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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案 新人教A版必修4


湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.1.2 两角和与差的正 弦、余弦、正切公式(2)教案 新人教 A 版必修 4
(一)导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后 让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说 出它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解

.这节课 我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用. 思路 2.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式 进行解答. 1.化简下列 各式 (1)cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ ; (2)

sin 2 x sin x ? cos x ? ? sin x ? cos ; sin x ? cos x tan2 x ? 1

sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan2 ? (3) ? . sin 2 ? cos2 ? tan2 ?
2.证明下列各式 (1)

sin(? ? ? ) tan? ? tan ? ? ; cos(? ? ? ) 1 ? tan? tan ?
2 2 2 2

(2)tan(α +β )tan(α -β ) (1-tan tan β )=tan α -tan β ; (3)

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? . sin ? sin ?

答案:1.(1)cosα ;(2)0;(3)1. 2.证明略. 教师根据学生的解答情况进行一一点拨, 并对上节课所学的六个公式进行回顾复习, 由 此展开新课. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式. ②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考. 活动:待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上 发现它们内在的区别与联系, 理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用, 更要体会由特殊 到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当 α 、β 中有一个角为 90°时,公式就变成 诱导公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注 意角的相对性,如 α =(α +β )-β ,

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) 等.让学生在整个的数学体

系中学会数学知识,学会数学方法,更重要的是学 会发现问题的方法,以及善于发现规律 及其内在联系的良好习惯,提高数学素养. sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ 〔S(α ±β ) 〕; cos(α ±β )=cosα cosβ ?sinα sinβ 〔C(α ±β ) 〕;
1

tan(α ±β )= 讨论结果:略. (三)应用示例

tan? ? tan ? 〔T(α ±β ) 〕. 1 ? tan? tan ?

思路 1 例 1 利用和差角公式计算下列各式的值. (1)sin72°cos42°-cos72°sin42°; (2 )cos20°cos70°-sin20°sin70°; (3)

1 ? tan15? 1 ? tan15?

活动:本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生, 教 师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现(1)同公式 S(α -β )的右边, (2)同公式 C(α +β )右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角 的三角函数,并求得结果.再看(3)式与 T(α +β )右边形式相近,但需要进行一定的变形.又 因为 tan45°=1,原式化为

tan45? ? tan15? ,再逆用公式 T(α +β )即可解得. 1 ? tan45? tan15?
1 . 2

解: (1)由公式 S(α -β )得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=

(2)由公式 C(α +β )得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. (3)由公式 T(α +β )得 原式=

tan45? ? tan15? =tan(45°+15°)=tan60°= 3 . 1 ? tan45? tan15?

点评:本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正 用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性 要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值: (1)cos44°sin14°-sin44°cos14°; (2)sin14°cos16°+sin76°cos74°; (3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解: (1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°= ?

1 . 2
1 . 2

(2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°= (3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1. 2.计算

1 ? tan75? . 1 ? tan75?
2

tan45? ? tan75? 3 解:原式= =tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°= ? . ? ? 3 1 ? tan45 tan75
例 2 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+cos (x-θ )的定义域为 R,设 θ ∈[0,2π ],若 f(x)为偶函 数,求 θ 的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函 数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让 学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 sin(-x+θ )+cos(-x-θ )=sin(x+θ )+cos(x-θ ), 即-sinxcosθ +cosxsinθ +cosxcosθ -sinxsinθ =sinxcosθ +cosxsinθ +cosxcosθ +sinxsinθ . ∴sinxcosθ +sinxsinθ =0. ∴sinx(sinθ +cosθ )=0 对任意 x 都成立.

? ? )=0,即 sin(θ + )=0. 4 4 ? ? ∴θ + =kπ (k∈Z).∴θ =kπ - (k∈Z). 4 4 3? 7? 又 θ ∈[0,2π ),∴θ = 或θ = . 4 4
∴ 2 sin(θ + 点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果 将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为 解答题利用特殊值是不严密的 ,以此 训练学生逻辑思维能力. 变式训练 已知:

3? ? 12 4 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )= ? ,求 cos2β 的值. 4 2 13 5 3? ? 解:∵ <β <α < , 4 2 3? ? ∴0<α -β < ,π <α +β < . 2 4 12 4 又∵cos(α -β )= ,sin(α +β )= ? , 13 5 5 3 ∴sin(α -β )= ,cos(α +β )= ? . 13 5
∴cos2β =cos[(α +β )-(α -β )] =cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β ) =?

56 3 12 4 5 × +( ? )× = ? . 65 5 13 5 13

例 3 求证:cosα + 3 sinα =2sin(

? +α ). 6

活动:本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函 数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明, 学生首先想到的证法就是把等式右边利

3

用公式 S(α +β )展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同 时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式 S(α +β )的右边的形式,然后逆用公式化 简即可求得等式右边的式子, 这种证明方法不仅仅是方法的变化, 更重要的是把两个三角函 数化为一个三角函数. 证明:方法一:右边=2(sin

1 ? ? 3 cosα +cos sinα )=2( cosα + sinα ) 2 6 6 2

=cosα + 3 sinα =左边.

