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2013高考数学易错题解题方法大全(2)


高考数学易错题解题方法大全(2)
一.选择题 【范例1】已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1, 其平面展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V ? ( A. 1 ?
2 6

)

B. 1

C.

2 6

D. 1 ?

2 2<

br />
答案: A 【错解分析】此题容易错选为 D,错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 【解题指导】将展开图还原为立体图,再确定上面棱锥的高。 【练习 1】一个圆锥的底面圆半径为 3 ,高为 4 ,则这个圆锥的侧面积为( A. )

15? 2

B. 10?

C. 15?

D. 20?

2 【范例 2】设 f ( x) 是 ( x ?

? 2 ? 1 6 ) 展开式的中间项,若 f ( x) ? m x 在区间 ? , 2 ? 上恒成 2x ? 2 ?


立,则实数 m 的取值范围是( A. ?0,??? 答案:D B. ? ,?? ?

?5 ?4

? ?

C. ? ,5? ?4 ?

?5 ?

D. ?5,???

【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对恒成立问题理解不透。 注意区别不等式有解与恒成立:

a ? f ( x)恒成立 ? a ? f max ( x) ;

a ? f ( x)恒成立 ? a ? f min ( x) ;
a ? f ( x)有解 ? a ? fmax ( x)

a ? f ( x)有解 ? a ? f min ( x) ;
3 2 6 ?3 【解题指导】∵ f ( x) ? C 6 ( x ) (

? 2 ? 1 3 5 3 5 ) ? x ,∴ x 3 ? mx 在区间 ? , 2 ? 上恒成 2x 2 2 ? 2 ?

立,即

? 2 ? 5 2 x ? m 在区间 ? , 2 ? 上恒成立,∴ m ? 5 . 2 ? 2 ?

【练习 2】若 ( x ?

1 n ) 的展开式中第三项系数等于 6,则 n 等于( 11



A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【范例 3】一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶 点距离都大于 1 的地方的概率为( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

? 60

D.

? 3

答案:C
第1页 共8页

【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是没有看清蚂蚁在三角形区域内随机爬行,而不 是在三边上爬。 【解题指导】考查几何概型的计算,满足条件部分的面积与三角形面积之比.
2 【练习 3】设 a 在区间[0,5]上随机的取值,则方程 x ? ax ?

a 1 ? ? 0 有实根的概率为 4 2

( A.



4 5

B.

3 5

C.

2 5

D. 1 )

【范例 4】方程 x 3 ? 3x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是( A.0 B.-2 C. ?

11 8

D. 1

答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是不能利用导数准确地求最值。
3 【解题指导】转化为求函数 m ? x ? 3x 在[0,1]上的最值问题.

【练习 4】已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不 是曲线 y ? f ( x) 的切线,则 a 的取值范围为( A. a ? ) D. a ? ) D. 8 3
1 3

1 3

B. a ?

1 3

C. a ?

1 3

【范例 5】已知 A.10

4 ? mi ? R ,则 | m ? 6i | =( 1 ? 2i
B.8 C.6

答案:A 【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对复数的代数形式化简不到位。 【解题指导】

4 ? mi (4 ? mi)(1 ? 2i) (4 ? 2m) ? (m ? 8)i ? ? ?R∴m ?8 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

∴ | m ? 6i |?| 8 ? 6i |? 82 ? 62 ? 10
4 【练习 5】复数 (1 ? ) 的值是(

1 i



A. 4i B. ? 4i C.4 D.-4 【范例 6】从 2006 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用以下方法选取:先用简单随机抽 样从 2006 名学生中剔除 6 名,再从 2000 名学生中随机抽取 50 名. 则其中学生甲被剔除和 被选取的概率分别是 ( ) A.

3 1 , 1 003 40

B.

3 1 , 1 000 40

C.

3 25 , 1 003 1 003

D.

3 25 , 1 000 1 003

答案:C 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对抽样的基本原则理解不透。
第2页 共8页

【解题指导】法(一)学生甲被剔除的概率 P 1 ?

5 C2 3 005 ? , 则学生甲不被剔除的概率为 6 C2 006 1 003

1?

1000 C149999 25 3 1000 ? ,所以甲被选取的概率 P ? ? 50 ? , 故选 C. 2 1003 1003 1003 C2 000 1 003
6 3 50 25 ? , 甲被选取的概率 P2 ? ? . 2006 1 003 2006 1 003

法(二)每位同学被抽到,和被剔除的概率是相等的,所以 学生甲被剔除的概率

P 1 ?

【练习 6】在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, ?a, b ? 是其中的一组,抽查出的 个体在该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 a ? b =( A.hm B. )

h m

C.

m h

D. h ? m

二.填空题 【范例 7】已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为 5cm 的钢 球,则球心到盒底的距离为 cm. 答案:10 【错解分析】此题容易错填 11,错误原因是空间想象能力不到位。 【解题指导】作出截面图再分析每个量的关系. 【 练 习 7 】 设 P, A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 四 个 点 , PA, PB, PC 两 两 垂 直 , 且

P A? P B ? PC ? 1 ,则球的表面积为

.

