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普陀区高中培训机构:恒高个性化辅导方案——高二数学(数列的章节复习(二)


恒高个性化辅导讲义
课 题

数列的复习(二)

教学目的

复习巩固数列这一章的知识点及常用的解题方法,查漏补缺。

教学内容

【知识梳理】

? ? ?定义 ? ? ? ? ? ?等差中项 ? ? ? ?递推公式 ? ?等差数列 ? ? ? ?通

项公式 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ? ?等比中项 ? ? ?递推公式 ? ? ? ?数列 ?等比数列 ? ? ? ?通项公式 数列与数学归纳法 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ?四则运算 ? ?数列的极限 ? ? ? ?常见的重要极限 ? ? ?无穷等比数列各项和 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数学归纳法证明的步骤 ? 数学归纳法 ? ? ?归纳 ? 猜想 ? 论证的方法 ?

【典型例题分析】
例 1、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

例 2、设数列 a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为 0, 证明: ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都 有

1 1 1 n 。 ? ??? ? a1a 2 a2 a3 an an?1 a1an?1

例 3、(2010 上海春季高考)已知首项为 x1 的数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?
?

axn ( a 为常数) xn ? 1

(1)若对任意的 x1 ? ?1, 有 xn? 2 ? xn 对任意的 n ? N 都成立,求 a 的值 (2)当 a ? 1 时,若 x1 ? 0 ,数列 ?xn ? 是递增数列还是递减数列?请说明理由 (3)当 a 确定后,数列 ?xn ? 由其首项 x1 确定,当 a ? 2 时,通过对数列 ?xn ? 的探究,写出“ ?xn ? 是有穷数列”的 一个真命题(不必证明)

例 4、在数列 ?an

? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * k ? N , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。

(Ⅰ)若 dk =2k,证明 a2k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列( k ? N * ) ; (Ⅱ)若对任意 k ? N * , a2k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列,其公比为 qk . (i)设 q1 ? 1.证明 ?

? 1 ? ? 是等差数列; q ? 1 ? k ?
3 k2 ? 2n ?n? ? 2(n ? 2) 2 k ?2 ak

(ii)若 a2 ? 2 ,证明

例 5、设 n 阶方阵

1 3 5 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 A n ? ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ??? ??? ??? ? ? 2n(n ? 1) ? 1 2n(n ? 1) ? 3 2n(n ? 1) ? 5 ?

??? ??? ??? ??? ???

2n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? 6n ? 1 ? ,取 An 中的一个元素,记为 x1 ;划去 x1 所在的行 ? ??? ? 2n ? 12 ? ?

和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成 n-1 阶方阵 An?1 ,任取 An?1 中的一个元素记为 x2 ,划去 x2 所在的行和 列,??将最后剩下的一个元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? ? xn ,则 lim

n ??

Sn ? n ?1
3



【课堂小练】
一、选择题: 1. (2010 年高考山东卷理科 9)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是数列{an}是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

2. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 4) 已知各项均为正数的等比数列{ an }, 则 a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,

a4 a5a6 =

(A) 5 2

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2

3. (2010 年高考福建卷理科 3)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等 于 A.6 B.7 C.8 D.9

4. (2010 年高考安徽卷理科 10)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z , 则下列等式中恒成立的是( A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

) B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

5. (2010 年高考天津卷理科 6)已知{ an }是首项为 1 的等比数列, Sn 是{ an }的前 n 项和,且 9S3 ? S6 。则数列 ? 的前 5 项和为 (A)
[来源:Z+xx+k.Com]

?1? ? ?an ?

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

6. (2010 年高考广东卷理科 4)已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中 项为

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

A.35

7. (2010 年高考四川卷理科 8)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,则 lim

n ??

an ? Sn

(A)0

(B)

1 2

(C) 1

(D)2 )

8. (2010 年高考陕西卷理科 9)对于数列{a n} , “a n+1>∣a n∣(n=1,2?) ”是“ {a n}为递增数列”的(

( A) 必要不充分条件 (C) 必要条件

(B) 充分不必要条件

[来源:学+科+网]

(D) 既不充分也不必要条件

9. (2010 年高考北京卷理科 2)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4a5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

10. (2010 年高考浙江卷 3)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+ a5=0, 则 S5/S2= (A)11 (B)5 (C)-8 (D)-11 二、填空题: 1、 (2010 年高考湖南卷理科 15)若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这
?

样的 m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列 ( an )

?

?

? .例如,若数列 ?a ? 是 1, 2,3…,n,… ,则数列 ?(a ) ? 是
?

n

n

0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,则 (a5 )? ?

, ((an )? )? ?



