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高中数学 1.4 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教A版选修4-4




柱坐标系与球坐标系简介

课标 解读

1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义,能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置. 2.知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式, 并用于解题.

1.柱坐标系

图 1-4-1 如图 1-4-1 所示, 建立空间直角坐

标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 . 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q , 用 (ρ , θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标, 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.

建立了空间的点与有序数组 (ρ,θ,z)

之间的一

种对应关系, 把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系 , 有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的柱坐标,记作 P(ρ,θ,z) 其中 ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R. ,

2.球坐标系

图 1-4-2 建立如图 1-4-2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点,连接 OP,记 |OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.

设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转 到 OQ 时所转过的 最小正角 为 θ.这样点 P 的位置就可以

用有序数组(r,φ,θ) 表示. 这样, 空间的点与(r,φ,θ) 之 间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系(或空间极坐标系). 有序数组(r,φ,θ)叫做点 P 的球坐标,记做 P(r,φ,θ), 其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π).

3.空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为 ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ, ?z=z ? . 4.空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为

?x=rsin φcos θ, ? ?y=rsin φ sin θ, ?z=rcos φ ?

.

1.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什 么限制?
【提示】 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一

个是距离. 2.在柱坐标系中,方程 ρ=1 表示空间中的什么曲面? 在球坐标系中,方程 r=1 分别表示空间中的什么曲面? 【提示】 ρ=1 表示以 z 轴为中心,以 1 为半径的圆柱 面;球坐标系中,方程 r=1 表示球心在原点的单位球面.

3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别 有哪些?

【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景,柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标, 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以 一点到原点的距离和两个角刻画点的位置. (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系,空间点的坐标都是三个数值的有序数组.

点的柱坐标与直角坐标互化
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标 系中的坐标. (2)设点 N 的柱坐标为(π,π,π),求它的直角坐标.

【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 ?x=ρcos θ, ? 坐标,利用公式?y=ρsin θ, ?z=z, ?

求出 ρ,θ 即可.

(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标,利用公式 ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ, 求出 x,y,z 即可. ?z=z, ? 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ,θ,z),

?1=ρcos θ, ? 则由?1=ρsin θ, ?z=1, ?

π 解之得,ρ= 2,θ=4.

π 因此,点 M 的柱坐标为( 2,4,1).

(2)设 N 的直角坐标为(x,y,z), ?x=ρcos θ, ? 则由?y=ρsin θ, ?z=z, ? ?x=-π, ? ∴?y=0, ?z=π. ? ?x=πcos π, ? 得?y=πsin π, ?z=π, ?

因此,点 N 的直角坐标为(-π,0,π).

1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点 ?x=ρcos θ, ? M 的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变换公式? y=ρsin θ, ? z=z, ?
2 2 2

求 ρ;

y 也可以利用 ρ =x +y ,求 ρ.利用 tan θ= ,求 θ,在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限,从而确定 θ 的取值. 2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.

根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标: 5π π (1)(2, 6 ,3);(2)( 2,4,5).
【解】 设点的直角坐标为(x,y,z). 5π ? ?x=ρcos θ=2cos 6 =- 3, ? 5π (1)? ?y=ρsin θ=2sin 6 =1, ?z=3, ? 因此所求点的直角坐标为(- 3,1,3).

π ? ?x=ρcos θ= 2cos4=1, ? (2)?y=ρsin θ= 2sinπ=1, ? 4 ?z=5. ? 故所求点的直角坐标为(1,1,5).

将点的球坐标化为直角坐标

3 3 已知点 M 的球坐标为(2,4π,4π),求它的直角 坐标.

x=rsin φcos θ,y=rsin φ sin θ, 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z=rcos φ 直角坐标

【自主解答】 设点的直角坐标为(x,y,z). ? ?x=2sin3πcos3π=2× 2×?- 2?=-1, 4 4 2 2 ? ? 3 3 2 2 则?y=2sin πsin π=2× × =1, 4 4 2 2 ? ? 3 2 z=2cos4π=2×?- 2 ?=- 2. ? ? 因此点 M 的直角坐标为(-1,1,- 2).

1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系, 首先要明确点的球坐标(r,φ,θ)中角 φ,θ 的边与数轴 Oz, Ox 的关系,注意各自的限定范围,即 0≤φ≤π, 0≤θ<2π. 2.化点的球坐标(r,φ,θ)为直角坐标(x,y,z),需要运 ?x=rsin φcos θ, ? 用公式?y=rsin φ sin θ, ?z=rcos φ. ?

转化为三角函数的求值与运算.

5 5 若例 2 中“点 M 的球坐标改为 M(3,6π,3π)”,试求点 M 的直角坐标. 【解】 设 M 的直角坐标为(x,y,z).

5π 5π 3 ? ?x=rsin φcos θ=3sin cos = , 6 3 4 ? ? 5π 5π 3 3 则?y=rsin φ sin θ=3sin 6 sin 3 =- 4 , ? ? 5π 3 3 z=rcos φ=3cos 6 =- 2 . ? ? 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4,- 4 ,- 2 ).

空间点的直角坐标化为球坐标

已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,棱 AA1 的长为 2,如图 1-4-3 所示, 建立空间直角坐标系 Axyz,Ax 为极轴,求点 C1 的直角坐标 和球坐标.

图 1-4-3

【思路探究】 先确定 C1 的直角坐标,再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系,计算球坐标. 【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1, 2).