【范例 8】已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 和l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l 2 的充要条件是

a=

.

答案: a ? ?1 【错解分析】此题容易错填为-1,3,主要是没有注意到两直线重合的情况。 【解题指导】 l1 // l 2 的充要条件是 A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C2 ? A2 C1 ? 0 . 【练习 8】已知平面向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 2,3) ,且 a ? b ,则 m ?
? ?

.

2 y2 【范例 9】已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 又点P 是双曲线 a b

上一点,且 PF 1 ? PF 2 , PF 1 ? PF 2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是

.

答案: 5 【错解分析】此题容易漏掉圆锥曲线定义在解题中的应用。 【解题指导】求圆锥曲线的离心率值或范围时,就是寻求含 a , c 齐次方程或不等式,同时注
2 2 2 2 意 . 找 全 PF1 , PF2 的 几 个 关 系 , ( 1 ) PF 1 ? PF 2 ,? PF 1 ? PF 2 ?F 1F 2 ? 4c , ( 2 ) 2 2 2 (3)PF (2) 式平方可得 PF PF1 ? PF2 ? 2a , 1 ? PF 2 ? 4ab 。 将 1 ? PF 2 ? 2PF 1 PF 2 ? 4a ,

第3页 共8页

所以 4c2 ? 8ab ? 4a2 , 所以 b ? 2a 。 【练习 9】若双曲线 线的离心率为

y2 x2 - =1 的渐近线与方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的圆相切,则此双曲 2 2 a b .
.

【范例 10】点 ( x, y ) 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上,则 3x ? 27 y ? 3 最小值为

答案:9 【错解分析】此题主要考查学生对均值不等式的应用,及指数的四则运算。一定要牢记这些 公式。 【解题指导】 3x ? 27 y ? 3 3 ? 27 ? 2 3 ? 27 ? 2 3
x y x y x?3 y

? 6.
. .

【练习 10】已知 x ? 1, y ? 1且 lg x ? lg y ? 4 则 lg x lg y 最大值为 【范例 11】函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 6 满足条件 f (?1) ? f (3) ,则 f ( 2) 的值为

答案:6 【错解分析】此题主要考查二次函数的性质,主要易错在不能很好的应用性质解题。 【解题指导】 (一)对称轴 x ? 1 所以 b ? ?2a .? f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 6, f (2) ? 6. (二)对称轴 x ? 1 所以 f (2) ? f (0) ? 6. 【范例 12】已知向量 OB ? (2,0) ,OC ? (2,2) ,CA =( 2 cos? , 2 sin ? ) ,则向量 OA 与 OB 的夹角范围为 答案: .

? ? 5? ? ? ,? ? ?12 12 ? ?

【错解分析】此题主要错在不能认识到点 A 的轨迹是一个圆. 【解题指导】 ∵ OC ? (2? ,? 2)? , ?OB ? (2? ,? 0) ,? B(2,0),C(2,2) ∵ CA ? ( 2 cos?? , ? 2 sin ? ) , ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心,

2 为半径的圆.

过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN(∠MOB<∠NOB) ,则向量 OA 与

OB 的 夹 角 范 围 是 ?MOB ? 〈 OA? , OB 〉 ? ?NOB . ∵ OC ? 2 2 , ∴

1 ? ? | CM | ? | CN | ? | OC | 知 ?COM ? ?CON ? ,但 ?COB ? . 2 4 6
∴ ?MOB

?

? 5? ? 5? ,故 ? , ??NOB ? ? 〈 OA? ? . , OB 〉 ? 12 12 12 12
第4页 共8页

【练习 12】如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 ,

M 为 BC 的中点,
.
D _ C _ N _ M _ B _

若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的最大值是 三.解答题 【范例 13】已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n , (1)求数列的通项公式 an ; (2)设 2bn ? an ?1 ,且 Tn ?
A _

1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4

1 ,求 Tn . bnbn?1

【错解分析】 (1)在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。 (2)在裂项相消求数列的和时,务必细心。
2 解:(1)∵Sn=n +2n ∴当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1

当 n=1 时,a1=S1=3, an ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ,满足上式. 故 an ? 2n ? 1, n ? N * (2)∵ 2bn ? an ? 1 , ∴ bn ? ∴

1 1 (an ? 1) ? (2n ? 1 ? 1) ? n 2 2

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4
?

∴ Tn ?

1 bnbn?1
1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 3 3 4

【练习 13】已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2. 数列 { an }的前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n ? N * ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ?

m 3 * , T n是数列 对所有 n ? N 都成 {bn }的前 n 项和,求使得 Tn ? 20 a n a n ?1

立的最小正整数 m . 【范例 14】已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos2 x .
第5页 共8页

(1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2)已知 f

?? ? ? 3 ,且 ? ? ? 0, π ? ,求 ? 的值.
π )?2. 6

【错解分析】在利用降幂公式两倍角公式时,本身化简就繁琐,所以仔细是非常重要的。 解: (1) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2sin(2 x ? 由?