2、 (2010 年高考浙江卷 15) 设 a1,d 为实数, 首项为 a1, 公差为 d 的等差数列{an }的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0, 则 d 的取值范围是 。

3、 (2010 年高考辽宁卷理科 16)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为_________ _. n

* 4、 (2010 年高考上海市理科 11) 将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )x 轴、y 轴围成

的封闭图形的面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



【课后练习】
1 1 1 1 , , ,..., n ,... 的各项和为 _____ ______ 2 4 8 2 n(n ? 1)(n ? 2) 2、计算: lim =_______________ n ?? 6n 3
一、1、无穷数列 3、若 lim

2n 存在,且不为零,则实数 ? 的取值范围是 __ n ?? 2 n ?1 ? a n

__

4、若 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 0, a15 ? a16 ? 0, a15 ? a16 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是______

1 ,且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0(n ? N * ) ,则 a100 =___ __ 2 8 6、设无穷等比数列 ?an ? 满足 lim(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ) ? ,求首项 a1 的取值范围是 n ?? 3
5、在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 10, a2 ? 9

7、数列 5,55,555,...,55.5,.. ? 的前 n 项和 Sn =___
n个5

____

8、计算: lim(2n ?
n ??

2n 2 ? n ) =___ ___ n ?1

9、某市 2000 年底人口为 1600 万,住房总面积为 9600 万 m ,2010 年底人均住房面积为 8 m ,则该市人均住房面 积这十年的平均增长率是_________% 10、已知无穷等比数列 ?an ? 的每一项都等于它以后各项和的 2k 倍,则 k 的取值范围是__ 11 、 设

2

2

__ m 项 , 若

an1 , an 2 , an3 ,..., anm 是 公 差 为

d

的 等 差 数 列

?an ?

中 任 意

n1 ? n2 ? ... ? nm a ? a ? ... ? anm r r ? p ? (r ? m, p、r、m ? N * ) ,则 n1 n 2 ? a p ? d 成立。类上述性质,设正数 m m m m
若 bn1 , bn 2 , bn3 ,..., bnm 是公比为 q 的等比数列 ?bn ? 中的任意 m 项, 则_____ ______________成立 二、选择题 12、等比数列 ?an ? 的公比为 q,则"q>1"是“对任意 n ? N ,都有 an?1 ? an ”的 (
*

n1 ? n2 ? ... ? nm r ? p ? (r ? m, p、r、m ? N * ) , m m



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分又不必要条件

13 、 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a3 ? a4 ? a5 是 一 个 确 定 的 常 数 , 则 数 列 Sn 中 也 为 常 数 的 项 是 ( ) (B)

(A) S7

S8

(C)

S13

(D)

S15

14、银行一年定期的年利率为 r,三年定期的年利率为 q,银行为吸收长期资金,鼓励储户存三年定期的存款,那么 q 的值应略大于 ( ) (A)

(1 ? r )3 ? 1

(B)

1 ? (1 ? r )3 ? 1? ? ? 3

(C) (1 ? r ) ? 1
3

(D) r
*

15、在用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)...(n ? n) ? 2 ?1? 3 ??? (2n ?1) (n ? N ) 中,从假设当 n=k 时等式成立证明当
n

n=k+1 时等式也成立时,等式左端需乘的式子是 ( (A) 2k+1 (B) 2(2k+1) (C)



2k ? 1 k ?1

(D)

2k ? 3 k ?1
( )

? ? 1 ? a ?n ? 16、若 lim ?1 ? ? ? ? ? 1 ,则 a 的取值范围是 n ?? ? ? 2a ? ? ? ?
(A) ? , ?? ? (C) ? , ?? ? ? ? ??, ?1? 三、解答题

?1 ?3

? ? ? ?

(B) ? ??, ?1?

?1 ?3

(D) ? ?1, ?

? ?

1? 3?

?1 a , n为偶数 ? 1 1 ?2 n 17.设数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ? , 且 an ?1 ? ? ,记 bn ? a2 n ?1 ? , 4 4 ?a ? 1 , n为奇数 n ? ? 4
n ? 1, 2,3,?
(1)求 a2 , a3 (2)判断数列 ?bn ? 是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 lim ? b1 ? b2 ? b3 ??? bn ?
n ??

18.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,且对任意 n ? N ,总有 4Sn?1 ? 1 ? 3Sn
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn ; (2)指出数列 ?an ? 中的最大项、最小项及相应的值。

x 19. 已 知 An ? an , bn ? ( n ? N ) 是 曲 线 y ? e 上 的 点 , a1 ? a , Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且 满 足
?

2 2 Sn ? 3n2an ? Sn ?1 , an ? 0, n ? 2,3, 4,?

(1)证明数列 ?

? bn? 2 ? ? ? n ? 2 ? 是等比数列; ? bn ?

(2)确定 a 的取值集合 M ,是 a ? M S 时,数列 ?an ? 是单调递增数列。

20.2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%,从 2003 年开始,计划每年将非绿化的面积的 8%绿化,由于修路 和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化。 (1)设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1 ? (2)求数列 ?an ? ; (3)至少需要多少年努力,才能使绿化率超过 60%

4 ,经过 n 年绿化后绿化的面积为 an ?1 ,试用 an 表示 an ?1 ; 10

21. 已知 a1 , a2 , a3 ,?, a30 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,对于满足 0 ? k ? 30 的正数 k ,数列 b1 , b2 ,?, b30 由

?an ? k ,1 ? n ? 30 ? k 确定 bn ? ? ?an ? k ?30 ,30 ? k ? n ? 30

记 c ? a1b1 ? a2b2 ??? a30b30 求: (1) k ? 1 时 c 的值; (2) c 最小时 k 的值。


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