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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用应用能力提升 文


第9节

函数模型及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 利用函数图像刻画实际问题 二次函数模型 指、对函数模型 分段函数模型 模型的选取与求解 题号 1,2,12 3,5,9 4,7,8,10,11 6,13,14 15

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 江西九江二模)一个游泳池长 100 m,甲、乙

两人分别在游泳池相对两边同时朝对面 游泳,甲的速度是 2 m/s,乙的速度是 1 m/s,若不计转向时间,则从开始起到 5 min 止,他们相 遇的次数为( B ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 解析:设距离 m 为甲、乙所在位置与乙岸的距离,实线为甲函数 m1(t)的图像,虚线为乙函数 m2(t)的图像,如图所示,两曲线共有 5 个交点.

2.(2016 忻州模拟)a,b,c,d 四个物体沿同一方向同时在同一地点开始运动,假设其经过的路 程和时间 x 的函数关系分别是 f1(x)=x ,f2(x)= ,f3(x)=log2x,f4(x)=2 .如果运动的时间足 够长,则运动在最前面的物体一定是( D ) (A)a (B)b (C)c (D)d 解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数,当运动的时间足够长,最 前面的物体一定是按照指数函数运动的物体,即一定是 d 物体. 3.(2015 抚顺模拟)某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利润 2 (单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x ,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单 位:辆).若该公司在两地共销售 16 辆这种品牌汽车,则能获得的最大利润是( C ) (A)10.5 万元 (B)11 万元 (C)43 万元 (D)43.025 万元 解析:设在 A 地销售 t 辆, 由题利润 y=4.1t-0.1t +2(16-t)=-0.1t +2.1t+32=-0.1(t- )
2 2 2 2 x

+32+

,

1

当 t=10 或 t=11 时,有最大利润 y=43. 4.某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog3(x+1),设这种动物第 2 年有 100 只, 则到第 8 年它们有( A ) (A)200 只 (B)300 只 (C)400 只 (D)500 只 解析:由已知得 100=alog3(2+1), 得 a=100, 则当 x=8 时,y=100log3(8+1)=200(只). 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角 料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x,y 应为 ( A )

(A)x=15,y=12 (C)x=14,y=10

(B)x=12,y=15 (D)x=10,y=14 = ,

解析:由三角形相似得

得 x= (24-y),

所以 S=xy=- (y-12) +180, 所以当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 6.小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费为 20 000 元,每天需要房租、 水电等费用 100 元,受经营信誉度、 销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益 R 与门面经营 天数 x 的关系式是 R=R(x)= ( D ) (A)100 (B)150 (C)200 (D)300 解析:由题意,知总成本 C=20 000+100x. 所以总利润 P=R-C= 则总利润最大时,该门面经营的天数是

2

则 P′= 令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 7.(2016 商丘模拟)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原 理如下:

2

明文

密文
x

密文

明文

已知加密为 y=a -2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为 6,再发送,接 收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是 . x 解析:依题意 y=a -2 中,当 x=3 时,y=6, 3 故 6=a -2,解得 a=2, x 所以加密为 y=2 -2. x 因此,当 y=14 时,由 14=2 -2, 解得 x=4. 答案:4 8.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的 酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过 小时后才能开 车.(精确到 1 小时) 解析:设经过 x 小时才能开车, x 由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09, x 所以 0.75 ≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19. 所以此人至少经过 5 小时后才能开车. 答案:5 9.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额 成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知分别投资 1 万元 时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其 最大收益是多少万元? 解:(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为 f(x)=k1x,g(x)=k2 .

由已知得 f(1)= =k1,g(1)= =k2,

所以 f(x)= x(x≥0),g(x)=

(x≥0).

(2)设投资债券类产品为 x 万元, 则投资股票类产品为(20-x)万元. 依题意得 y=f(x)+g(20-x) = + (0≤x≤20).

令 t=

(0≤t≤2

),

3

则 y=

+ t=- (t-2) +3,

2

所以当 t=2,即 x=16 时,收益最大, 即投资债券类产品 16 万元,投资股票类产品 4 万元时,收益最大,最大收益为 3 万元. 10.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到 面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)最多能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1). 则 a(1-x) = a,
10

即(1-x) = ,

10

解得 x=1-( )

.

(2)设能砍伐 n 年. 由题得 a{1-[1-( ) ]} ≥ a.
n

即( )

≥ .所以 n≤20.

