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2014年上海市普通高中学业水平模拟考试(答案)


2014 年上海市普通高中学业水平模拟考试
数学试卷(答案)
学校 (本卷满分 120 分 班级 考试时间 90 分钟) 姓名 得分

一、填空题(本大题满分 36 分) 1、已知集合 A= ?1, 2? , B ? ?3, a? ,且 A ? B ? ?2? ,则 a ? 2、不等式 1 ? 2 ? 10 的整数解有
x

/>
2



3

3、函数 f ? x ? ? sin x 的值域为 4、圆 x2 ? 4 x ? y 2 ? 5 的半径是 5、若球面的面积为 36? ,则球的半径为

?0,1?
3 3 4
2 2 2

6、若直线 x ? my ? 0 与直线 4 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 m ?

7、在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 b ? a ? c ? ac ,则 B ?

? 3

1? ? 8、在 ? x ? ? 的二项展开式中,所有项的系数之和值为 x? ?
13 102

6

64

9、从一副混合后的扑克牌(52 张,不含大小鬼)中随机抽取 2 张,则“抽出 1 张红桃、1 张黑桃”的概 率为____________(结果用最简分数表示) 10、设

f ? x ? 是定义在 R 上的函数,且满足 f ? x ? 3? ? f ? x ? ,
2m ? 3 ,则实数 m 的取值范围是 m ?1

f ?1? ? 0, f ? 4 ? ?
11、已知偶函数

? 3? ? ?1, ? ? 2?

f ? x ? 在 ?0, 2? 内单调递减,若 a ? f ? ?1? , b ? f ? 2? ,

则 a , b 之间的大小关系为______________ b ? a 12、定义某种新运算 ? : S ? a ? b 的运算原理如右流程图, 则 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2012 ? 2014 ?

2013 2014
二、选择题(本大题满分 36 分) 13、设四边形 ABCD 中,有 DC ?

????

? ???? ? ? ???? 1 ??? AB 且 AD ? BC ,则这个四边形是 2

( C ) D、菱形

A、平行四边形; B、矩形; C、等腰梯形; 14、一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表

1

组别 频数

(0,10]
12

(10, 20]
13

(20,30]
24

(30, 40]
15

(40,50]
16

(50,60]
13

(60,70]
7 ( C )

则样本数据落在 (10, 40] 上的频率为 A、0.13; B、0.39; C、0.52;

D、0.64 ( C ) D、 ? 0,5? ( D ) D、3 ( B )

15、若函数 y ? f ?1 ? x ? 的图像经过点 ? ?2,0 ? ,则函数 y ? f ? x ? ? 5 的图像经过点 A、 ? 0, ?2 ? ; 16、把矩阵 ? A、 ?3 ; B、 ? 5, ?2? ; C、 ? 0,3? ;

? 0 1 5? ?1 0 x ? ? 变为 ? ? 后,与 x ? y 对应的值是 ?1 0 8? ?0 1 y?
B、13; C、2;

17、直线 y ? 1 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的夹角为 A、

?
2

? arctan

1 ; 2

B、 arctan

1 ; 2

C、

?
2

? arctan

1 ; 2

D、 ? ? arctan

1 2
( A )

18、三棱锥的四个面中,任两个面的位置关系是 A、相交; 19、方程 x ? B、平行; C、异面; D、不确定

y ? 0 所表示的大致图像是
y y y y

( D )

0

x x
0

0

x
0

x

A
20、 “? ?

B

C

D

?
2

”是“函数 y ? sin ? x ? ? ? 为偶函数的” B、必要不充分条件; C、充要条件;

( A ) D、既不充分也不必要条件 ( B )
x
1

A、充分不必要条件;

21、下列四个函数中,在区间 ? 0,1? 上是减函数的是 A、 y ? x ?1 ;

1 B、 y ? ; x

?1? C、 y ? ? ? ? ; ?2?

D、 y ? x 3

2

an 2 22、设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 2 ,首项是 0,前 n 项和为 Sn ,则 lim ? n?? S n
A、1; B、2;
2

( D ) D、4

C、3;

23、若 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? m x ? n ? 0 的一根,则抛物线 y 2 ? mnx 的焦点坐标是( B ) A、 ? 5,0 ? ; B、 ? ?5,0? ; C、 ? 0, ?5? ; D、 ? 0,5? ( B )

24、实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 ?1 ? xy ??1 ? xy ? 的

1 ,最大值是 1; 2 3 C、最小值是 ,无最大值; 4
A、最小值是
2 2 2 2

B、最小值是

3 ,最大值是 1; 4

D、最大值是 1,无最小值
2

1? 3 ? 2 解: (1 ? xy)(1 ? xy) ? 1 ? x y ? 1 ? x ?1 ? x ? ? x ? x ? 1 ? ? x 2 ? ? ? ,设 t ? x ??0,1? 2? 4 ?
4 2

则 (1 ? xy)(1 ? xy) ? ? t ?

? ?

3 1? 3 ? ? , t ? ?0,1? ,其最小值为 4 ,最大值为 1 2? 4

2

三、解答题(本大题满分 48 分) 25(本题满分 7 分) 若函数 f ? x ? ? 2 cos x sin ? x ? 经过怎样的变换得到 解: f ? x ? ? 2cos x sin ? x ?

? ?

??

2 ? ? 3 sin x ? sin x cos x ,此函数的图像可以由 y ? sin 2x 的图像 3?

