tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

六谈圆内接闭折线垂心的性质


三角形的面积之和.

六谈圆内接闭折线垂心的性质
江西赣南师范学院 熊曾润

证 明 在已知闭折线所在的平面内 ,以圆 心 O 为原点,以直线 OH 为 x 轴建立直角坐标 系 xOy ( 图 略 ), 设 顶 点 Ai 的 坐 标 为 ( xi , yi )(i = 1,2,? ? ?, n ) , 垂 心 H 的 坐 标 为 ( xH , yH ) (因为点 H 在 x 轴上,所以 yH = 0 ),则 按本文定义 1 有 1 x y , 2 H i n n 1 ∴ ∑ ?OHAi = x H ∑ yi . 2 i =1 i =1 ?OHAi = 而由文 [1] 可知 ∑ yi = yH = 0 ,代入上式
i =1 n

关于圆内接闭折线垂心的性质 ,我们已 作过多次探讨 ( 见拙文 [1] ~ [2] ),这里再作点 补充.为此,先建立如下概念: 定 义 1 在△ OMN 所在的平面内,以顶点 O 为原点建立直角坐标系 xOy ,设顶点 M 和 N 的坐标分别为 ( xM , y M ) 和 ( x N , y N ) ,那么式子 1 ( x y ? xN y M ) 2 M N 的值称为△ OMN 的有向面积,记作 ?OMN , 即 1 ?OMN = ( xM yN ? xN yM ) . 2 定 义 2 △ OMN 的有向面积的绝对值称 为△ OMN 的面积,记作 ? ' OMN ,即 ? ' OMN = | ?OMN | . 容易验证 (这里从略): 按上述定义确定的 三角形面积 ,与平面几何里所说的面积是完 全一致的. △ OMN 的 方 向 规 定 为 O → M → N → O ,当这个方向为逆时针方向时 ,△ OMN 称为正向三角形 ;当这个方向为顺时针方向 时 ,△ OMN 称为负向三角形 ,不难证明 ( 这里 从略): 正向三角形的有向面积必为正数 ,负向 三角形的有向面积必有负数. 据此 , 我们可以推得圆内接闭折线垂心 的如下几个有趣性质: 定 理 1 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙O,其垂心为 H,若△ OHA1 、△ OHA2 、…、 △ OHAn 中有且只有 k 个正向三角形,那么这 k 个三角形的面积之和, 必等于其余 (n ? k ) 个

就得

∑ ?OHA = 0 .
i i =1

n



但依题设,△ OHA1 、 △ OHA2 、 …△ OHAn 中有且只有 k 个正向三角形 ,记这 k 个三角形 为△ OHA1 ' 、△ OHA2 ' 、…、△ OHAk ' ,记其 余 (n ? k ) 个 三 角 形 为 △ OHA 'k +1 、 △ OHA 'k + 2 、…△ OHA 'n ,则等式①可以改写成

∑ ?OHA '
i =1

n

i

=

i = k +1

∑ (??OHA' ) .
i

n

因为正向三角形的有向面积必为正数, 负向三角形的有向面积必为负数 ,可知上式 中的各个加数都是非负数 ,所以上式两边取 绝对值就得

∑ ? ' OHA 'i =
i =1

n

i =k +1

∑ ? ' OHA '

n

i

.

命题得证. 显然,在这个定理中令 n = 3 可得 推论 1 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,那么在△ OHA 、△ OHB 、…△ OHC 中 , 必有一个三角形的面积等于其余两个三角形 的面积之和. 定 理 2 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙ O, 其 垂 心 为 H, 点 Bi 在 直 线 Ai Ai+1 上 , 且 Ai Bi : Bi Ai+1 = λ ( i = 1,2, ???, n, 且 An+1 为 A1 ), 若
15

△ OHB1 、△ OHB2 、…、△ OHBn 中有只有 k 个正向三角形,那么这 k 个三角形的面积之和 , 必等于其余 (n ? k ) 个三角形的面积之和. 证 明 在已知闭折线所在的平面内 ,以圆 心 O 为原点,以直线 OH 为 x 轴建立直角坐标 系 xOy (图略),设顶点 Ai 的坐标 ( xi , yi )(i = 1,2, ? ? ?, n) ,垂心 H 的坐标为 ( xH , yH )( yH = 0) ,点 Bi 的坐标为 ( xi ', yi ')(i = 1,2,? ? ?, n ) ,则按本文定义 1有 1 ?OHBi = xH y 'i , 2 n n 1 ∴ ∑ ?OHBi = xH ∑ y 'i 2 i =1 i =1

