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数列解三角形不等式测试卷


2014-2015 学年度蒲城中学期中试卷
考试范围:必修 5;考试时间:120 分钟;命题人:李海云

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.在数列 1,1,2,3,5,8, x ,21,34,55,…中, x 等于( A.13 B.11 C.14 D.16 2.等差数列 ?an ? 中,a1=1,d=3,an=298,则 n 的值等于( A. 100 B.98 C.99 3.已知 ?a n ?是等比数列,前 n 项和为 Sn , a 2 ? 2,a 5 ? ) )

D.101

1 ,则 S5 ? 4

31 4 33 C. 4
A.

13 2 101 D. 8
B. )

4.在△ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于 ( A. 120° B. 30° C.60° D. 150° 5.若 a , b, c 为实数,则下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B.若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b

C.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

2 2 D.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

6.在△ABC 中,其中有两解的是( ) A. a=8,b=16,A=30° B. a=30,b=25,A=150° C. a=72,b=50,A=135° D. a=18,b=20,A=60° 7.设 x>0,y>0,x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是(

) (D)2 3 -2 )

3 (A) 2

(B)1 +

3

(C)2- 3

8.在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形 )

A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 9.已知 0 ? x ?

1 ,则 x(1 ? 3x) 取最大值时 x 的值是( 3
B.

A.

1 3

2 3

C.

1 4

D.

1 6

?y ? x ? 10.设变量 x 、 y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y ? 2 的最小值为( ? x ? ?2 ?
A. ?2 B. ?4 C. ?6 11.已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ?

) D. ?8

1 4 ? 的最小值是 a b

A.

7 2

B. 4

C. 5

D.

9 2


12.已知 x ? 2 ,则函数 y ? A.2 B.4

x 2 ? 6 x ? 12 的最小值是( x?2
C.6 D.8

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题(共 6 题,每题 5 分,共 30 分)

13.等差数列 {an } 中, S4 ? 6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 30 ,则公差 d ? _____________.

14.若关于 x 的不等式

ax2 ? bx ? 2
>0 的解集是

?x x ? -2或x ? -1?,则 a+b=___________.

15 . 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 若 a ? 7 , b ? 5 , c ? 8 , 则 △ ABC 的 面 积 S 等 于 .

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 16.已知变数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 , 目标函数 z ? x ? ay (a ? 0) 仅在点 (2, 2) 处取得最大值,则 a 的 ?3x ? y ? 8 ? 0 ?
取值范围为_____________. 17.等差数列 ?an ?, ?bn? 的前 n 项和分别为 Sn、Tn ,若
3 3 3

Sn a 2n = ,则 11 =_________ b11 Tn 3n ? 1
3

18.观察下列等式 2 ? 3 ? 5,3 ? 7 ? 9 ? 11, 4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,5 ? 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29, 各式方法将 m 分拆得到的等式右边最后一个数是 109 ,则正整数 m 等于_
3

,若类似上面

___.

评卷人

得分 三、解答题(共 5 题,19、20、21 每题 10 分,22、23 每题 15 分)

19. 解下列不等式:
2 (1) ? x ? 7 x ? 12 ? 0 ;

2x ? 1 ?0 (2) x ? 4

.

20.根据下列条件解三角形: (1) b ? 3, B ? 60?, c ? 1; (2) c ? 6, A ? 45?, a ? 2 . 21.已知等比数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,a3 ? 18 ,等差数列 ?bn ? 中,b1 ? 2 ,且 a1 ? a b ?2b ? 2 ?a 3 ?1 3b ? 4 b ? 20 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑵求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

22. 已知不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 .
2

(1)若对 ?x ? R 不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对 ?x ? [1,3] 不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若对满足 | m |? 2 的一切 m 的值不等式恒成立,求实数 x 的取值范围. 23.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ,数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {bn } 的通项 bn ; (3)若 cn ?

? n ? 1 ,2 ,3 , ? .

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

1.A 7.D 13.1 17.

2.A 8.B 14. 4

3.A 9.D

参考答案 4.A 5.D 10.C 11.D

6 .D 12.A

15. 10 3 18.10

16. ( , ??)