设 C1 的球坐标为(r, φ, θ), 其中 r≥0,0≤φ≤π, 0≤θ<2π, 由 x=rsin φcos θ,y= rsin φ sin θ, z=rcos φ, 得 r= x2+y2+z2= 12+? 2?2+12=2. 2 π 由 z=rcos φ,∴cos φ= ,φ= 2 4 y π 又 tan θ= =1,∴θ=4, x π π 从而点 C1 的球坐标为(2,4,4)

1.由直角坐标化为球坐标时,我们可以选设点 M 的球 ?x=rsin φcos θ, ? 坐标为(r,φ,θ),再利用变换公式?y=rsin φ sin θ, ?z=rcos φ. ? θ,φ. y z 2.利用 r =x +y +z ,tan θ= ,cos φ= .特别注意由 x r
2 2 2 2

求出 r,

直角坐标求球坐标时,应首先看明白点所在的象限,准确取 值,才能无误.

若本例中条件不变,求点 C 的柱坐标和球坐标. 【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0).

设点 C 的柱坐标为(ρ,θ,0),球坐标为(r,φ,θ),其中 0≤φ≤π,0≤θ<2π. (1)由于 ρ= x2+y2= 12+12= 2. y 又 tan θ= =1, x π ∴θ=4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2,4,0).

(2)由 r= x2+y2+z2= 12+12+0= 2. z ∴cos φ= =0, r π ∴φ= . 2 π π 故点 C 的球坐标为( 2, , ). 2 4

柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3, , ),P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6, ,1),求|P1P2 |. 6
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标,再

用空间两点间的距离公式求距离.

【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1,y1,z1), ? ?x1=2 3sin πcos π=3 2, 3 4 2 ? ? π π 3 2 则?y1=2 3sin sin = , 3 4 2 ? ? π z1=2 3cos 3= 3, ? ? 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 , 2 , 3).

设 P2 的直角坐标为 P2(x2,y2,z2), ? π 3 2 ?x2= 6cos 6= 2 , ? π 6 则? ?y2= 6sin 6= 2 , ? ?z2=1, 3 2 6 ∴P2 的直角坐标为( , ,1). 2 2 ∴|P1P2 |= 30- 10 3 2 62 2 0+? - ? +? 3-1? = . 2 2 2

柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解 决.

π π π 3π 在球坐标系中,求两点 P(3,6,4),Q(3,6, 4 )的距离. 【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点 P
的直角坐标为(x,y,z), ? ?x=3sin ? ? 则?y=3sin ? ? z=3cos ? ? π π 3 cos 4 =4 2, 6· π π 3 sin = 2, 6 4 4 π 3 3 6=3× 2 =2 3.

3 2 3 2 3 3 ∴P( 4 , 4 , 2 ).

设点 Q 的直角坐标为(x,y,z). ? ?x=3sin ? ? 则?y=3sin ? ? z=3cos ? ? π 3π 3 2 cos =- , 6 4 4 π 3π 3 2 sin = , 6 4 4 π 3 = 3. 6 2

3 2 3 2 3 3 ∴点 Q(- 4 , 4 , 2 ). ∴|PQ|= 3 2 3 22 3 2 3 22 3 3 3 32 ? 4 + 4 ? +? 4 - 4 ? +? 2 - 2 ?

3 2 3 2 = 2 , 即 P、Q 两点间的距离为 2 .

(教材第 17 页思考 1) 给定一个底面半径为 r,高为 h 的圆柱,建立柱坐标系, 利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置.

(2013· 长春检测)在柱坐标系中,点 M 的柱坐 2 标为(2, π, 5),则|OM |=________. 3
【命题意图】 的位置刻画. 本题主要考查柱坐标系的意义,以及点

【解析】 设点 M 的直角坐标为(x,y,z). 2 由(ρ,θ,z)=(2, π, 5)知 3 2 2 x=ρcos θ=2cos3π=-1,y=2sin3π= 3. 因此|OM |= x2+y2+z2 = ?-1?2+? 3?2+? 5?2=3.

【答案】 3

π 1.在空间直角坐标系中,点 P 的柱坐标为(2,4,3),P 在 xOy 平面上的射影为 Q,则 Q 点的坐标为( A.(2,0,3) π C.( 2, ,3) 4
【答案】 B

)

π B.(2,4,0) π D.( 2, ,0) 4

【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知,选 B.

2.已知点 A 的柱坐标为(1,0,1),则点 A 的直角坐标为 ( A.(1,1,0) C.(0,1,1)
【解析】 z=1. ∴直角坐标为(1,0,1),故选 B.

)

B.(1,0,1) D.(1,1,1)
∵x=ρcos θ=1· cos θ=1,y=ρsin θ=0,

【答案】 B

π π 3.已知点 A 的球坐标为(3,2,2 ),则点 A 的直角坐标 为( ) A.(3,0,0) C.(0,0,3) B.(0,3,0)

D.(3,3,0) π π π 【解析】 ∵x=3×sin ×cos =0,y=3×sin ×sin 2 2 2

π π =3,z=2×cos =0, 2 2 ∴直角坐标为(0,3,0).故选 B.
【答案】 B

4.设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),则点 M 的柱坐标为 ________,球坐标为________. 【解析】 由坐标变换公式,可得 ρ= x2+y2= 2,tan
y π θ= =1,θ=4(点(1,1)在平面 xOy 的第一象限), x r= x2+y2+z2= 12+12+? 2?2=2. 由 rcos φ=z= 2, 2 2 π 得 cos φ= = ,φ= . 2 4 r π π π ∴点 M 的柱坐标为( 2, , 2),球坐标为(2, , ). 4 4 4 π π π 【答案】 ( 2,4, 2) (2,4,4)


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