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2015-2016学年高中数学 3.3第2课时 线性规划的概念课件 新人教A版必修5


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章 不等式

第三章
3.3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题 第2课时 线性规划的概念

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

? 1.了解线性规划的意义. ? 2.通过实例弄清线性规划的有关概念术语. ? 3.会用图解法求一些简单的线性规划问题.

? 战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马,用自 己的下等马对国王的上等马,用自己的上等 马对国王的中等马,用自己的中等马对国王 的下等马,这样田忌以2∶1取得了胜利,这 个故事讲述了规划的威力.实际生产生活中, 我们常常希望以最少的投入获得最大的回 报.线性规划提供了解决优化问题的有效工 具.

? 1.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连结 A(1,-2)、B(2,1)的线段总有公共点,则直 线l的斜率k的取值范围是________.

? [答案] [-1,1]

? [解析] 由题意知直线l斜率存在,设为k. ? 则可设直线l的方程为kx-y-1=0, ? 由题知:A、B两点在直线l上或在直线l的两 侧,所以有: ? (k+1)(2k-2)≤0 ? ∴-1≤k≤1.

2.直线 x+ 3y-m=0 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两 个不同的交点,则 m 的取值范围是( A.1<m<2 C.1<m< 3 ) B. 3<m<3 D. 3<m<2

? [答案] D
[分析] 动直线 x+ 3y-m=0 是一族平行直线, 直线与圆 在第一象限内有两个不同交点,可通过画图观察找出临界点, 求出 m 的取值范围.

3 [解析] 直线斜率为定值 k=- 3 .如图,平移直线到过点 |m| A(0,1)时,m= 3,到相切时, 2 =1,

∴m=2,∴ 3<m<2.

1.线性规划的概念 某公司计划投资 60 万元开发甲、 乙两个项目, 要求对项目 2 甲的投资不小于对项目乙投资的3倍, 且对每个项目的投资不能 低于 5 万元.经市场调查,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润.

请你思考: (1)若设投资甲、乙两个项目的资金分别为 x,y 万元,你能 将 x,y 所受的约束条件用不等式来表示吗? 设公司所获利润为 z 万元,那么 z 与 x,y 有何关系? (2)x,y 的取值对利润 z 有无影响? (3)商业投资追求利润最大化,你能依据上述条件,给出投 资方案,使该公司获得最大利润吗?

? 线性规划的有关概念 名称 意义

变量x,y满足的一组条件 由x,y的二元一次不等式(或方程)组成的不等 线性约束条件 式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析 目标函数 式 线性目标函数 目标函数是关于x,y的二元一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题
在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或最小值问题

约束条件

? (1)在线性约束条件下,最优解唯一吗? ? [答案] 不一定,可能只有一个,可能有多个, 也可能有无数个.

? (2)将目标函数z=3x-y看成直线方程时,下 列关于z的意义,正确命题的序号是 ________. ? ①该直线的截距;②该直线的纵截距;③该 直线的纵截距的相反数;④该直线的横截 距. ? [答案] ③ ? [解析] 把目标函数整理可得y=3x-z,z为 直线纵截距的相反数,故只有③正确.

2.简单线性规划问题的解法 ?x≥0, ? 已知 x 与 y 满足约束条件?0≤y≤2, ?x-y-1≤0, ? 请你画出此不等

式组表示的平面区域,并作出直线 l0:x+y=0,平移直线 l 观 察其在 y 轴上的截距,当直线 l 与可行域有公共点时,其在 y 轴上的截距如何变化?何时取到最大值?设 z=x+y, 则 z 的最 大值是多少?

简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想根据 线性目标函数的几何意义,求线性目标函数在线性约束条件下 的最优解,一般步骤如下: ①作图:画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域; ②找初始直线:列目标函数,找初始直线 l0; ③平移:将直线 l0 平行移动,以确定最优解所对应的点的 位置; ④求值:解有关的方程组,求出最优点的坐标,再代入目 标函数,求出目标函数的值.

?y≤x ? 已知 z=2x+y,式子中变量 x、y 满足条件?x+y≤1 ?y≥-1 ? z 的最大值是________.

,则

? [答案] 3

[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示.

作直线 l0:2x+y=0,平移直线 l0,当直线 l0 经过平面区 域内的点 A(2,-1)时,z 取最大值 2×2-1=3.

