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江西省赣州市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


江西省赣州市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每一小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分)在等比数列{an}中,若 a3=2,a5=16,则 a4=() A.±4 B.﹣4 C. 4
2

D.4

r />2. (5 分)若直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a ﹣1)=0 垂直,则 a 的值为() A.0 或﹣ B.0 或﹣ C. 0 或 D.0 或

3. (5 分)已知 | + +





均为单位向量,其中任何两个向量的夹角均为 120°,则

|=() B. C. D.0

A.3

4. (5 分)在△ ABC 中,若 asinA=bsinB,则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 5. (5 分)不等式 x﹣ <1 的解集是() B.(﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣1,3) C. (﹣∞,

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ﹣1)∪(1,3) D.

6. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于() A.6 B. 7 C. 8 D.9 7. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 8. (5 分)已知点 M(﹣1,2) ,N(3,3) ,若直线 l:kx﹣y﹣2k﹣1=0 与线段 MN 相交, 则 k 的取值范围是() A. C.(﹣∞,﹣1]∪ 9. (5 分)△ ABC 中,AB= A. B. ,AC=1,∠B=30°,则△ ABC 的面积等于() C. D.

10. (5 分)数列{an}的通项公式 an=ncos

,其前 n 项和为 Sn,则 S2015=()

A.1008

B.2015
2 2

C.﹣1008

D.﹣504

11. (5 分)已知圆 C1: (x+2) +(y﹣3) =5 与圆 C2 相交于 A(0,2) ,B(﹣1,1)两点, 且四边形 C1AC2B 为平行四形,则圆 C2 的方程为() A.(x﹣1) +y =5 C. (x﹣ ) +(y﹣ ) =5
2 2 2 2

B. (x﹣1) +y = D.(x﹣ ) +(y﹣ ) =
2 2

2

2

12. (5 分)已知向量 最小值等于() A.4

=(1,x﹣2) ,

=(2,﹣6y) (x,y∈R ) ,且

+



,则



B. 6

C. 8

D.12

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13. (5 分)若不等式 x ﹣(a﹣1)x+1>0 的解集为全体实数,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)已知直线 l:3x+4y﹣12=0,l′与 l 垂直,且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4, 则 l′的方程是.
2

15. (5 分)在约束条件

下,目标函数 z=3x﹣2y+1 取最大值时的最优解为.

16. (5 分)使方程

﹣x﹣m=0 有两个不等的实数解,则实数 m 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知定点 M(0,2) ,N(﹣2,0) ,直线 l:kx﹣y﹣2k+2=0(k 为常数) . (Ⅰ)若点 M,N 到直线 l 的距离相等,求实数 k 的值; (Ⅱ)以 M,N 为直径的圆与直线 l 相交所得的弦长为 2,求实数 k 的值. 18. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 19. (12 分) 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂, 第一年共支出 12 万元, 以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f(n)表示前 n 年的 纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额) . (1)该厂从第几年开始盈利?

=

, ?

=3.

(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大 时,以 48 万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更 合算?
2

20. (12 分)已知向量 =(cosx,﹣1) , =(

sinx,cos x) ,设函数 f(x)= ? + .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x∈(0, )时,求函数 f(x)的值域.

21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= b1+b4=18,b2b3=32, (1)求 an,bn 的通项公式; * (2)设 cn=anbn,n∈N ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn.

+

,递增的等比数列{bn}满足

22. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程:x +y ﹣2x﹣4y+4=0,点 P 是直线 l: x﹣2y﹣2=0 上的任意点,过 P 作圆的两条切线 PA,PB,切点为 A、B,当∠APB 取最大值 时. (Ⅰ)求点 P 的坐标及过点 P 的切线方程; (Ⅱ)在△ APB 的外接圆上是否存在这样的点 Q,使|OQ|= (O 为坐标原点) ,如果存在, 求出 Q 点的坐标,如果不存在,请说明理由.

