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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):6.2 一元二次不等式及其解法


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课时提升作业(三十六)
一、选择题 1.已知集合 A={x|x(x-a)<0},且 1∈A,2?A,则实数 a 的取值范围是 ( ) (B)1<a<2 (D)1≤a<2 )

r />(A)1≤a≤2 (C)1<a≤2

2.下列不等式中解集为 R 的是( (A)-x2+x+1≥0 (C)x2+6x+10>0

(B)x2-2 5 x+ 5 >0 (D)2x2-3x+4<0
1 3x ? x 2

3.(2013·临沂模拟)函数 f(x) ? x ? 2 ? (A){x|2≤x≤3} (C){x|0<x<3}

的定义域是(

)

(B){x|2≤x<3} (D){x|x>3}

4.在 R 上定义运算*:a*b=ab+2a+b,则满足 x*(x-2)<0 的实数 x 的取 值范围为 ( (A)(0,2) (C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-2,1) (D)(-1,2) )

5.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度 为( )

(A)3

(B)4

(C)6

(D)7 )

6.已知函数 y=f(x)的图象如图,则不等式 f(3x-x2)<0 的解集为(

(A){x|1<x<2} (C){x|x<1 或 x>2}

(B){x|0<x<3} (D){x|x<0 或 x>3}

7.(2013·广州模拟)“不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不 充分条件是( (A)m>
1 4

) (B)0<m<1 (D)m>1

(C)m>0

3 ? ? x , x ? 0, 8.(2013·石家庄模拟)已知函数 f(x)= ? 若 f(2-x2)>f(x), ? ?ln ? x ? 1? , x ? 0,

则实数 x 的取值范围是( (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞) (C)(-1,2) (D)(-2,1)

)

9.(2013·厦门模拟)对于实数 x,当 n≤x<n+1(n∈Z)时,规定[x]=n, 则不等式 4[x]2-36[x]+45<0 的解集为( (A){x|2≤x<8} (C){x|2≤x≤8} (B){x|2<x≤8} (D){x|2<x<8} )

10.(能力挑战题)已知不等式 xy≤ax2+2y2,若对任意 x∈[1,2]及 y ∈[2,3] ,该不等式恒成立,则实 数 a 的范围是( (A)35 ≤a≤-1 9

)

(B)-3≤a≤-1 (D)a≥-1

(C)a≥-3 二、填空题

11.若关于 x 的不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集分别为[-1,+∞),则实 数 a,b 的值分别为________. 12.(2012·天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},B={x∈ R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 13.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售 额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月 份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月 份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 14.已知 f (x) ? ? 三、解答题 15.(能力挑战题)某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择.公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元(若 用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算).假设该同学一次上网 时间总是小于 17 小时,那么该同学如何选择 ISP 公司较省钱?
?x, ?? x, x ? 0, 则不等式 x+x·f(x)≤2 的解集是________. x ? 0,

答案解析
1.【解析】选 C.依题意得 ?
?1? (1 ? a) ? 0, 解得 1<a≤2,故选 C. ?2 ? (2 ? a) ? 0,

2.【解析】选 C.在 C 选项中,Δ=36-40=-4<0,所以不等式解集为 R. 3.【解析】选 B.要使函数有意义,应有 ? x<3, 即函数定义域为{x|2≤x<3}. 4.【解析】选 B.由定义可知 x*(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2,因此不 等式 x*(x-2)<0 即 x2+x-2<0,解得-2<x<1. 5.【思路点拨】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对 的角的余弦值小于 0 即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数 得到解. 【解析】选 B.设三角形的三边长分别为 n-1,n,n+1(n>1),则 n+1 对的 角θ为钝角,由余弦定理得 cos? ?
(n ? 1)2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 , 所以 2 n (n ? 1)

? x ? 2 ? 0, ?3x ? x ? 0,
2

即?

? x ? 2, 所以 2≤ ?0 ? x ? 3,

(n-1)2+n2<(n+1)2,解得 0<n<4,所以 n=2,3.当 n=2 时,三边长为 1,2, 3,1+2=3,不符合题意.当 n=3 时,三边长为 2,3,4,符合题意.故最长边 的长度为 4. 6.【解析】选 A.由图象可知,当 x>2 时,f(x) <0,所以由 f(3x-x2)<0, 得 3x-x2>2,解得 1<x<2,即解集为{x|1<x<2}.