课堂探究学案

? 求线性目标函数的最值问题
设 z = 2x + y , 式 中 变 量 x 、 y 满 足 条 件 ?x-4y≤-3 ? ?3x+5y≤25 ?x≥1 ? ,求 z 的最大值和最小值.

? [分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关 于x、y的一次式,所以此问题是简单线性规 划问题,使用图解法求解.

? [解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可 行域),如图所示.

把 z=2x+y 变形为 y=-2x+z,得到斜率为-2,在 y 轴 上的截距为 z,随 z 变化的一族平行直线. 由图可看出,当直线 z=2x+y 经过可行域上的点 A 时,截 距 z 最大,经过点 B 时,截距 z 最小.
? ?x-4y+3=0 解方程组? ? ?3x+5y-25=0 ? ?x=1 解方程组? ? ?x-4y+3=0

,得 A 点坐标为(5,2),

,得 B 点坐标为(1,1),

所以 zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3.

[方法规律总结]

解线性规划问题的关键是准确地作出可

行域,正确理解 z 的几何意义,对一个封闭图形而言,最优解 一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得.在解题中也可 由此快速找到最大值点或最小值点.

?y≤x ? (2015· 梧州二模)已知 x,y 满足不等式组?x+y≥2 ?x≤2 ? =2x+y 的最大值为________.

,则 z

? [答案] 6

? [解析] 不等式组表示的平面区域如图所示, 平移直线2x+y=0知,当直线z=2x+y经过 点A(2,2)时z取得最大值,∴zmax=2×2+2= 6.

? 简单的线性规划中的整数解
设 z = 7x + 5y 中的变量 x , y 满足下列条件 ? ?4x+3y-20≤0, ?x-3y-2≤0, ? ?x≥0, ? ?y≥0.

当 x,y 是整数时,求 z 的最大值.

? [分析] 先作出不等式组所表示的可行域,需 要注意的是这里的x,y是整数,故只是可行 域内的整数点,然后作出与直线7x+5y=0 平行的直线再进行观察.

? [解析] 由题意知,作出可行域如图所示.

? ?4x+3y-20=0, 由方程组? ? ?x-3y-2=0,

22 4 解得交点 A 的坐标为( 5 ,5).

作直线 7x+5y=0,平行移动过点 A 时,z=7x+5y 取最大 值. ∵点 A 不是整数点,∴对应的 z 值不是最优解. 174 ∵此时过点 A 的直线为 7x+5y= 5 , 174 ∴应考虑可行域中距离直线 7x+5y= 5 最近的整点,即 B(2,4). ∵z(B)=7×2+5×4=34,∴z 的最大值为 34.

[方法规律总结]

在求解最优解为整数点的题型时,若最

优解不在直线的交点处,应考虑可行域中距离邻近最优解的边 界线附近的整点,比较后作出正确的解答.

? ?|x+y|≤1 不等式组? ? ?|x-y|≤1

表示的平面区域内整点的个数是

(

) A.0 C.4 B.2 D.5

? [答案] D

[解析] 不等式组

? ?|x+y|≤1 ? ? ?|x-y|≤1

变形为

? ?x+y≤1 ? ?x+y≥-1 ?-1≤x+y≤1 ? ,即? ? ?-1≤x-y≤1 ?x-y≤1 ? ?x-y≥-1

作出其平面区域如图.

可见其整点有:(-1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0,-1)和(1,0)共 五个.

? 非线性目标函数的最值问题
?x-y+2≥0 ? 已知 x、y 满足?x+y-4≥0 ?2x-y-5≤0 ? (1)z=x2+y2-10y+25 的最小值; y+1 (2)z= 的取值范围. x+1 ,求:

[分析] (1)将 z 化为 z=x2+(y-5)2,问题转化为求可行域 中的点与定点的最小距离问题; y-?-1? (2)将式子化为 z= 或 y+1=z(x+1),问题转化为 x-?-1? 求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题.

? [解析] (1)作出可行域,如图.

? 并求出点A、B的坐标分别为(1,3)、(3,1).

(1)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5) 的距离的平方,过 M 作直线 AC 的垂线 MN,垂足为 N,则:z |0-5+2| 2 9 ) =2. 最小=|MN| =( 2
2

y+1 y-?-1? (2)z = = 表示可行域内任一点 (x , y) 与定点 x+1 x-?-1? 3+1 Q(-1, -1)连线的斜率, 可知, kAQ 最大, kQB 最小. 而 kQA= 1+1 1+1 1 =2,kQB= =2. 3+1 1 ∴z 的取值范围为[2,2].