2

2

江西省赣州市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每一小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分)在等比数列{an}中,若 a3=2,a5=16,则 a4=() A.±4 B.﹣4 C. 4 D.4 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意可得 a4 =a3?a5,代值计算可得. 2 解答: 解:由等比数列的性质可得 a4 =a3?a5, 2 ∴a4 =2×16=32, ∴a4=±4 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题.

2. (5 分)若直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a ﹣1)=0 垂直,则 a 的值为() A.0 或﹣ B.0 或﹣ C. 0 或 D.0 或

2

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线与直线垂直的条件得 a+2a(a+1)=0,由此能求出 a 的值. 解答: 解:∵直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a ﹣1)=0 垂直, ∴a+2a(a+1)=0, 解得 a=0 或 a=﹣ . 故选:A. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与直线的位置关 系的合理运用. 3. (5 分)已知 | + + 、 、 均为单位向量,其中任何两个向量的夹角均为 120°,则
2

|=() B. C. D.0

A.3

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的模长公式计算可得| 解答: 解:由题意可得| + + |= + +
2

+

+ + |=0

| ,进而可得答案. + +2 +2 +2

2

=1+1+1+3×2×1×1×(﹣ )=0,∴|

故选:D 点评: 本题考查向量的模长的求解,涉及向量的夹角,属基础题. 4. (5 分)在△ ABC 中,若 asinA=bsinB,则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinA=sinB,故有 a=b,可得△ ABC 为等腰三角形. 解答: 解:∵△ABC 中,已知 asinA=bsinB, ∴由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB, ∴sinA=sinB,∴a=b, 故△ ABC 为等腰三角形, 故选:A. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,考查运算能力,属于基本知识的考查.

5. (5 分)不等式 x﹣

<1 的解集是() B.(﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣1,3) C. (﹣∞,

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ﹣1)∪(1,3) D. 考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用分式不等式求解即可. 解答: 解:不等式 x﹣ 即: 故选:C. <1 化为:



,由穿根法可得:不等式的解集为: (﹣∞,﹣1)∪(1,3)

点评: 本题考查分式不等式的解法,考查计算能力. 6. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于() A.6 B. 7 C. 8 D. 9 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得. 解答: 解:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得 d=2, 所以 , 所以当 n=6 时, Sn 取最小

值. 故选 A. 点评: 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的求法 及计算能力. 7. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题.

分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最 5 后根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质. 8. (5 分)已知点 M(﹣1,2) ,N(3,3) ,若直线 l:kx﹣y﹣2k﹣1=0 与线段 MN 相交, 则 k 的取值范围是() A. C.(﹣∞,﹣1] ∪ 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 已知的直线 l:kx﹣y﹣2k﹣1=0 过定点,画出图形,求出直线 PM、PN 的斜率, 数形结合可得 k 的取值范围. 解答: 解:∵直线 l:kx﹣y﹣2k﹣1=0 过定点 P(2,﹣1) , 如图,M(﹣1,2) ,N(3,3) ,kPM= =﹣1,kPN═ =2.

直线 l 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪ ∴ =4,解得 m=±4 .

∴直线 l′的方程为: . 故答案为: . 点评: 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、 三角形面积计算公式, 考查了计算能 力,属于基础题.

15. (5 分) 在约束条件

下, 目标函数 z=3x﹣2y+1 取最大值时的最优解为 (2, 1) .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最优解. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . + ,

由 z=3x﹣2y+1 得 y= x 平移直线 y= x + ,

由图象可知当直线 y= x

+ 经过点 A 时,

直线 y= x

+ 的截距最小,此时 z 最大.



,解得

,即 A(2,1) ,

即最优解为(2,1) , 故答案为: (2,1) ;

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值, 利 用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 16. (5 分)使方程 <4 ﹣4. ﹣x﹣m=0 有两个不等的实数解,则实数 m 的取值范围是 0≤m

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 合进行求解即可. 解答: 解:由
2 2

﹣x﹣m=0 得

=x+m, 设 y=

和 y=x+m, 利用数形结

﹣x﹣m=0 得

=x+m,设 y=

和 y=x+m,

则 8x﹣ x =y , 2 2 即(x﹣4) +y =16, (y≥0) , 作出对应的图象如图: 当直线 y=x+m 经过点 O 时,m=0,此时直线和半圆有两个交点, 当直线 y=x+m 与半圆相切时, (m>0) , 圆心(4,0)到直线的距离 d= 即|m+4|=4 解得 m=4 故方程 则 0≤m<4 , ﹣4,或 m=﹣4 =4,

