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高中数学北师大版必修5配套课件:1-3-2 第2课时《等比数列》习题课


第2课时 等比数列习题课

1.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 2.体会数学建模的思想.

等比数列前n项和公式

? na1 , ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q = 1 n . ? 1? q ? 1? q

? q ? 1? ? q ? 1?


例 1:一个热气球在第一分上升了 25m 的高度,在以后的每一分里,它上升的高度 都是它在前一分上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125m 吗?
解: 用 an 表示热气 球在第 n 分上升的 高度,由题 意 , 得

4 an ?1 ? an , 5 4 因此,数列 {an } 是首项 a1 ? 25 ,公比 q ? 的等比数列. 5
热气球在 n 分时间里上升的总高度

a1 (1 ? q n ) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1? q

4 n 25 ? [1 ? ( ) ] 4 n 5 ? ? 125 ? [1 ? ( ) ] ? 125 4 5 1? 5

答:这个热气球上升的高度不可能超过125m.

例 2 如图所示,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内 作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求 前 n 个内切圆的面积和.
解:设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an . 因为从第 2 个正三角形开始,每一个正三角形

1 的边长是前一个正三角形边长的 ,每一个正三角形内 2 1 切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的 , 2 1 1 3 3 ? 故 a1 ? a tan 30 ? a ? ? a, 2 2 3 6

1 a2 ? a1 , 2 ? 1 an ? an ?1 2
1 3 数列 {an } 是首项为 a ,公比为 的等比数列. 2 6

3 1 n ?1 ?( ) a . 所以 an ? 6 2
设前 n 个内切圆的面积和为 Sn ,则

2 2 Sn ? ? (a12 ? a2 ??? an )

1 1 1 ? ? a12 [1 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ( n ?1 ) 2 ] 2 4 2 1 1 1 ? ? a12 [1 ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ] 4 4 4

4 a2 1 ? ? (1 ? 2 n )? 3 12 2 a2 1 ? (1 ? 2 n )? . 9 2

a2 1 (1 ? 2 n )? . 答:前 n 个内切圆的面积和是 9 2

1008 1. 等比数列1,2,4,8,…从第5项到第10项的和为_____.
解析:方法一 1 ? 210 1 ? 24 S ? S10 ? S4 ? ? =1008; 1? 2 1? 2

方法二

1? q ??????????????????????=????.

S?

a5 ?1 ? q 6 ?

?

24 ?1 ? 26 ? 1? 2

2. 某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨,如果平均每年的产量比上 一年增加 10%,那么从第 1 年起,约几年内可使总产量达到 30 万 吨(保留到个位)?
解:设每年的产量组成一个等比数列{an},其中 a1=5, q=1+10%=1.1,Sn=30 5(1-1.1 ) n ∴ =30,整理可得:1.1 =1.6, 1-1.1 lg1.6 两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6,即:n= ≈5 lg1.1 答:约 5 年内可以使总产量达到 30 万吨.
n

1.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题.

2.学会数学建模的过程.

智者不只发现机会,更要创造机会。——培根


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