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2013年北京市朝阳区高三一模数学(文)试题及答案


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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(文史类)
[来源:学+科+网]

2013.4

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

[来源

:学科网]

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1) i 为虚数单位,复数 A.

1 2

1 的虚部是 1? i 1 B. ? 2

C. ?

1 i 2

D.

1 i 2

x ?1 (2)若集合 M ? x ?2 ? x ? 3 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. (3, ??)

B. (?1,3)

C.

[?1,3)

D. (?2, ?1]

(3)已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? 2m, m ? 1? .若 AB / /OC ,则实数 m 的 值为 A.

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 5

B. ? 3

C. ?

3 5

D. ?

1 7

2 (4)已知命题 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ;命题 q : ?x ? R , sin x ? cos x ?

2.

则下列判断正确的是 A. ? p 是假命题 B. q 是假命题 C. p ? ?q 是真命题 D. (?p) ? q 是真命题

2 2 (5)若直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 有两个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是

? C. ? ?2 ?

A. 2 ? 2, 2 ? 2

? ?

B. ? ?4,0 ? D.

2, ?2 ? 2

? 0, 4?

? x ? 0, ? 2 x ? y ? 0, ? (6) “ m ? 3 ”是“关于 x , y 的不等式组 ? 表示的平面区域为三角形”的 x ? y ? 1 ? 0, ? ? ?x ? y ? m ? 0
A.充分不 必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

(7)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

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A. 4 B. 2 2 C.

1 1 1

20 3

D. 8

2
正视图

2
侧视图

2 2
俯视图

(8)已知函数 f ( x) ? 2x ? 1, x ? N* .若 ?x0 , n ? N* ,使 f (x 0) ? f (x 0 ? 1 ) ?? ? f ( x 0?n) ?63 函数 f ( x ) 的一个“生成点”.函数 f ( x ) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个

,则称 ( x0 , n) 为

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)以双曲线

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为焦点,顶点在原点的抛物线的标准方程是 3
. 开始

.

(10)执行如图所示的程序框图,输出结果 S=

i=0

S=0

S=S+2i-1 否

i=i+2

i≥6? 是 输出 S

结束
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(11) 在等比数列 ?an ? 中, 2a3 ? a2 a4 ? 0 ,则 a3 ? 项和等于 .

,若 ?bn ? 为等差数列,且 b3 ? a3 ,则数列 ?bn ? 的前 5

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(12)在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对的边,且满足 b ? 7a sin B ,则 sin A ?
? 若 B ? 60 ,则 sin C ?



.

(13) 函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [?2, 2] 上方程 ax ? a ? f ( x) ? 0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 .

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 是半圆 x 2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.当 OA ? OC ? 20 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是

??? ? ??? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围.

? 2

(16) (本小题满分 13 分) 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:
空气质量指数 空气质量等级 0-50 1 级优 51-10 0 2 级良 101-150 3 级轻度污染 151-200 4 级中度污染 201-300 5 级重度污染 300 以上 6 级严重污染

由 城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下: 甲城市 乙城市

全国重点

9

2 4 3 5 8 1 8

7

3 5 6

5 7 10

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(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果) ; (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率. (注: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1, x2 ,?, xn 的平均数.) n

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAC ? 平面 ABCD ,且 PA ? AC , PA ? AD ? 2 .四边形 ABCD 满足 BC ? AD , AB ? AD , AB ? BC ? 1 . E 为侧棱 PB 的中点, F 为侧棱 PC 上的任意一点. (Ⅰ)若 F 为 PC 的中点,求证: EF ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求证:平面 AFD ? 平面 PAB ; (Ⅲ)是否存在点 F ,使得直线 AF 与平面 PCD 垂直?若存在, 写出证明过程并求出线段 PF 的长;若不存在,请说明理由. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; B (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. A C D E F P

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A(2,0) ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 B(1, 0) 且斜率为 k( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 直线 AE ,AF 分别交直线 x ? 3 于

M , N 两点,线段 MN 的中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ? ,求证: k ? k ? 为定值.
(20) (本小题满分 13 分) 由 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 按 任 意 顺 序 组 成 的 没 有 重 复 数 字 的 数 组 , 记 为 ? ? ( x1 , x2 ,?, x10 ) , 设

S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .
k ?1

10

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(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求证: S (? ) ? 55 ; (Ⅲ)求 S (? ) 的最大值. (注:对任意 a, b ? R , a ? b ? a ? b ? a ? b 都成立.)

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数学学科测试答案(文史类 )
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 (1) A (9) (2) C (10) (3) B (11) (4) D (5) D (12) (6) A

2013.4

(7) D

(8) B (14)

(13)

y 2 ? 8x

20

2 ; 10

1 13 ; 7 14

?0,1?

??5,5?

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2 3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

?????????????????1 分

?

