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高中数学奥林匹克竞赛训练题(09)


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数学奥林匹克高中训练题(09) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. (训练题14)设 p > 3 , p 和 p + 4 都是素数,S = p ( p + 4) , 对于 i = 1, 2,3,L , k ? 1 ,Si +1 表示 Si 的各位数码之和,若 Sk 是一位数,则 S k = (B). (A) 3 (B)5 (C)7 (D)9 2.(训练题14)已知 ?ABC 的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点),且

A(0, 0), B (36,15) .则 ?ABC 的面积的最小值是(B).
(A)

1 2

(B)

3 2

(C)

5 2

(D)

7 2
3.(训练题14)把1995个不加区别的小数分别放在10个不同的盒子里,使得第 i 个盒子中至 少有 i 个球( i = 1, 2,3,L ,10 ),则不同放法的总数是(D).

(A)

C

10 1940

(B)

C

9 1940

(C)

C

10 1949

(D)

C

9 1949

4.(训练题14) 已知 P 为 ?ABC 内一点,直线 AP, BP, CP 交 BC , CA, AB 于 D, E , F ,且

AP BP CP AP BP CP + + = 1995 ,则 ? ? 的值为(C). PD PE PF PD PE PF
(A) 1995
o

(B) 1996
o o o

(C) 1997

(D) 1998

5.(训练题14) cos 6 cos 42 cos 66 cos 78 = (A). (A)

1 16

(B)

1 8

(C)

1 4

(D) 某个无理数

6.(训练题14)正十二面体有20个顶点,30条棱,每一个顶点是三条棱的交点,这三条棱的 另一端是正十二面体的另外三个顶点, 则称这三个顶点与前一个顶点是相邻的. 在每个顶点 放上一个实数, 要求每个顶点所放的实数恰是与该顶点相邻的三个顶点处所放实数的算术平 均值.设 M 和 m 分别是这20个实数中最大的和最小的,则 M ? m = (A). (A)0 (B)1 (C)12 (D) 不能确定 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题14)设函数 f(x)的定义域和值域都是 R ,且对任意的 a, b ∈ R 有 f [ af (b)] = ab , 则 f (1995) 的值是 1995 .

2.(训练题14)已知双曲线

x2 y 2 ? = 1 的右焦点为 F ,过 F 的任一直线交双曲线的右支于 t t

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M , N , MN 垂 直 平 分 线 交 x 轴 于 P . 当 t 取 不 等 于 0 的 任 意 正 实 数 时 ,

FP MN

=

2 2



3.(训练题14)设 z 是1的7次方根, z ≠ 1 .则 z + z 2 + z 4 的值是
2

?1 ± 7i 2



4.(训练题14)设 f ( x ) = ax + bx + c( a, b, c ∈ R, a ≠ 0) .如果在 x ≤ 1 时, f ( x) ≤ 1 ,则 在 x ≤ 1 时, 2ax + b 的最大值等于 4 .
n n n

5. (训练题14)设 xi ∈ {0,1, 2} , = 1, 2,L , n , T1 = i 且

∑ x ,T = ∑ x
i =1 i 2 i =1

2

i

, Tk = …,

∑x
i =1

k

i

. 设

T1 = a , T2 = b ,用 a, b 表示 Tk ,则 Tk =

(2k ?1 ? 1)b ? (2k ?1 ? 2)a



6 . ( 训 练 题 14) 在 六 条 棱 长 分 别 是 2,3,3,4,5,5 的 所 有 四 面 体 中 , 最 大 的 体 积 是

8 2 3



第二试 一 、 ( 训 练 题 14)( 本 题 满 分 25 分 ) M 为 ?ABC 内 一 点 , 满 足

∠AMC = 90o , ∠AMB =150o , ∠BMC =120o ,设 P, Q, R 分别为 ?AMC , ?AMB 和 ?BMC 的外
心,求证: S ?PQR > S ?ABC . 二、(训练题14)(本题满分25分)设 {an } 为等差数列, d 为公差,且 a1 和 d 均为实数,它的 前 n 项和记作 Sn .设集合 A = {( an ,

Sn 1 ) | n ∈ N }, B = {( x, y ) | x 2 ? y 2 = 1, x, y ∈ R} . n 4

下列结论是否正确?如果正确,请给予证明;如果不正确,请举一个例子说明. (1)以集合 A 中的元素为坐标的点都在同一直线上; (2) A I B 至少有一个元素; (3) a1 ≠ 0 时,一定有 A I B ≠ φ . 三、(训练题14)(本题满分35分)对于正整数 n( n > 1) 的每个质约数,考虑其不超过 n 的最高 次 幂 , 所 有 这 些 方 幂 的 和 记 为

f ( n)







f (100) = 26 + 52 = 89, f (120) = 26 + 34 + 52 = 170 .

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证明:存在无穷多个 n ,使得 f ( n) > n . 四、 (训练题14)(本题满分35分)某桥牌俱乐部规定: 仅当四人中无二人曾经相互作过伙伴时 才能一起玩,在一次有14人参加的集会中,他们每人都曾与其他5人作过伙伴,玩3局之后, 按规定只能停止.正当他们准备离开时,他们都不认识的一个新会员来了,证明这时至少还 有一局可以玩.
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