1 3

21 32

? 19.解:原不等式成立可化为 x ? ? x ??? >0

(2 x ? 1)( x ? 4) ? 0 (2) 原不等式化为:
方程 (2 x ? 1)(x ? 4) ? 0 的 2 个解为 x1 ? ?4 , 根据函数 y ? (2 x ? 1)(x ? 4) 的图像,可知:

x2 ?

1 2

? 1? ?x ? 4 ? x ? ? 2? 原不等式解集为 ?

c sin B 1? sin 60? 1 b c sin C ? ? ? ? b 2, 3 sin B sin C 20 解: (1) ,∴

b ? c, B ? 60 ,∴ C ? B ,∴ C 为锐角,∴ C ? 30 , A ? 90 ,∴ a ? b2 ? c2 ? 2 .
a c c sin A 6 ? sin 45 3 ? sin C ? ? ? sin A sin C ,∴ a 2 2 ,∴ C ? 60 或120 ,

(2)

C ? 60 时,B ? 75 , b ?
∴当

c sin B 6 sin 75 ? ? 3 ?1 sin C sin 60 ; c sin B 6 sin15 ? ? 3 ?1 sin C sin 60 ;

C ? 120 时,B ? 15 , b ?
∴当

所以, b ? 3 ? 1, B ? 75 , C ? 60 或 b ? 3 ?1, B ? 15 , C ? 120 . 21 解 :(1) ∵

a3 ? 18,? 2q 2 ? 18, q 2 ? 9, q ? ?3,



q?3





a 2 ? 6, a1 ? a2 ? a3 ? 26 ? 20 ,当 q ? ?3 时, a2 ? ?6, a1 ? a2 ? a3 ? 14 ? 20 ,不满足
题意,所以 q ? 3 , an = 2 ? 3
n ?1

.

(2) 由 已 知 b2 ? b3 ? b4 ? 24,? 3b3 ? 24, b3 ? 8 , 8 ? 2 ? 2d , ∴ d ? 3 , ∴

S n ? 2n ?

n(n - 1) 3 1 ? 3 ? n2 ? n . 2 2 2
2

22.解:(1)要使不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立 ①若 m ? 0 ,显然 ? 1 ? 0 ②若 m ? 0 ,则 ?

?m ? 0
2 ?? ? m ? 4m ? 0

? ?4 ? m ? 0

∴综上,实数 m 的取值范围是 {m | ?4 ? m ? 0} (2)令 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 ①当 m ? 0 时, f ( x) ? ?1 ? 0 显然恒成立 ②当 m ? 0 时,若对 ?x ? [1,3] 不等式恒成立,只需 ?

? f (1) ? 0 即可 ? f (3) ? 0

∴? ∴

? f (1) ? ?1 ? 0 1 ,解得 m ? 6 ? f (3) ? 9m ? 3m ? 1 ? 0
1 6

0?m?
8分

……

③当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的图象开口向下,对称轴为 x ? 立,结合函数图象知只需 f (1) ? 0 即可,解得 m ? R ∴

1 ,若对 ?x ? [1,3] 不等式恒成 2

m?0
∴综上述,实数 m 的取值范围是 {m | m ? } (3)令 g (m) ? mx ? mx ? 1 ? ( x ? x)m ? 1
2 2

……

1 6

若对满足 | m |? 2 的一切 m 的值不等式恒成立,则只需 ?
2 ? 1? 3 1? 3 ?? 2( x ? x ) ? 1 ? 0 ,解得 ?x? 2 2 2 ? 2( x ? x ) ? 1 ? 0 ?

? g (?2) ? 0 即可 ? g (2) ? 0

∴?

∴实数 x 的取值范围是 {x |

1? 3 1? 3 ?x? } 2 2

23.解: (1)∵ S n ? 2 n , ∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) . ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) . 当 n ? 1 时, 21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 , ∴ an ? ?

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

(2)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3, b4 ? b3 ? 5, bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得:

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ?

? ? 2n ? 3 ? ?

? n ? 1??1 ? 2n ? 3? ?
2

? n ? 1?

2

b1 ? ?1

2 ?bn ? n ? 2 n

(3)由题意得 cn ? ?

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2

= 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n , ∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .



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