+1=2a(1+q+q2+?+qm)-a + 1-qm 1 =2a· -a(q≠1). 1-q 而当 q=1 时,Sn=(2m+1)a. (q=1) ?(2m+1)a . 1-qm 1 2 a · -a (q≠1) ? 1-q ? [名师点评] (1)本题是新定义型数列问题,在求等比数列{cn}前 n 项和时用到了分类讨 论思想. (2)分类讨论思想在数列中应用较多,常见的分类讨论有: ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况; ②项数的奇、偶数讨论; ③等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. (2014· 高考山东卷)在等差数列{an}中,已知公差 d=2, a2 是 a1 与 a4 的等比 中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an(n+1),记 Tn=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn.


∴Sn=?

?

2

解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知 bn=an(n+1)=n(n+1),
2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn·(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn) n (4+2n) 2 n(n+2) =4+8+12+?+2n= = , 2 2

(n-1)(n+1) (n+1)2 当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)= -n(n+1)=- . 2 2 2 (n+1) - ,n为奇数, 2 所以 Tn= n(n+2) , n为偶数. 2

? ? ?

1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( ) n n 3? 2? A.4×? B.4×? ?2? ?3? n-1 3?n-1 ?2? C.4×? D . 4 × ?2? ?3? 3?n-1 3 解析:选 C.(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,a1=4,q= ,故 an=4×? ?2? . 2 2.(2015· 山东淄博期末)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a2 5,a2=2,则 a1 =( ) 1 2 A. B. 2 2 C. 2 D.2 2 解析:选 C.由等比数列的性质得 a3a9=a6 =2a2 5, ∵q>0, a6 a2 ∴a6= 2a5,q= = 2,a1= = 2,故选 C. a5 q 3.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log1(a5+a7+a9)
3

的值是( ) 1 1 A. B.- 5 5 C.5 D.-5 解析:选 D.由 1+log3an=log3an+1(n∈N*),得 an+1=3an,即数列{an}是公比为 3 的等比 数列.设等比数列{an}的公比为 q,又 a2+a4+a6=9,则 log1(a5+a7+a9)=log1[q3(a2+a4+
3 3

a6)]=log1(33×9)=-5.
3

4.(2015· 四川广元质检)等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an} 的前 4 项和 S4=( ) A.-20 B.15 15 20 C. D. 2 3 解析:选 C.因为 an+2+an+1=6an, 所以 q2+q-6=0, 1 即 q=2 或 q=-3(舍去),所以 a1= . 2 1 (1-24) 2 15 则 S4= = . 2 1-2 5.已知数列{an},则有( ) n * A.若 a2 n=4 ,n∈N ,则{an}为等比数列 * B.若 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,则{an}为等比数列 + C.若 am·an=2m n,m,n∈N*,则{an}为等比数列