π π π π π ? 2k π ≤ 2 x ? ≤ ? 2k π ,得 ? ? k π ≤ x ≤ ? k π . 2 6 2 3 6 π π ? k π ] ?k ? Z? . ∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 [? ? k π , 3 6 π π 1 (2)由 f ?? ? ? 3 ,得 2sin(2? ? ) ? 2 ? 3 .∴ sin(2? ? ) ? . 6 6 2 π π π 5π ? 2k2 π ? k1 , k2 ? Z ? , ∴ 2? ? ? ? 2k1π ,或 2? ? ? 6 6 6 6 π π 即 ? ? k1π 或 ? ? ? k 2 π ? k1 , k2 ? Z ? .∵ ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ? . 3 3
【 练 习 14 】 在 △ABC 中 , a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 4sinB·sin ( B + )+cos2B=1+ 3 . 2 (1)求角 B 的度数; (2)若 B 为锐角, a ? 4 , sin C ?
2

π 4

1 sin B ,求边 c 的长. 2

【范例 15】某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产品 1 kg 要用煤 9 吨,电力 4 kw,劳 力(按工作日计算)3 个;制造乙产品 1 kg 要用煤 4 吨,电力 5 kw,劳力 10 个.又知制成甲 产品 1 kg 可获利 7 万元,制成乙产品 1 kg 可获利 12 万元,现在此工厂只有煤 360 吨,电 力 200 kw,劳力 300 个,在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克,才能获得最大 经济效益? 【错解分析】对于线性规划的题目,首先要认真审题,列出约束条件,及目标函数,这是本 题的重点及难点。 解:设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg,利用 z 万元,则依题意可得约束条件:

? ?4x+5y≤200, x+10y≤300, ?3 x≥0, ? ?y≥0.
9x+4y≤360, 利润目标函数为 z=7x+12y. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域(如下图). 作直线 l:7x+12y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线 l 经过可行域上的点 M 时,此时 z=7x+12y 取最大值.

第6页 共8页

? ?3x+10y=300, 解方程组? 得 M 点的坐标为(20,24). ?4x+5y=200 ? 答:应生产甲种产品 20 千克,乙种产品 24 千克,才能获得最大经济效益.

【练习 15】某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合 饲料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的

1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 5

0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.

练习题参考答案: 1.C 2.C 3.B 11. m=0 ,n=1 4.D 5.D 12. 4
2

6.C

7. 3?

8. ?1 , 3

9.2

10. 4

13. 解: (1)设这二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0),则f ?( x) ? 2ax ? b , 由于 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,得 a ? 3, b ? ?2, 所以f ( x) ? 3x ? 2x .
2

又因为点 (n, S n )(n ? N * )均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n ? 3n 2 ? 2n. 当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (3n 2 ? 2n) ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5. (2)由(1)得知 bn ? 故 Tn ?

1 1 1 3 3 ? ( ? ). ? a n a n?1 (6n ? 5)[6(n ? 1) ? 5] 2 6n ? 5 6n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). 2 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 2 6n ? 1

第7页 共8页

因此,要使

1 1 m 1 m (1 ? )? (n ? N * )成立的 m ,必须且仅须满足 ? , 2 6n ? 1 20 2 20
?? B ? ? ? ? + ?4 2?

即 m ? 10 ,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 14. 解 :( 1 ) 由 4sinB · sin
2

cos2B

=

1

+

3 得 :

2sin B[1 ? cos( ? B)] ? cos2B ? 1 ? 3 2
2sin B(1 ? sin B) ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ? 3 ,
0? B ??

?

sin B ?

?B ?

?
3



2? . 3

3 2

1 3 sin C ? sin B ? 2 4 3 13 1 由已知得: c ? b ? b ,角 C 为锐角 ? cos C ? 4 2 2? 3( 13 ? 1) 2 13 ? 2 a c ? C) ? 可得: sin A ? sin( 由正弦定理 得: c ? . ? 3 8 3 sin A sin C 1 法 2:由 sin C ? sin B 得: b ? 2c ,由余弦定理知: (2c)2 ? c2 ? 16 ? 8c cos60 2 ?2 ? 2 13 c? 即: 3c 2 ? 4c ? 16 ? 0 3 2 13 ? 2 c?0 ?c ? . 3 15. 解 : 设每周需用谷物饲料 x kg, 动物饲料 y kg, 每周总的饲料费用为 z 元 , 那么
(2)法 1:

B 为锐角

?B ?

?

? x ? y ? 35000 ? 1 ? ?y ? x ,而 z=0.28x+0.9y 5 ? ?0 ? x ? 50000 ? ? ?y ? 0
如右图所示,作出以上不等式组 所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线 0.28x+0.9y =t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 x+y=35000 和直线 y ?

1 x 的交点 5

A(

87500 17500 87500 17500 , ) ,即 x ? ,y? 时,饲料费用最低. 3 3 3 3
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.

第8页 共8页


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