? ?

??

?? ? 2 ? ? 3 sin x ? sin x cos x ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ???????4 分 3? 3? ?
? ?? ?? ? ? 个单位,得函数 y ? sin 2 ? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? 的图像??5 分 6 6? 3? ? ?

先将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移

再将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? (横坐标不变) , 得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 的图像的纵坐标伸长为原来的 2 倍 3? 3? ?
? ?

的图像????????????????????????????????????????6 分 即得到函数 f ? x ? ? 2cos x sin ? x ?

??

2 ? ? 3 sin x ? sin x cos x 的图像????????????7 分 3?

3

26(本题满分 7 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , D 是 PC 的中点,已知 ?BAC

?

? , AB ? 2 , 2

AC ? 2 3, PA ? 2 ,求异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
解:取 PB 中点 E ,联结 DE ,则 DE ? BC ,
P

? ? ADE (或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角???????2 分

? 1 1 ? ?BAC ? , AB ? 2, AC ? 2 3,? DE ? BC ? AB 2 ? AC 2 ? 2 2 2 2
? 又 PA ⊥底面 ABC, PA ? 2 ,故 ?PAB ? ? ?PAC 2
? AE ?
A

D

B

C

PB 1 PC 1 ? PA2 ? AB 2 ? 2, AD ? ? PA2 ? AC 2 ? 2 ??5 分 2 2 2 2

? cos ?ADE ?

22 ? 22 ? 2 3 ? ???????????????????????6 分 2? 2? 2 4
3 ?????????????????7 分 4

所以异面直线 BC 与 AD 所成的角为 arccos

27(本题满分 7 分) 若数列 {an } 为等比数列, a1 ? a2 ? 9, a1a2 a3 ? 27, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,求 lim S n 的值
n ??

解: ?

? a1 ? a2 ? 9 ?a ? a ? 9 ? a1 ? 6 ??????????????????4 分 ?? 1 2 ?? ?a2 ? 3 ?a1a2 a3 ? 27 ? a2 ? 3
6 3 1? 6
n??

所以 lim Sn ?

? 12 ???????????????????????????7 分
1 给 2 分;求对 lim S n ? 12 给 3 分.其它解法参照给分) n ?? 2

(求对首项 a1 ? 6 给 2 分;求对公比 q ?

28(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分 已知椭圆 C 以 F 1 ? ?2,0? , F 2 ? 2,0? 为焦点且经过点 P ? ? , ? (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若斜率为 1 的直线 l 和椭圆 C 相交于 A, B 两点, 且以 AB 为直径的圆恰好过椭圆 C 的中心, 求直线 l 的方程
4

? 5 3? ? 2 2?

解(1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ?????????????????????????5 分 10 6
? y? x?t ? ? 8 x 2 ? 10tx ? 5t 2 ? 30 ? 0 ????2 分 y2 ? ?1 ? ? 10 6

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,由 ? x 2

当 ? ? 0 即 ? 4 ? t ? 4 时,直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A, B ????????????4 分 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?

5t 5t 2 ? 30 , x1 x2 ? 4 8
2

故 y1 y2 ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? t ? t ?

3t 2 ? 30 8

因为以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的中心 O ,所以 OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

5t 2 ? 30 3t 2 ? 30 30 ? ? 0 ,解得 t ? ? ? ? ?4, 4 ? ?????????7 分 8 8 2

所以直线 l 的方程为 x ? y ?

30 ? 0 ????????????????????????8 分 2

29(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知函数 g ? x ? ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ? a ? 0, b ? 1? 在区间 ? 2,3? 上有最大值 4,最小值 1,设函数

f ? x? ?

g ? x? x

(1)求 a , b 的值及函数 y ? f ? x ? 的解析式;
x x (2)若不等式 f 2 ? k ? 2 ? 0 在 x ?? ?1,1? 时有解,求实数 k 的取值范围
2 解(1) g ? x ? ? ax ? 2ax ? 1 ? b ? g ? x ? ? a ? x ? 1? ? ?1 ? b ? a ? 2

? ?

① a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 2,3? ? ? ?

? g ? 2? ? 1 ? a ? 1 ? ?? , ? g ? 3? ? 4 ?b ? 0 ?
1? ? ? 2 ????????????????????3 分 x?

此时, g ? x ? ? ? x ? 1? , f ? x ? ? ? x ?
2

? ?

②当 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 2,3? ? ? ?

a ? ?1 ? ? g ? 2? ? 4 ? ?? 舍?????????6 分 b ? 3 ? ?? ,1 g 3 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
5

综上: a ? 1, b ? 0, f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? ? 2, x ? 0 ???????????????????7 分 x?

(2) f 2

? ??k ?2
x

x

? 0, x ? ? ?1,1? ? k ?

f ? 2x ? 2x

, x ? ? ?1,1?

令 t ? 2 x ? ? , 2 ? ,则所求问题等价于 k ? 2
2

?1 ?

? ?

f ?t ? ?1 ? , t ? ? , 2? 有解???????????3 分 t ?2 ?



f ?t ? 1 2 ?1 ? 1 ?1 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1? , ? ? , 2? 的最大值是 1???????????????6 分 t t t ? t ? t ?2 ?
1 t

此时 ? 2 ,即 x ? ?1???1,1?,于是 k ? ? ??,1? ??????????????????7 分

6


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