D.若 an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,则{an}为等比数列 n * 解析:选 C.若 a1=-2,a2=4,a3=8,满足 a2 n=4 ,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 * A 错;若 an=0,满足 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 B 错;若 an=0, + * 满足 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 D 错;若 am·an=2m n,m,n + + am·an+1 an+1 2m n 1 ∈N*,则有 = = m+n =2,则{an}是等比数列. an am·an 2 6. (2013· 高考北京卷)若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 解析:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则: 由 a2+a4=20 得 a1q(1+q2)=20.① 由 a3+a5=40 得 a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得 q=2,a1=2. a1(1-qn) 2(1-2n) n+1 故 Sn= = =2 -2. 1-q 1-2 + 答案:2 2n 1-2 7.(2014· 高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+?+ln a20=________. 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以 a10a11=e5. 所以 ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2?a20)=ln[(a1a20)· (a2a19)· ?· (a10a11)]=ln(a10a11)10 5 =10ln(a10a11)=10ln e =50ln e=50. 答案:50 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=1(n∈N*),则通项公式 an=________. 解析:∵an+Sn=1,① 1 ∴a1= , 2 an-1+Sn-1=1,(n≥2)② an 1 ①-②可得 an-an-1+an=0,即得 = , an-1 2 1 1 ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 1 ?1?n-1 1 则 an= ×?2? = n. 2 2 1 答案: n 2 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ? ?a1+d=2 则由已知得? , ?a1+4d=8 ? ∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4. ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数, ∴q=2. b1(1-qn) 1×(1-2n) n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 10.(2015· 陕西宝鸡质检)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2), ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又 a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15, ∴an+2an-1≠0(n≥2), an+1+2an ∴ =3(n≥2), an+2an-1 ∴数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列. - (2)由(1)得 an+1+2an=15×3n 1=5×3n, 则 an+1=-2an+5×3n, + ∴an+1-3n 1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2,∴an-3n≠0, ∴{an-3n}是以 2 为首项,-2 为公比的等比数列. - ∴an-3n=2×(-2)n 1, - 即 an=2×(-2)n 1+3n(n∈N*). bn+1 1.(2015· 山东莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=3,an+1-an= =3,n∈N*, bn 若数列{cn}满足 cn=ban,则 c2 015=( ) A.92 014 B.272 014 2 015 C.9 D.272 015 解析:选 D.由已知条件知{an}是首项为 3,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为 3, 公比为 3 的等比数列, ∴an=3n,bn=3n. 又 cn=ban=33n, × ∴c2 015=33 2 015=272 015. 2.(2015· 广东珠海质量监测)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有 偶数项和 S 偶=-126,末项是 192,则首项 a1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.设等比数列{an}共有 2k+1(k∈N*)项,则 a2k+1=192,则 S 奇=a1+a3+?+ 1 1 126 a2k-1+a2k+1= (a2+a4+?+a2k)+a2k+1= S 偶+a2k+1=- +192=255,解得 q=-2,而 q q q a1-a2k+1q2 a1-192×(-2)2 S 奇= = =255,解得 a1=3,故选 C. 1-q2 1-(-2)2 3. (2015· 北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m, n∈N*, an+m 都有 =an,则 a3=________;{an}的前 n 项和 Sn=________. am an+m 解析:∵ =an, am ∴an+m=an· am, ∴a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=23=8; 令 m=1, 则有 an+1=an·a1=2an, ∴数列{an}是首项为 a1=2,公比 q=2 的等比数列, 2(1-2n) n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 + 答案:8 2n 1-2 4.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 1 * a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 2

1 1 解析:由条件得:f(n)· f(1)=f(n+1),即 an+1=an· ,所以数列{an}是首项与公比均为 2 2 n 1 1 ? 的等比数列,求和得 Sn=1-? ?2? ,所以2≤Sn<1. 1 ? 答案:? ?2,1? 1 5.(2015· 江西南昌模拟)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn, 2 且 a4+S4,a5+S5,a6+S6 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N*,在 an 与 an+1 之间插入 3n 个数,使这 3n+2 个数成等差数列,记插入的这 3n 个数的和为 bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)因为 a4+S4,a5+S5,a6+S6 成等差数列, 所以 a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 即 2a6-3a5+a4=0, 所以 2q2-3q+1=0, 因为 q≠1, 1 所以 q= , 2 1 所以等比数列{an}的通项公式为 an= n. 2 an+an+1 n (2)bn= ·3 2 n 3 3? = ? , 4?2? 3 ?3?n+1 - 3 2 ?2? Tn= × 4 3 1- 2 9??3?n ? = 2 -1 . 4?? ? ? 6.(选做题)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是 q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求 an 与 bn;
an

(2)设 cn=3bn-λ· 2 3 ,若数列{cn}是递增数列,求 λ 的取值范围. ? ?q+3+a2=12, 解:(1)由已知可得? 2 ?3+a2=q , ? 2 所以 q +q-12=0, 解得 q=3 或 q=-4(舍去),从而 a2=6, - 所以 an=3n,bn=3n 1. (2)由(1)知,cn=3bn-λ· 2 3 =3n-λ· 2n. 由题意,cn+1>cn 任意的 n∈N*恒成立, + + 即 3n 1-λ· 2n 1>3n-λ· 2n 恒成立, n ?3? 恒成立. 亦即 λ· 2n<2·3n 恒成立,即 λ<2· ?2? n 3 ? 由于函数 y=? ?2? 是增函数, 3 n 3 所以?2·?2? ? =2× =3, 2 ? ? ? ?min 故 λ<3,即 λ 的取值范围为(-∞,3).
an


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