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必修一对数函数(含答案)


2.6 对数函数
一、对数式的化简与求值 〖例 1〗计算 (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ;
2

(2)

(log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) ;

lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600

? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2 (3)
二、比较大小 〖例〗对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a) ? log a ( a ? ); ② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ; ③a
1? a

1 a

1 a

?a

1?

1 a 1 a

; ; 其中成立的是( )

④ a1? a ? a

1?

( )①与③( )①与④( )②与③( )②与④ 三、对数函数图象与性质 〖例 1〗已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域;(2)讨论函数 f(x)的单调性.

1

〖例 2〗设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间;

?1 ? x ? ? ? 1, e ? 1? ?e ? 时,(其中 e ? 2.718 ? )不等式 f ?x? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若当
(3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

四、对数函数的综合应用
1? x

〖例 1〗已知函数 f(x)=-x+ log 1? x . 2 (1)求 f(

1 1 )+f()的值; 2012 2012

(2)当 x∈(-a,a] ,其中 a∈(0,1) 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若存在,求出 f(x)的最 ,a 小值;若不存在,请说明理由.

2

〖例 2〗 (12 分)已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 、 两点,分别过 、 作 y, 轴的平行线与函数 y ? log8 x 的图象交于 、 两点。 (1) 证明点 、 和原点 O 在同一直线上; (2) 当 平行于 x 轴时,求点 的坐标。

【高考零距离】
1 a = 212 , b = ) , c = 2 log 3 2 ( -0.5 2 1. (2012·天津 高考文科·T4)已知 ,则 a , b, c 的大小关系为(
(A)c < b < a
.c < a <b



(C)b < a < c

(D)b < c < a

1 2. (2012·新课标全国高考文科·T11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 ( ) 2 ) 2 ( )( 2 ,1) 2 ( )(1, 2) ( )( 2,2) )

( )(0,

3. (2011·安徽高考文科·T5)若点

? a, b ? 在 y ? lg x 图象上, a ? 1 ,则下列点也在此图象上的是(
? 10 ? ? , b ? 1? 2 ? ( ) (a ,2b) ( )? a

?1 ? ? ,b ? ( )? a ?

( )

?10a,1? b?

?21-x ,x ? 1, ? 1 - log2 x,x>1, 4. (2011·辽宁高考理科·T9)设函数 f(x)= ? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是
( )[-1,2] ( )[0,2] ( )[1,+ ? )
log2 3.4

( )[0,+ ? )
log3 0.3

a =5
5. (2011.天津高考理科.T7)已知 .a >b >c .b > a >c

,b = 5

log 4 3.6

骣 1 ,c =琪 琪 5 桫

,
则 ( ) .c >a >b

.a >c >b

6. (2011·江苏高考·T2)函数

f ( x) ? log5 (2x ? 1) 的单调增区间是__________
3

【考点提升训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·珠海模拟)函数 y= ( )(-∞,-1)∪(3,+∞) ( )(-2,-1)

x 2 ? 2x ? 3 +log2(x+2)的定义域为(
( )(-∞,-1)∪[3,+∞) ( )(-2,-1]∪[3,+∞)

)

?2ex ?1 ? 2.(2012·莆田模拟)设 f(x)= ? 2 ?log3 ? x ? 1? ?

x?2 x?2

,则不等式 f(x)>2 的解集为(



( )(1,2)∪(3,+∞) ( )(10,+∞) ( )(1,2)∪(10,+∞) ( )(1,2) 3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知当 x∈(0,1)时,f(x)= log 1 (1-x),则函数 f(x)在(1,
2

2)上( ) ( )是增函数,且 f(x)<0 ( )是增函数,且 f(x)>0 ( )是减函数,且 f(x)<0 ( )是减函数,且 f(x)>0 4.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m、n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x ) 2 在区间[m ,n]上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为( ) ( )

1 、2 2

( )

1 、4 2
( )(1,2)
? 3

( )
2

2 、 2 2
1 ( )( ,1) 2

( )

1 、4 4
) ( )(1,2] )

5. (2012·福州模拟)函数 f(x)=loga(2-ax )在(0,1)上为减函数,则实数 a 的取值范围是(

1 ( )[ ,1) 2

lgx, x ? 6.(预测题)已知函数 f(x)= ? ? 2

, ? ?lg ? 3 ? x ? , x< 3 ? ? 2

若方程 f(x)=k 无实数根,则实数 k 的取值范围是(

( )(-∞,0)

( )(-∞,1)

( )(-∞,lg

3 ) 2

( )(lg

3 ,+∞) 2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
2 4 2 7. lg ? lg8 3 ? lg7 5 =________. 7

8.(2012·青岛模拟)函数 y=f(x)的图象与 y=2 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 y=f(4x-x )的递增区间 是_________. 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),且 f(x)在(1,+∞)上是增函数,设 a=f(0),b=f(log2

x

2

1 ? ),c=f(lg ),则 a,b,c 从小到大的顺序 是______. 4 3
2 x+2 x

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2 -3×4 的最值及相应的 x 的值.

4

11.(2012·厦门模拟)已知函数 f(x)=ln

x ?1 . x ?1

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)= ln

x ?1 >ln x ?1

m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? x ? 1?? 7 ? x ?