? ? sin(? x ? ) . 6

????????????????????4 分

因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 .??????????????????5 分 于是 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6

? ). 6

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? ? , k ? ? ], k ? Z .???????????8 分 3 6 ? ? ? 7? ] , ?????????????10 分 (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 1 ? 则 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ???????????????????12 分 2 6 ? 1 所以 f ( x ) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. ???????????????13 分 2 2
所以 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? (16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.?????3 分 (Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为 2 级良的频率为 则 估计甲城市某一天的空气质量等级为 2 级良的概率为

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3 , 5

3 .??????6 分, 5

(Ⅲ)设事件 A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题意 可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有 25 个结果,分别记为: (29,43) , (29,41) , (29,55) , (29,58) (29,78) (53,43) , (53,41) , (53,55) , (53,58) , (53,78) , (57,43) , (57,41) , (57,55) , (57 ,58) , (57,78) , (75,43) , (75,41) , (75,55) , (75,58) , (75,78) , (106,43) , (106,41) , (106 ,55) , (106,58) , (106,78). 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 1 级优的为甲 29,乙 41,乙 43,同为 2 级良的为甲 53,甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78. 则空气质量等级相同的为: (29,41) , (29,43) , (53,55) , (53,58) , (53,78), (57,55) , (57,58) , (57,78) , (75,55) , (75 ,58) , (75,78).共 11 个结果.
[来源:学科网]

则 P ( A) ?

11 . 25 11 . 25

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

?????????????????????????13 分 (17) (本小题满分 14 分) P 证明: (Ⅰ)因为 E , F 分别为侧棱 PB, PC 的中点, 所以 EF ? BC . 因为 BC ? AD ,所以 EF ? AD . E 而 EF ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 EF ? 平面 PAD . ???????????????????? 4分 A B
6 / 10

F

D

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C

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(Ⅱ)因为平面 ABCD ? 平面 PAC , 平面 ABCD ? 平面 PAC ? AC ,且 PA ? AC , PA ? 平面 PAC . 所以 PA ? 平面 ABCD ,又 AD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AD . 又因为 AB ? AD , PA ? AB ? A ,所以 AD ? 平面 PAB , 而 AD ? 平面 AFD , 所以平面 AFD ? 平面 PAB .????????????????????8 分 (Ⅲ)存在点 F ,使得直线 AF 与平面 PCD 垂直. 在棱 PC 上显然存在点 F ,使得 AF ? PC . 由已知, AB ? AD , BC ? AD , AB ? BC ? 1 , AD ? 2 . 由平面几何知识可得 CD ? AC . 由(Ⅱ)知, PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD , 因为 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面 PAC . 而 AF ? 平面 PAC ,所以 CD ? AF .
[来源:学科网]

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又因为 CD ? PC ? C ,所以 AF ? 平面 PCD . 在 ?PAC 中, PA ? 2, AC ? 可求得, PC ?

2, ?PAC ? 90? ,

6, PF ?

2 6 . 3 2 6 .?????14 分 3

可见直线 AF 与平面 PCD 能够垂直,此时线段 PF 的长为 (18) (本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数定义域为 x x ? 0 , 且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

?

?

a a .由题意, f ?(2) ? 4 ? (a ? 2) ? ? 1 , x 2

解得 a ? 2 .?????????????????????????????4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a (2 x ? a )( x ? 1) ? ( x ? 0) . x x a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? . 2 a (1)当 a ? 0 时, ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . 2
则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .

[来源:学#科#网]

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a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 . 2 2 a 则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 2 a 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 . 2 a 则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ,1) . 2 a (3)当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . 2 a a (4)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? , 2 2 a 则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ??) . 2 a 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? . 2 a 则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (1, ) . ??????????????13 分 2
(2)当 0 ? (19) (本小题满分 14 分)

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?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 2 2 解: (Ⅰ)依题得 ? ? 解得 a ? 4 , b ? 1 . , a 2 ? ?a ? 2. ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

?????????? ?????????4 分

(Ⅱ)根据已知可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

由?

? y ? k ( x ? 1), 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 2 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ?
8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

直线 AE , AF 的方程分别为: y ? 令 x ? 3,

y1 y ( x ? 2), y ? 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

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则 M (3,

y1 y 1 y y ), N (3, 2 ) ,所以 P(3, ( 1 ? 2 )) . x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2 k k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

所以 k ? k ? ?

k 2 2 x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 4 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
8k 2 ? 8 ? 24k 2 ? 16k 2 ? 4 k 4k 2 ? 1 ? ? 2 4 4k ? 4 ? 16k 2 ? 16k 2 ? 4 4k 2 ? 1
2

?

k 2 ?4 1 ? 2 ?? . 4 4k 4

????????????????????14 分

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) S (? ) ?

?| 2 x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57 .???3 分

(Ⅱ)证明:由 a ? b ? a ? b 及其推广可得,

S (? ) ? 2x1 ? 3x2 ? 2x2 ? 3x3 ??? 2x10 ? 3x11 ? 2( x1 ? x2 ??? x10 ) ? 3( x2 ? x3 ??? x11 )
= x1 ? x2 ? ? ? x10 ?

10(1 ? 10) ? 55 . 2

???????????7 分

(Ⅲ) 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍共 20 个数如下:

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3
其中最大数之和与最小数之和的差为 203 ? 72 ? 131,所以 S (? ) ? 131 , 对于 ? 0 ? (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10) , S (? 0 ) ? 131 , 所以 S (? ) 的最大值为 131 . ????????????????????13 分

注:使得 S (? ) 取得最大值的有序数组中,只要保证数字 1,2,3,4 互不相邻,数字 7,8,9,10 也互
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不相邻,而数字 5 和 6 既不在 7,8,9,10 之一的后面 ,又不在 1,2,3,4 之一的前面都符合要求.

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