方法二:左边=2(

1 ? ? 3 cosα + sinα )=2(sin cosα +cos sinα ) 2 6 6 2

=2sin(

? +α )=右边. 6

点评: 本题给出了两种证法, 方法一是正用公式的典例, 而方法二则是逆用公式证明的, 此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边 的系数 1 与 3 分别变为了

1 ? 3 与 ,即辅助角 的正、余弦.关于形如 asinx+bcosx(a, 2 6 2

b 不同时为零)的式子,引入辅助角变形为 Asin(x+φ )的形式,其基本想法是“从右向左” 用和角的正弦公式, 把它化成 Asin(x+φ )的形式.一般情况下, 如果 a= AC osφ ,b=Asinφ , 那么 asinx+bcosx=A(sinxcosφ +cosxsinφ )=Asin(x+φ ).由 sin φ +cos φ =1,可得 A =a +b ,A=± cosφ =
2 2 2 2 2

a2 ? b2
a

,







A=

a2 ? b2

,









a2 ? b2

,sinφ =

b a2 ? b2

, 从 而 得 到

tanφ =

a b

, 因 此

asinx+bcosx= a 2 ? b 2 sin(x+φ ),通过引入辅助角 φ ,可以将 asinx+bcosx 这种形式的 三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决 asinx+bcosx 的许多问 题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思 想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角 函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分 中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用, 应让学生领 悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练 化简下列各式: (1) 3 sinx+cosx; (2) 2 cosx-6sinx.

解: (1)原式=2(

1 ? ? 3 sinx+ cosx)=2(cos sinx+sin cosx) 2 6 6 2
4

=2sin(x+

? ). 6
1 ? ? 3 cosxsinx)=2 2 (sin cosx-cos sinx) 2 6 6 2

(2)原式=2 2 ( =2 2 sin(

? -x). 6

例 4 (1)已知 α +β =45°,求(1+tanα )(1+tanβ )的值; (2)已知 sin(α +β )=

1 1 t an? ,sin(α -β )= ,求 . 2 3 t an ?

活动:对于(1),教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α +β 是特 殊角,可以 利用两角和的正切公式得 tanα ,tanβ 的关系式, 从而发现所求式子的解题思路.在 (2) 中, 我们欲求

t an? . 若利用已知条件直接求 tanα ,tanβ 的值是有一定的困难,但细心观察公 t an ? t an? . 化切为弦正是 t an?

式 S(α +β )、S(α -β )发现,它们都含有 sinα cosβ 和 cosα sinβ ,而

sin ? cos? ,由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给 cos? sin ?
以提示或解答. 解: (1)∵α +β =45°,∴tan(α +β )=tan45°=1. 又∵tan(α +β )=

tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ?

∴tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ), 即 tanα +tanβ =1-tanα tanβ . ∴原式=1+tanα +tanβ +tanα tanβ =1+(1-tanα tanβ )+tanα tanβ =2. (2)∵sin(α +β )=

1 1 ,sin(α -β )= , 2 3 1 2 1 3
. ,

∴sinα cosβ +cosα sinβ = ① sinα cosβ -cosα cosβ = ②

5 , 12 1 ①-②得 cosα sinβ = , 12
①+②得 sinα cosβ =

5

5 tan? sin ? cos ? 12 ∴ ? ? ?5 1 tan ? cos? sin ? 12
点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现 α +β 为特殊角时,就可以逆用两角 和的正切公式变形 tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ),对于我们解题很有用处, 而(2) 中 化切为弦的求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法. 变式训练 1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)?(1+tan44°)(1+tan45°)的值.? 解 : 原 式 = [ (1+tan1°)(1+tan44°) ] [ (1+tan2°)(1+tan43°) ] ? 23 [(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2×2×2×?×2=2 . 2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.? 解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. (四)作业 2 已知一元二次方程 ax +bx+c=0(ac≠0)的两个根为 tanα 、tanβ ,求 tan(α +β )的值. 解:由韦达定理得:tanα +tanβ = ?

c b ,tanα tanβ = , a a

tan? ? tan ? ∴tan(α +β )= ? 1 ? tan??

b c ? b . c c?a 1? a ?

(五)课堂小结 1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么?我们学习了哪些重要的解题方法?通过本 节的学习, 我们在运用和角与差角公式时, 应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角 函数式的化简、求值、恒 等证明等问题. 2.教师画龙点睛:通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切 公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆 用、变形用等.推导并理解公式 asinx+bcosx= a 2 ? b 2 sin(x+φ ),运用它来解决三角函数 求值域、最值、周期、单调区间等问题.

6


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