【探究创新】 (16 分)已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

5

答案解析
1.【解析】选 .要使函数有意义,需 ? 即 x∈(-2,-1]∪[3,+∞),故选 . 2.【解析】选 .当 x<2 时,f(x)>2,即 2e >2, 解得 1<x<2, 当 x≥2 时,f(x)>2,即 log3(x -1)>2,解得 x> 10 , 综上所述,不等式的解集为(1,2)∪(10,+∞). 3.【解析】选 .f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,由 x∈(0,1)时,f(x)= log 1 (1-x)是增函数且
2
2 x-1

? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 得-2<x≤-1 或 x≥3, , ? x ? 2>0

f(x)>0,得函数 f(x)在(2,3)上也为增函数且 f(x)>0,而直线 x=2 为函数的对称轴,则函数 f(x)在(1, 2)上是减函数,且 f(x)>0,故选 . 4.【解析】选 .f(x)=|log2x|= ?

?log 2 x, x ? 1 , 1 ??log 2 x, 0<x<
2 2

根据 f(m)=f(n)及 f(x)的单调性,知 0<m<1,n>1,又 f(x)在[m ,n]上的最大值为 2,故 f(m )=2,易得 n=2,m=

1 . 2
2

5.【解析】选 .由已知可知 a>0,u(x)=2-ax 在(0,1)上是减函数, ∴f(x)=loga(2-ax )在(0,1)上是减函数.等价于 ? ∴1<a≤2. 6.【解题指南】作出函数 f(x)的图象,数形结 合求解. 【解析】选 .在同一坐标系内作出函数 y=f(x) 与 y=k 的图象,如图所示,若两函数图象无交点,则 k<lg
2

?a ? 1 ?a ? 1 ? ,即 ? , ?u ?1? ? 0 ?2 ? a ? 0 ?

3 . 2

1 2 1 lg2-lg7- lg8+lg7+ lg5 2 3 2 1 1 =2lg2+ (lg2+lg5)-2lg2= . 2 2
7.【解析】原式=lg4+
6

答案:

1 2
2

8.【解题指南】关键是求出 f(4x-x )的解析式,再求递增区间. x 【解析】∵y=2 的反函数为 y=log2x, 2 2 ∴f(x)=log2x,f(4x-x )=log2(4x-x ). 2 2 令 t=4x-x ,则 t>0,即 4x-x >0,∴x∈(0,4), 2 又∵t=-x +4x 的对称轴为 x=2,且对数的底数大于 1, 2 ∴y=f(4x-x )的递增区间为(0,2). 答案:(0,2) 9.【解析】由 f(2-x)=f(x),可知对称轴

2?x?x =1,图象大致如图, 2 1 -2 ∵log2 =log22 =-2, 4 ? -2<0<lg <1, 3 ? 1 ∴结合图象知 f(lg )<f(0)<f(log2 ),即 c<a<b. 3 4
x0= 答案:c<a<b 2 2 10. 【解析】∵y=lg(3-4x+x ),∴3-4x+x >0, 解得 x<1 或 x>3, ∴M={x|x<1 或 x>3}, x+2 x x x 2 f(x)=2 -3×4 =4×2 -3×(2 ) . x 令 2 =t,∵x<1 或 x>3, 2 ∴t>8 或 0<t<2.设 g(t)=4t-3t 2 ∴g(t)=4t-3t =-3(t-

2 2 4 ) + (t>8 或 0<t<2). 3 3 4 ], 3

由二次函数性质可知: 当 0<t<2 时,g(t)∈(-4,

当 t>8 时,g(t)∈(-∞,-160),

2 2 4 ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3
∴当 2 =t=
x

【变式备选】设 a>0,a≠1,函数 y= a
2 2

lg x 2 ? 2x ?3

?

? 有最大值,求函数 f(x)=log (3-2x-x2)的单调区间.
a

【解析】设 t=lg(x -2x+3)=lg[(x-1) +2]. 当 x=1 时,t 有最小值 lg2, 又因为函数 y= a
lg x 2 ? 2x ?3

?

? 有最大值,所以 0<a<1.
2

又因为 f(x)=loga(3-2x-x )的定义域为{x|-3<x<1}, 2 令 u=3-2x-x ,x∈(-3,1),则 y=logau. 因为 y=logau 在定义域内是减函数, 2 当 x∈(-3,-1]时,u=-(x+1) +4 是增函数,
7

所以 f(x)在(-3,-1]上是减函数. 同理,f(x)在[-1,1)上是增函数.故 f(x)的单 调减区间为(-3,-1],单调增区间为[-1,1).

x ?1 >0,解得 x<-1 或 x>1,∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),当 x∈(-∞,-1)∪(1,+ x ?1 ?x ? 1 ∞)时,f(-x)=ln = ?x ?1 x ?1 x ? 1 -1 x ?1 ln =ln( ) =-ln =-f(x), x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ∴f(x)=ln 是奇函数. x ?1
11.【解析】(1)由 (2)由 x∈[2,6]时, f(x)=ln

x ?1 m >ln 恒成立, x ?1 ? x ? 1?? 7 ? x ?



x ?1 m > >0,∵x∈[2,6] ,∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上成立. x ? 1 ? x ? 1?? 7 ? x ?
2

令 g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3) +16,x∈ [2,6] ,由二次函数的性质可知 x∈ [2,3] 时函数单调递增, [3,6] x∈ 时函数单调递减, x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,∴0<m<7. 【探究创新】 【解析】 (1)由题设, 3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立, g(x)=3-ax,∵a>0,且 a≠1,∴g(x)=3-ax 在[0,2] 设 上为减函数. 从而 g(2)=3-2a>0,∴a<

3 . 2 3 ). 2

∴a 的取值范围为(0,1)∪(1, (2)假设存在这样的实数 a, 由题设知 f(1)=1, 即 loga(3-a)=1,∴a=

3 . 2 3 x), 2

此时 f(x)= log 3 (32

当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在.

8


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