﹣4, (舍) ,

﹣x﹣m=0 有两个不等的实数解, ﹣4,

故答案为:0≤m<4

﹣4

点评: 本题主要考查函数和方程的应用,利用条件转 化为两个函数之间的关系,利用数 形结合是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知定点 M(0,2) ,N(﹣2,0) ,直线 l:kx﹣y﹣2k+2=0(k 为常数) . (Ⅰ)若点 M,N 到直线 l 的距离相等,求实数 k 的值; (Ⅱ)以 M,N 为直径的圆与直线 l 相交所得的弦长为 2,求实数 k 的值. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由点 M,N 到直线 l 的距离相等,得到直线 MN∥l,和直线 l 经过 M,N 的 中点两种情况分别求 k; (Ⅱ)以 M,N 为直径的圆与直线 l 相交所得的弦长为 2,得到圆心到直线的距离为 1,利 用点到直线的距离公式得到关于 k 的等式求之. 解答: 解: (Ⅰ)直线 l 与 MN 平行时,k=1…(3 分) 直线 l 经过 M,N 的中点时, …(5 分) …(7 分) …(8 分)

(Ⅱ)以 M,N 为直径的圆,圆心 C(﹣1,1) ,半径 因此圆心到直线的距离等于 1,即

解得

…(10 分)

点评: 本题考查了直线与圆的位置 关系,点到直线的距离;属于基础题.

18. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 考点: 二倍角的余弦;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形.

=

, ?

=3.

分析: (Ⅰ)利用二倍角公式利用

=

求得 cosA,进而求得 sinA,进而根据

求得 bc 的值,进而根据三角形面积公式求得答案. (Ⅱ)根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c,进而根据余弦定理求得 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 , 又由 , ,∴

得 bccosA=3,∴bc=5, ∴ (Ⅱ)对于 bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=20,∴ 点评: 本题主要考查了解三角形的问题. 涉及了三角函数中的倍角公式、 余弦定理和三角 形面积公式等,综合性很强. 19. (12 分) 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂, 第一年共支出 12 万元, 以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f(n)表示前 n 年的 纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额) . (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大 时,以 48 万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更 合算? 考点: 函数模型的选择与应用;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,可知每年的支出构成 一个等差数列,故 n 年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到;再根据 f(n)=前 n 年 的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额,可得前 n 年的纯利润总和 f(n)关于 n 的函数关系 式;令 f(n)>0,并解不等式,即可求得该厂从第几年开始盈利; (2)对两种决策进行具体的比较,以数据来确定那一种方案较好. 解答: 解: (1)由题意,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,可知每年的 支出构成一个等差数列,用 g(n)表示前 n 年的总支出, ∴g(n)=12n+ ×4=2n2+10n(n∈N )…(2 分)
* 2 2 2

∵f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额 2 2 ∴f(n)=50n﹣(2n +10n)﹣72=﹣2n +40n﹣72.…(3 分) 2 由 f(n)>0,即﹣2n +40n﹣72>0,解得 2<n<18.…(5 分) * 由 n∈N 知,从第三年开始盈利.…(6 分)

(2)方案①:年平均纯利润为

=40﹣2(n+

)≤16,

当且仅当 n=6 时等号成立.…(8 分) 故方案①共获利 6×16+48=144(万元) ,此时 n=6.…(9 分) 2 方案②:f(n)=﹣2(n﹣10) +128. 当 n=10 时,max=128. 故方案②共获利 128+16=144(万元) .…(11 分) 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于方案①只需 6 年,而方案②需 10 年,故选择 方案①更合算.…(12 分) 点评: 本题以实际问题为载体,考查数列模型的构建,考查解一元二次不等式,同时考查 利用数学知识解决实际问题,属于中档题.
2

20. (12 分)已知向量 =(cosx,﹣1) , =(

sinx,cos x) ,设函数 f(x)= ? + .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x∈(0, )时,求函数 f(x)的值域.