即最多能砍伐 20 年. 能力提升练(时间:15 分钟) 11.(2015 枣庄模拟)衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a, 经过 t 天后体积与天数 t 的关系式为 V=a·e ,若新丸经过 50 天后,体积变为 a;若一个新丸
-kt

体积变为 a,则需经过的天数为( A ) (A)75 天 (B)100 天 解析:由题意,得 a=ae (C)125 天
-50k

(D)150 天 = ;

,解得 e

-25k

令 ae = a,

-kt

4

即e =

-kt

=

=e

-75k

,

即需经过的天数为 75 天. 12.(2015 榆林月考)图形 M(如图所示)是由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个 矩形所构成,函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函 数 S(a)的图像大致是( C )

解析:直线 y=a 在[0,1]上平移时 S(a)的变化量越来越小,排除 A,B.而 S(a)在[1,2]上的变化 量比在[2,3]上的变化量大,排除 D. 13.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为 30 000 元,旅游团中的 每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在 30 或 30 以下,飞机票每张收费 1 800 元.若旅游团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,机票费每张减少 20 元,但旅游团 的人数最多有 75 人,那么旅游团的人数为 人时,旅行社获得的利润最大. 解析:设旅游团的人数为 x 人,飞机票每张为 y 元,利润为 Q 元,依 题意, ①当 1≤x≤30 时,y=1 800 元, 此时利润 Q=yx-30 000=1 800x-30 000, 此时,当 x=30 时, Qmax=1 800×30-30 000=24 000(元); ②当 30<x≤75 时,y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400, 此时利润 2 Q=yx-30 000=-20x +2 400x-30 000 2 =-20(x-60) +42 000, 所以当 x=60 时,旅行社可获得的最大利润为 42 000 元. 综上,当旅游团的人数为 60 人时,旅行社获得的利润最大. 答案:60

5

14.(2015 长春模拟)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出第一次服药后,y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗有效,求服药一次后治疗有 效的时间是多长?

解:(1)由题意可设 y=

当 t=1 时,由 y=4 得,k=4. 由( ) =4 得,a=3.
1-a

因此,y=

(2)由 y≥0.25 得,



解得 ≤t≤5.

因此,服药一次后治疗有效的时间是 5- = 小时. 15.(2015 北京石景山模拟)某机床厂 2016 年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入 生产使用.计划第一年维修、 保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、 保养费用比上 一年增加 4 万元;该机床使用后,每年的总收入为 50 万元.设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: 方案一:当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; 方案二:当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?并说明理由. 解:(1)y=50x-[12x+ ×4]-98

6

=-2x +40x-98(x>0) . (2)方案一: =-2x+40- =40-(2x+ ),

2

因为 2x+ ≥2

=28,

所以 =40-(2x+ )≤12.

当且仅当 2x= ,即 x=7 时等号成立; 故到 2023 年,年平均盈利额达到最大值, 工厂共获利 12×7+30=114(万元). 2 2 方案二:y=-2x +40x-98=-2(x-10) +102, 当 x=10 时,y 有最大值 102; 故到 2026 年,盈利额达到最大值, 工厂共获利 102+12=114(万元). 盈利额达到的最大值相同,而方案一所用的时间较短,故方案一较为合理. 精彩 5 分钟 1.(2015 青岛质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关 x 系为指数型函数 y=ka ,若牛奶在 0 ℃的冰箱中,保鲜时间约为 100 h,在 5 ℃的冰箱中,保鲜 时间约为 80 h,那么在 10 ℃时保鲜时间约为( C ) (A)49 h (B)56 h (C)64 h (D)72 h 解题关键:根据已知条件求得 k,a,然后再进行计算. 解析:由 得 k=100,a = ,
5

当 10 ℃时,保鲜时间为 100·a =100·( ) =64. 2.(2015 龙岩高三模拟)某工厂需要建一个面积为 512 m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的 墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽的比为( B ) (A)1 (B)2 (C) (D)
2

10

2

解题方法:本题借助“对勾”函数的图像利用数形结合求解. 2 解析:设宽为 x,长为 kx,则 kx =512, 用料为 y=(k+2)x=( +2)x=2( +x)≥4 =64(当且仅当 x=16 时取“=”),

所以 k=

=2.

7

3.(2015 潍坊模拟)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/100 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如表: 时间 t 种植成本 Q 60 116 100 84 180 116

根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系. 2 t Q=at+b,Q=at +bt+c,Q=a·b ,Q=a·logbt 利用你选取的函数,求得 (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ; (2)最低种植成本是 (元/100 kg). 解题关键:本题的解题关键是根据数据正确选取函数模型. 2 解析:根据表中数据可知函数不单调,所以 Q=at +bt+c 且开口向上,对称轴 t=- = =120.

代入数据



所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120. 最低种植成本是 14 400a+120b+c=14 400×0.01+120× (-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80

8


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