AD BE CF = = , DB EC FA 那么在△ OHD 、△ OHE 、△ OHF 中 , 必有一个三角形的面积等于其余两个三角形 的面积之和. 仿效定理 1 和定理 2 的证法,还可以证明 (证明过程请读者完成): 定 理 3 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙O,其垂心为 H,以 H 为位似中心作闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 的 位 似 图 形 B1 B2 B3 ? ? ?Bn B1 ( Ai 的位似点为 Bi , i = 1,2, ? ? ?, n ),若△ O A 1 B1 、



△ OA2 B2 、 …△ OAn Bn 中有且只有 k 个正向三 角形,那么这 k 个三角形的面积之和,必等于其 余 (n ? k ) 个三角形的面积之和. 在这个定理中令 n = 3 ,可得 推论 3 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,以 H 为位似中心作△ ABC 的位似图形△ A ' B 'C ' ,那么在△ OAA ' 、△ OBB ' 、△ OCC ' 中 ,必有一个三角形的面积等于其余两个三 角形的面积之和.

因为点 Bi 在直线 Ai Ai+1 上 ,且 Ai Bi : Bi Ai+1 = λ , 所以由定比分点的坐标公式可知 ( 注意 yn+1 为 y1 )

∑ y' = ∑
i i =1 i =1 n i =1

n

n

yi + λ yi +1 1+ λ ③ 

= ∑ yi = yH = 0 将③代入②,得

∑ ?OHB
i =1

n

i

= O.

④ 参考文献
[1] 熊曾润.圆内接闭折线的垂心及其性质.福建中学 数学,2000.1. [2] 熊曾润.再谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2000.3. [3] 熊曾润.三谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2001.2. [4] 熊曾润.四谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建

但依题设,△ OHB1 、 △ OHB2 、 …△ OHBn 中有且只有 k 个正向三角形,记这 k 个三角形 为△ OHB '1 、△ OHB '2 、…△ OHB 'k 记其余 (n ? k ) 个 三 角 形 为 △ OHB 'k +1 、 △ OHB 'k + 2 、…△ OHB 'n ,则等式④可以改写成

∑ ?OHB '
i =1 K

k

i

=

i = k +1

∑ (??OHB ' ) .
i

n

此式两边取绝对值,就得

∑ ? ' OHB '
i =1

i

=

i =k +1

∑ ? ' OHB '

n

i

.

中学数学,2001.6. [5] 熊曾润.五谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2002.6.

命题得证. 显然,在这个定理中令 n = 3 可得 推 论 2 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,点 D、E、F 分别在直线 AB、BC、CA 上, 且
16



推荐相关:

三角形垂心的性质总结

因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形, 你不妨找一找。 三角形垂心的...而对于一般情况,上面问题,我们不妨称之为三角形的垂心性质定理 3: 三角形的...


图形基本性质

5.三角形共有六心:三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心、界心和欧拉线。 内心: 性质: 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。(性质:到三边...


圆的知识点二 圆的切线性质 两圆的关系

垂心、 了解:垂心、重心 练习: 练习: 1.给出下列命题 ①任意一个三角形一定...圆内接四边形 ABCD,∠A,∠B,∠C 的度数之比为 3:4:6,则∠D 的度数为(...


内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结 1.内心: (1)三条角平分线的交点,也是...形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然. 8外 心 : 三角形有六元素,...


内接圆,外接圆,内心,外心

6. 旁心:与三角形的一边和其它两边的延长线相切的...公理性质三垂线,解决问题一大片。 长方体:长方体...三角形的内切圆和外接圆 4页 免费 垂心、重心、...


中点三角形和圆内接四边形讲义

(重心的性质) , H G' O 另外,AD 是△ABC 的...(垂心,外心,九点圆心,重心) 4 初中数学竞赛 中点...圆内接三角形和四边形 5页 免费 六年级复习:三角...


北师大版六年级上---圆---第一单元教学计划_图文

北师大版六年级上---圆---第一单元教学计划_数学...垂心、内心、外心的四心合一心,这个 我就不展开讲...所谓“割圆术”, 是用圆内接正多边形的面积去无限...


三角形五心

性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 性质 ...2 、内心 三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心, 即三角形三个角平 分...


三角形五心定律

注意到内心到三边距离相等(为内切圆半径) ,内心定理其实极易证。 若三边分别...垂心的性质: 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这 7 个点可以得到 6 个四...


2015中考数学考前突击:平面几何的六十个定理

2015 中考数学考前突击:平面几何的六十个定理 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2...点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理:(圆内接...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com