考点: 正弦函数的单调性;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ) 利用已知条件通过向量的数量积求出函数的解析式, 求才函数的周期以及单 调增区间. (Ⅱ)利用角的范围,求出相位的范围,然后求出值域. 解答: 解: (Ⅰ)依题意向量 =(cosx,﹣1) , =( 函数 f(x)= ? + = 得 …(3 分) = sinx,cos x) , .
2

∴f(x)的最小正周期是:T=π…(4 分) 由 解得 ,k∈Z. …(6 分) …(9 分) …(12 分)

从而可得函数 f(x)的单调递增区间是: (Ⅱ)由 ,可得

从而可得函数 f(x)的值域是:

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,向量的数量积的应用,三角函数的周期的求法, 考查计算能力.

21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= b1+b4=18,b2b3=32,

+

,递增的等比数列{bn}满足

(1)求 an,bn 的通项公式; * (2)设 cn=anbn,n∈N ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推式可得 an,利用等比数列的通项公式及其性质可得 bn; (2)利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)∵Sn= ∴当 n=1 时,a1= =2, + ﹣ =3n﹣1,当 n=1 时也成 + ,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=

立, ∴an=3n﹣1. 设递增的等比数列{bn}的公比为 q, ∵b1+b4=18,b2b3=32, 3 ∴b1+b4=18,b1b4=32,解得 b1=2,b4=16,16=2×q ,解得 q=2, ∴ .
n

(2)cn=anbn=(3n﹣1)?2 , 2 3 n ∴数列 cn 的前 n 项和 Tn=2×2+5×2 +8×2 +…+(3n﹣1)×2 , 2 3 n n+1 2Tn=2×2 +5×2 +…+(3n﹣4)×2 +(3n﹣1)×2 , ∴﹣Tn=4+3×2 +3×2 +…+3×2 ﹣(3n﹣1)×2
n+1 2 3 n n+1

=

﹣2﹣(3n﹣1)×2

n+1

=

(4﹣3n)×2 ﹣8, n+1 ∴Tn=(3n﹣4)×2 +8. 点评: 本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 22. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程:x +y ﹣2x﹣4y+4=0,点 P 是直线 l: x﹣2y﹣2=0 上的任意点,过 P 作圆的两条切线 PA,PB,切点为 A、B,当∠APB 取最大值 时. (Ⅰ)求点 P 的坐标及过点 P 的切线方程; (Ⅱ)在△ APB 的外接圆上是否存在这样的点 Q,使|OQ|= (O 为坐标原点) ,如果存在, 求出 Q 点的坐标,如果不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)求出圆心 C(1,2) ,r=1,判断当∠APB 取最大值时,即圆心到点 P 的距 离最小,通过求解 P(2,0)得到切线方程.
2 2

(Ⅱ) △ APB 的外接圆是以 PC 为直径的圆, 求出 PC 的中点坐标是





圆上的点到点 O 的最大距离判断求解,即可得到因此这样的点 Q 不存在. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)圆方程可化为: (x﹣1) +(y﹣2) =1,圆心 C(1,2) ,r=1 当∠APB 取最大值时,即圆心到点 P 的距离最小…(1 分) 所求的点 P 是过圆心与直线 l 垂直的直线与直线 l 的交点. 过圆心与直线 l 垂直的直线的方程是:2x+y﹣4=0…(2 分) 由 ,解得 P(2,0)…(3 分)

过点 P 的切线方程:3x+4y﹣6=0…(5 分) 或 x=2…(6 分) (Ⅱ)△ APB 的外接圆是以 PC 为直径的圆…(7 分) PC 的中点坐标是 因此△ APB 外接圆方程是: , …(8 分) …(9 分)

圆上的点到点 O 的最大距离是:

…(11 分)

因此这样的点 Q 不存在…(12 分) 点评: 本题考查直线与圆的方程的综合应用,存在性问题的求法,圆的切线方程的求法, 考查计算能力.


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