7. 【解析】 选 C.当不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立时, 有Δ=(-1)2-4m<0, 解得 m ? .因此当不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立时,必有 m>0,但当 m>0 时,不一定推出不等式在 R 上恒成立,故所求必要不充分条件是 m>0. 8.【解析】选 D.画出函数 f(x)的大致图象如图,由图形易知 f(x)在 R 上为单调递增函数,因此由 f(2-x2)>f(x)可知 2-x2>x,即 x2+x-2<0,解 得-2<x<1,即实数 x 的取值 范围是(-2,1).
1 4

9.【思路点拨】先利用换元法将不等式化为一元二次不等式,求得[x] 的范围,再结合[x]的含义得出 x 的范围. 【解析】选 A.令 t=[x] ,则不等式化为 4t2-36t+45<0,解得 ? t ?
[x] ? 而 t=[x] ,所以 ? 3 2
3 2 15 , 2

15 ,由[x]的定义可知 x 的取值范围是 2≤ 2

x<8,即不等式解集为{x|2≤x<8}. 10.【思路点拨】将参数 a 分离到不等式的一边,然后求不等式另一边 的最大值,令 t ? ,通过换元,转化为二次函数在闭区间上的最值问 题. 【解析】选 D.由 xy≤ax2+2y2 可得 a ? ? 2( ) 2, 令 t ? ,g(t)=-2t2+t,由 于
y x y x
y x y x

x∈ [1,2] ,y∈ [2,3] , 所以 t∈ [1,3] , 于是 g(t)=-2t2+t=-2(t- )2+ , 因此 g(t)的最大值为 g(1)=-1,故要使不等式恒成立,实数 a 的范围 是 a≥-1. 【方法技巧】换元法的妙用 本题中涉及三个变量,但通过分离变量,将不等式的一边化为只含有 x,y 两个变量的式子,然后通过换元法求出该式的最值,从而得到参数 a 的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一般地,形如 a[f(x)]
2

1 4

1 8

+bf(x)+c 的式子,不论 f(x)的具体形式如何,都可采用换元法,将其

转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需注意的是换 元后一定要注意新元的取值范围. 【变式备选】若不等式 a〃4x-2x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的 取值范围是_______. 【解析】不等式可变形为 a ? 令( )x=t,则 t>0, 且 y=( )x-( )x=t-t2=-(t- )2+ ,因此当 t= 时,y 取最大值 , 故实数 a 的取值范围是 a> . 答案:a>
1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2

2x ? 1 1 x 1 x ? ( ) ?( ) , 4x 2 4

11.【解析】依题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以 a=0,从
?b ? 0, 而不等式变为 bx-1≤0,于是应有 ? 所以 b=-1. ?1 ? ? 1 , ? ?b

答案:0,-1 12.【解析】由已知可解得 A={x∈R|-5<x<1},而 A∩B=(-1,n),所以

必有 B= {x∈R|m<x<2},由数轴可得 m=-1,n=1. 答案:-1 1

13.【思路点拨】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式, 求解. 【解析】七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2. 所以一月份至十月份的销售总额为: 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 解得 1+x%≤-2.2(舍)或 1+x%≥1.2, 所以 xmin=20. 答案:20 14. 【解析】 原不等式等价于 ? 即不等式解集为(-≦,1]. 答案:(-≦,1] 15.【解析】假设一次上网 x(x<17)小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x 元, 公司 B 收取的费用为 1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+[1.7-(x-1)× 0.1]
x(35 ? x) (元). 20 x(35 ? x) 由 >1.5x(0<x<17), 20

?x ? 0, ?x ? x ? 2
2

或?

?x<0,
2 ?x ? x ? 2

解得 0≤x≤1 或 x<0,

=

整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5, 故当 0<x<5 时,A 公司收费低于 B 公司收费,当 x=5 时,A,B 两公司收

费相等,当 5<x<17 时,B 公司收费低, 所以当一次上网时间在 5 小时以内时,选择公司 A 的费用少;为 5 小时 时,选择公司 A 与公司 B 费用一样多;超过 5 小时小于 17 小时,选择 公司 B 的费用少.

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