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安徽省巢湖市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学理试题 Word版含答案


安徽省巢湖市第一中学 2013-2014 学年高三第一学期第一次月考

数学试卷(理科)
考试说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,试题分值 150 分,考试时间:120 分钟。 2.所有答案均要答在答题卷和答题卡上,否则无效,考试结束后只交答题卷和答题卡。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题意。 请把正确答案填涂在答题卡上。 ) 1.集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是( ) A. [3,??) B. (3,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

2p 2p ) , cos ) ,则角 ? 的最小正值为( 3 3 2p 5p 5p 11p A. B. C. D. 3 6 3 6 bc ac ab 3. 设 a, b, c 都是正数, M = ? , N=a ? b ? c ,则 M,N 的大小关系( ). ? a b c A.M ? N B.M<N C.M=N D.M ? N
2.已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin 4. “ a ? 0 ”是“方程 ax ? 2x ? 1 ? 0 至少有一个负根”的
2





A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 c cos B = b cos C , 且 cos A = 则 sin B 等于 A. ( B.
2

2 , 3



6 6

3 6

C.

15 6

D.

30 6
)

6.已知函数 f ( x) ? log 0.5 ( x ? ax ? 3a) 在 [2,??) 单调递减,则 a 的取值范围( A. (??,4] B. [4,??)
3 2

C. [?4,4]

D. (?4,4]

7. 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 1 有两个极值点 x1、x2 , 且 x1 ∈[-2, -1],x2 ∈[1,2], 则 f(-1)的取值范围是 3 3 A.[- ,3] B.[ ,6] 2 2 ( )

C.[3,12]

3 D.[- ,12] 2

8.已知函数 f ( x) ? ?

?sin ? x (0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 ? log 2010 x ( x ? 1)
) C. (2, 2011) D. [2, 2011]

a ? b ? c 的取值范围是(
A. (1, 2010)

B. (1, 2011)

9.奇函数 f ( x) 、偶函数 g ( x) 的图像分别如图 1、2 所示,方程 f ( g ( x)) =0,

g ( f ( x)) =0 的实根个数分别为 a, b. ,则 a ? b =
( ) A. B. C. D. 14 10 7 3

10.设函数 f ( x) 的导函数为 f ’ ) ,对任意 x ? R 都有 f ’ ) > f ( x) 成立,则( (x (x A. 3 f (ln 2) >2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) <2 f (ln 3) B D 3 f (ln 2) =2 f (ln 3) 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定



第 II 卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请把正确答案写在答题卷上。 ) 11.已知函数 f (x ) ? x
? n 2 ? 2 n ?3

(n ? 2k , k ? N ) 的图像在 [0,??) 上单调递增,则

. n? 12 .已知偶函数 y ? f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ∈[-1,0]时,

4 x f ( x) =3 + ,则 f (log15)的值等于________. 9 3
9 2 13. 如图, 函数 y ? x 与 y ? kx(k ? 0) 的图像所围成的阴影部分的面积为 , k =________. 则 2

x , x ?x ? x2 ? , 均 有 14 . 定 义 : 若 存 在 常 数 k , 使 得 对 定 义 域 D 内 的 任 意 两 个 1 2 1
f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? k x1 ? x2
f ?x ? ? x ?x ? 1?

成立,则称函数

f ?x ? 在定义域 D 上满足利普希茨条件。若函数
.

满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值为_______

15.已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ∈[0,2]时,

y ? f ( x) 单调递减,给出以下四个命题:
①且 f (2) =0; ② x = -4 为函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴; ③函数 y ? f ( x) 在[8,10]单调递增; ④若方程 f ( x) ? m 在[-6,-2]上的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 以上命题中所有正确命题的序号为_______ 。 三、解答题(本题计 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 把解题过程和步骤写在答题卷上) 16.
[ 来源 +xx +k. Com ] :Z

(本题 12 分)已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a
[ 来源 学 : 科网ZX XK]

(1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围.

17. (本题 12 分)将函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图像向左平移 1 个单位,再将图像 上的所 有点的纵坐标伸长 到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? g (x) 的图像. (1)求函数 y ? g (x) 的解析式和定义域; (2)求函数 y ? F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 的最大值.

18.(本题 12 分) 已知?,? 均为锐角,且 sin ? ? (1) 求 sin(? ? ? )的值; (2)求 cos ?的值。

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? , 5 3

19. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ln x , g ( x) ?

