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江苏省大丰市新丰中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


2015-2016 学年第一学期期末考试
高一年级数学试题 命题人 奚圣兰

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题纸相应位置上。 ) 1、设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A ? B= . 1 ? 2、函数 y ? sin( x ? ) 的周期为 . 2 4

r />3、已知幂函数 y ? f ( x ) 图象过点 (2, 2 ) ,则 f (9) = 4、集合 .

?1, 2? 共有

个子集. .

→ → → 1→ → 5、在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2D B ,CD= CA+λ CB,则λ = 3 6、已知点 P(1,2) 在 ? 终边上,则

6sin ? ? 8cos ? 3sin ? ? 2 cos ?



.

7、已知平面向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2, n? ,若 a ? b ? a ? b ,则 n ? ______ . π? 2 ? 8、已知 sin 2α =3,则 cos2 α + 4 =________. ? ? 9、函数 f(x)=Asin (ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解 析式为 .

?

?

? -2≤x≤0, ?-1, 10、设函数 f(x)=? ?x-1, 0<x≤2, ?

若函数 g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函

数,则实数 a 的值为 11、若函数 值为



f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ( ?


? 0 )的图象关于直线 x ?

π 对称,则θ 的最小 6

12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 λ 的值为 .

=(3,﹣1),

=(0,2).若

?

=0,



,则实数

13 、 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) = ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R,若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为 ?2? ?2?
sin ? , 则 tan? 的最大值是 sin ?
.



14、已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 )
15、 (本小题满分 14 分)记函数 f ( x) ? lg(3 ? x) ?

x ? 1 的定义域为集合 A,

g( x) ? 2 x ? a 的值域为集合 B.
(1) 若 a ? 2, 求 A ? B 和 A ? B ; (2) 若 A ? B ? B , 求 a 的取值范围.

16、 (本小题满分 14 分)已知向量 a ? ?6,2?, b ? ?? 2, k ? , k 为实数 (1) 若 a // b ,求 k 的值; (2) 若 a ? b ,求 k 的值; (3) 若 a 与 b 的夹角为钝角,求 k 的取值范围.

π 17、 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ )(0<φ <2π )的图象过点( ,-2). 2

(1)求φ 的值; α 6 π π (2)若 f( )= ,- <α <0,求 sin(2α - )的值. 2 5 2 6

18. (本小题满分 16 分)如图所示,某住宅小区有一个矩形休闲广场 ABCD,其中 AB=40 米,

BC=30 米,根据小区业主建议,需将其扩大成矩形区域 EFGH,要求 A、B、C、D 四个点分别
在矩形 EFGH 的四条边(不含顶点)上.设∠BAE=θ ,EF 长为 y 米. (1)将 y 表示成θ 的函数;
H D G C

(2)求矩形区域 EFGH 的面积的最大值.
F A θ E (第 18 题图) B

1 2 19、 (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)= 3sin ω x·cos ω x+cos ω x- (ω >0),其最小 2

π 正周期为 . 2 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 8 坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, 有一个实数解,求实数 k 的取值范围. π ]上有且只 2

x 20、 (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? a x ? (k ?1)a ? ( a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 值;
2 (2)若 f (1) ? 0 ,试判断函数单调性,并求使不等式 f ( x ? x) ? f (t ? 2 x) ? 0 恒成立的 t 的

取值范围; (3)若 f ?1? ? 的值.

3 ,设 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x) , g ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?1 ,求 m 2

2015-2016 学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷答案 一、填空题 1、 {2} 3、 3 2 5、 3 7、3 π? ? 9、f(x)= 2sin?2x+ ? 3? ? 2? 11、 3 13、-10 二、解答题
1 2、 ? 4 4、4

6、5 8、
1 6

10、 12、2 14、
2 4

1 2

?3 ? x ? 0 15、 (1)由 ? ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? [1,3). ?x ? 1 ? 0
若 a ? 2, 则 B ? (2,??) 所以, A ? B ? (2,3).A ? B ? [1,??). (2) A ? [1,3). B ? (a,??)
? A ? B ? B,? A ? B ,

…………………2 分

……………………………4 分 ……………………………8 分 ………………………………10 分 ………………………………12


? a ? 1 ,则 a 的取值范围是 (??,1).

……………………………14



17、 (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ )(0<φ <2π )的图象过点( π )=2sin(π +φ )=-2,即 sinφ =1. 2

π ,-2), 2

所以 f( 分

…………………… 4

因为 0<φ <2π ,所以φ = 分

π . 2

………………………………… … 6

(2)由(1)得,f(x)=2cos2x. 分 因为 f( α 6 3 )= ,所以 cosα = . 2 5 5

…………………………………… 8

又因为- 分

π 4 <α <0, 所以 sinα =- . 2 5

…………………………… 10

所以 sin2α =2sinα cosα =- 分 从而 sin(2α - 14 分 18、

24 7 2 , cos2α =2cos α -1=- . ……… 12 25 25

π π π 7-24 3 )=sin2α cos -cos2α sin = . 6 6 6 50



19、解

(1)f(x)= 3sin ω x·cos ω x+cos2ω x- =

1 2

3 cos 2ω x+1 1 π sin 2ω x+ - =sin(2ω x+ ), 2 2 2 6 π 2π π π ,T= = = , 2 2ω ω 2 π ). 6

由题意知 f(x)的最小正周期 T=

所以ω =2,所以 f(x)=sin(4x+ (2)将 f(x)的图象向右平移

π π 个单位长度后,得到 y=sin(4x- )的图象;再将 8 3 π ) 3

所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin(2x- 的图象,所以 g(x)=sin(2x- 因为 0≤x≤ π ), 3

π π π 2π ,所以- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 3 ,1] 2 π ]上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 2

所以 g(x)∈[-

又 g(x)+k=0 在区间[0,

π 3 3 在区间[0, ]上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k 2 2 2 =1, 解得- 3 3 <k≤ 或 k=-1, 2 2

所以实数 k 的取值范围是(-

3 3 , ]∪{-1}. 2 2

20、 解: (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0, ∴k=0, …………………… 2分 (2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1), 由 f (1) ? 0 得到 a ? 1 ,
? a x 单调递增, a ? x 单调递减,故 f(x)在 R 上单调递增。 ……………………4 分

不等式化为 f ( x 2 ? x) ? f (2 x ? t ) ,? x 2 ? x ? 2 x ? t ,? x 2 ? x ? t ? 0 恒成立, ……6 分
? ? ? ? 1 ? 4t ? 0 , t 的取值范围为 ?t t ? ? 1? ?; 4?

……………………8 分

1 3 1 3 (3)∵f(1)= ,? a ? ? ,即 2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去)。 …………10 2 2 a 2

分 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令 t=f(x)=2x-2-x, 3 由(1)可知 f(x)=2x-2-x 为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)= , 2 令 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 分 3 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-1,∴m= ? 3 ,∴m= 3 2 3 3 17 7 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-1,解得 m= > ,舍去。 2 2 4 4 2 3 (t≥ ) 2 ……………………12

综上可知 m= 3

…………………16 分.

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