[方法规律总结] 离等联系.

求非线性目标函数的最值,要注意分析

充分利用目标函数所表示的几何意义,通常与截距、斜率、距

(2015· 唐山市二模)设实数 x,y 满足约束条件 ?2x-y+1≥0, ? ?x+3y-3≥0, ?x+y-2≤0, ?
?1 ? A.?5,1? ? ? ?1 3? C.?6,2? ? ?

y 则 z= 的取值范围是( x+1
?1 5? B.?6,4? ? ? ?1 5? D.?5,4? ? ?

)

? [答案] D

[解析]

y 作出可行域如图,z= 表示可行域内的点与定 x+1

点 B(-1,0)连线的斜率 k,显然 kBM≤k≤kBN.

? ?x+y-2=0, 由? ? ?x+3y-3=0. ? ?x+y-2=0, 由? ? ?2x-y+1=0.

3 1 得 M(2,2). 1 5 得 N(3,3).

1 5 1 5 ∴kBM=5,kBN=4,即5≤k≤4.故选 D.

? 已知目标函数的最值求参数
?x+y-2≥0, ? (2014· 北京理, 6)若 x、 y 满足?kx-y+2≥0, ?y≥0, ? 且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( A.2 1 C.2 B.-2 1 D.-2 )

[ 分析 ]

? ?x+y-2=0, 先作出不等式组 ? ? ?y≥0,

表示的平面区

域,又直线 l:kx-y+2=0 过定点(0,2),因此要使目标函数 z 2 =y-x 取到最小值-4, 应有 l 与 x 轴的交点 A(-k, 0)在点 B(2,0) 的右边.依据最值列方程即可求得 k 值.

[解析] 若 k≥0,z=y-x 没有最小值,不合题意. 若 k<0,则不等式组所表示的平面区域如图所示.

2 由图可知,z=y-x 在点(-k ,0)处取最小值-4, 2 1 故 0-(- k)=-4,解得 k=-2,即选项 D 正确.

[方法规律总结] 范围问题

求约束条件或目标函数中的参数的取值

解答此类问题:一要明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得;二要搞清目标函数的几何意义,然后运 用数形结合的思想、方法求解.

设 x、y

? ?x+y≥a, 满足约束条件? ? ?x-y≤-1,

且 z=x+ay 的最小值

为 7,则 a=( A.-5 C.-5 或 3

) B.3 D.5 或-3

? [答案] B

[解析] 当 a=-5 时,作出可行域,
? ?x+y=5, 由? ? ?x-y=-1,

得交点 A(-3,-2),则目标函数 z=x-

5y 过 A 点时取最大值,zmax=7,不合题意,排除 A、C;当 a =3 时,同理可得目标函数 z=x+3y 过 B(1,2)时,zmin=7 符合 题意,故选 B.

?4x-5y+21≥0, ? 已知线性约束条件为?x-3y+7≤0, ?2x+y-7≤0, ? 得线性目标函数 z=x+2y 取得最大值的最优解.

求使

? [错解] 由题意,作出可行域如图所示.

1 z 目标函数 z=x+2y 对应的直线 l 为: y=-2x+2, z 的值随 z 直线 l 在 y 轴上的截距2的增大而增大. 故由图可知 l 过点 C 时, z 取最大值.
? ?x-3y+7=0, 由? ? ?2x+y-7=0 ? ?x=2, 得? ? ?y=3. ? ?x=2, ∴最优解为? ? ?y=3.

? [辨析] 作图不准确.目标函数变形后对应的 直线画的方向不准确,导致求最优解时,对 应点的位置找错.

[正解]

由题意,作出可行域如图所示.目标函数对应直

1 z z 线 l:y=-2x+2,z 的值随直线 l 在 y 轴上的截距2的增大而增 大,故由图可知直线 l 过点 A 时,z 取最大值.

? ?4x-5y+21=0, 由? ? ?2x+y-7=0 ? ?x=1, ∴最优解为? ? ?y=5.

? ?x=1, 得? ? ?y=5,

? [警示] 在求目标函数的最优解时,必须准确 地作出可行域以及目标函数对应的直线,最 为关键的是弄清楚这些直线斜率之间的关 系.

? ?约束条件、目标函数、可行解、可行域、 ? 最优解 简单的线性? ?线性目标函数最优解的确定 规划问题 ? ?整数线性规划问题的解法 ? ?非线性目标函数的最值求解


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