1 2 x . 2

(1)记 g’ ) 为 g ( x) 的导函数,若不等式 f ( x) ? 2 g’ ) ? (a ? 3) x ? g ( x) 在 x ? [1, e] 上 (x (x 有解,求实数 a 的取值范围; (2)若 a =1,对任意的 x1 ? x2 ? 0 ,不等式 m[ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立。

20.(本题 13 分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污, 根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每 投放 ,且 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)

变化的函数关系式近似为

,其中

.

若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和. 根据经验, 当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能 够持续有效治污,试求 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 取 1.4).

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ae , g ( x) ? ln x ? ln a , 其中 a 为常数, e=2.718?,
x

且函数 y ? f ( x) 和 y ? g (x) 的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行. (1)求常数 a 的值;

x?m (2)若存在 x 使不等式 f (x) > x成立,求实数 m 的取值范围;
(3)对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g (x) 公共定义域内的任意实数 x0 , 我们把 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 的 值称为两函数在处 x0 的偏差.求证:函数 y ? f ( x) 和 y ? g (x) 在其公共定义域内的 所有偏差都大于 2.

巢湖一中 2013——2014 学年度第一学期第一次月考

高三数学答案(理科)
选择题 填空题 CCAAD DCCBC 12. ___1___ 13. __3___ 14___1/2____ 15. ___1、2、4____ 11. ___0 或 2___ 解答题 (2) 1 ? a ?

16 (1)M=(- ? ,-1) ? (1,5)

3 或9 ? a ? 25 5
?????4 分

17. 解析: (1) y ? g ( x) ? 2 log 2 ( x ? 2), x ? ?2 (2) y ? F (x ) ? log 2

x ,x ? 0 (x ? 2) 2

?????6 分

令 u (x ) ?

x , x ? 0 (过程略) (x ? 2) 2

?????10 分

当 x ? 2 时, y ? F ( x)的最大值-3 ? g ( x) ? f ( x ? 1) ????????12 分

19、 (1)不等式 f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x) ,即为 化简得: ,



由 x∈[1,e]知 x﹣lnx>0,因而

,设



由 ∵当 x∈(1,e)时 x﹣1>0, 由不等式有解,可得知 ∞)……………….6 分 (2)当 a=1,f(x)=lnx.

= ,∴y′>0 在 x∈[1,e ] 时成立. ,即实数 a 的取值范围是[﹣ ,+

由 m[g(x1 )﹣g(x2 )]>x1 f(x1 )﹣x2 f(x2 )恒成立,得 mg(x1 )﹣x1 f(x1 )> mg(x2 )﹣x2 f(x2 )恒成立,





由题意知 x1 >x2 >0,故当 x∈(0,+∞)时函数 t(x)单调递增, ∴t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0 恒成立,即 恒成立,

因此,记

,得



∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 h(x)在 x=1 时取得极大值,并且这个极大值就是函数 h(x)的最大值.由此可 得 h (x) =h (1) =1, m≥1, 故 结合已知条件 m∈Z, m≤1, 可得 m=1. max 分 立.求 m(m∈Z,m ? 1)的值. ………………….12

20.解:(Ⅰ)因为

,所以

则当

时,由

,解得

,所以此时

??



时,由

,解得

,所以此时

?????????

综合,得

,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天????

(Ⅱ)当

时,

???????????

=

=

,因为

,而

,

所以

,故当且仅当

时,y 有最小值为

??



,解得

,所以

的最小值为

(1)f(x)与坐标轴的交点为(0,a),f′(0)=a, 1 g(x)与坐标轴的交点为(a,0),g′(a)= . 21 解析

a

1 ∴a= ? a=±1,又 a>0,故 a=1.

a x-m (2) > x可化为 m<x- xex . f? x?

1 x x 令 h(x)=x- xe ,则 h′(x)=1-( )e . 2 x+ x 1 1 ∵x>0,∴ + x≥ 2,ex >1? ( + x)ex >1. 2 x 2 x 故 h′(x)<0. ∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,因此 h(x)<h(0)=0. ∴实数 m 的取值范围是(-∞,0). (3)y=f(x)与 y=g(x)的公共定义域为(0,+∞), |f(x)-g(x)|=|ex -lnx|=ex -lnx. x x 令 h(x)=e -x-1,则 h′(x)=e -1>0. ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. x 故 h(x)>h(0)=0,即 e -1>x. ① 1 令 m(x)=lnx-x+1,则 m′(x)= -1.

x

当 x>1 时,m′(x)<0,当 0<x<1 时,m′(x)>0. ∴m(x)有最大值 m(1)=0,因此 lnx+1<x. ② 由①②,得 ex -1>lnx+1,即 ex -lnx>2. ∴函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.



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