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高三数学第一轮复习章节测试9-6


第9章 第6节 一、选择题 1.(2010· 湖南文)设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离 是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 [答案] B [解析] 本题考查抛物线的定义. 由抛物线的定义可知,点 P 到抛物线焦点的距离是 4+2=6. 2.(2010· 陕西理)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2

+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为 ( ) 1 A.2 C.2 [答案] C B.1 D.4

p [解析] 抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-2. 又圆 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16. P 则-2=-1,∴p=2. 3.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5, 则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 [答案] B [解析] 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 与 x 轴垂直时,x1+x2=2,与 y 轴垂直时,只一个交点, 故 AB 不与两轴垂直,设过焦点 F(1,0)的直线 l:y=k(x-1),则 k≠0.
? - ?y= 由? ?y2=4x ?

消去 y 得,

k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 2k2+4 2 3 ∴x1+x2= k2 =5,解得 k=± 3 . 4.(2009· 天津理)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线交于 A,B 两点, S△BCF 与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 =( ) S△ACF 4 A.5 4 C.7 2 B.3 1 D.2

[答案] A [解析] 本小题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线的关系等. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

1 3 ∵|BF|=2,∴2+x2=2,∴x2=2, 3 ∴B(2,- 3),(取 y2<0)又 AB 过 M( 3,0)点, ∴AB 所在直线方程为 y=2(2+ 3)(x- 3). 1 代入 y2=2x 得 x1=2,又 C 点横坐标为-2. 1 3 1 x2- -2 2+2 S△BCF 4 ∴ = 1 = 1=5.故选 A. S△ACF x1- -2 2+2 5.(2009· 全国Ⅱ理)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的 焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=( ) 1 A.3 2 C.3 2 B. 3 2 2 D. 3

[答案] D [解析] 本题考查抛物线的定义,以及分析问题解决问题的能力、运算能力. 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
?y= + ? 由? ? ?y2=8x

,消去 y 得 k2x2+4x(k2-2)+4k2=0, - k2

∴x1+x2=

,x1x2=4.

由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,又∵|AF|=2|BF|,∴x1+2=2x2+4,∴x1=2x2 +2 代入 x1x2=4,得 x22+x2-2=0, ∴x2=1 或-2(舍去),∴x1=4, ∴ - k2 8 2 2 =5,∴k2=9,∵k>0,∴k= 3 .

6.(2008· 宁夏、海南)已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )

?1 ? A. 4,-1 ? ?

?1 ? B. 4,1 ? ?

C.(1,2) D.(1,-2) [答案] A [解析] 如图,求|PQ|+|PF|的最小值即求|PA|+|PQ|的最小值(PA ⊥l), 当 A、P、Q 三点共线时,|PA|+|PQ|最小,

?1 ? 此时 P 4,-1 ,故选 A. ? ?
7.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线 与抛物线在 x 轴上方部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则 ΔAKF 的面积是( A.4 B.3 3 )

C.4 3 D.8 [答案] C [解析] 如图所示,抛物线方程为 y2=4x,∴F(1,0),F1(-1,0),根据抛物线的定义,AK=AF, 又∠AFx=60°,∴ΔAKF 是等边三角形,由 F 作 FM⊥AK 于 M,则有 MK=2,∴等边三角形边 3 长为 4,∴S△AKF= 4 ×42=4 3.

8.对于任意 n∈N*,抛物线 y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An、Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2012B2012|的值是( ) 2010 A.2011 2011 C.2013 2011 B.2012 2009 D.2010

[答案] C [解析] 设 An(xn,0),Bn(x′ n,0), 2n+1 1 则 xn+x′ n= ,xnx′ n= , n2+n n2+n |AnBn|=|xn-x′ n|= = = +x′ -4xnx′ n 4 1 ?2n+1? ?n2+n?2-n2+n=n2+n ? ? 1 1 1 =n- , + n+1

∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AnBn| 1 ? 1 n ?1 ? 1? ?1 1? = 1-2 + 2-3 +…+ n-n+1 =1- = , ? ? ? ? n+1 n+1 ? ? 2012 ∴当 n=2012 时,结果为2013. [点评] 由条件知 An、Bn 的横坐标 x1、x2 是方程(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0 的两根, 1 1 1 1 ∴x1= ,x2=n,∴|x1-x2|=n- . n+1 n+1 二、填空题 → → 9.(2010· 重庆理)已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足AF=3FB,则弦 AB 的中 点到准线的距离为________. 8 [答案] 3 → [解析] 如右图,设|AF|=m, → |FB|=n,

1 1 2 1 1 由m+n=P得m+n=1, 1 1 4 即3n+n=1,∴n=3, 12 4 + m+n 3 3 8 ∴AB 中点到准线的距离 d= 2 = 2 =3. 10.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米,当水面升高 1 米后,水面 宽度是______米. [答案] 4 2 [解析] 设抛物线拱桥的方程为 x2=-2py,当顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米, 即抛物线过点(4,-2)代入方程得 16=4p ∴p=4,则抛物线方程是 x2=-8y, 水面升高 1 米时,即 y=-1 时,x=±2 2 则水面宽为 4 2米. 11.设 P 是抛物线 y=x2 上的点,若 P 点到直线 2x-y-4=0 的距离最小,则 P 点的坐标为 ________. [答案] (1,1) |2x0-x02-4| 5 [解析] 解法 1 设 P 点坐标为(x0, x02), 由点到直线的距离公式得 d= = 5 |x02 5 -2x0+4| 5 3 5 = 5 |(x0-1)2+3|≥ 5 . 3 5 由上式可知当 x0=1 时,dmin= 5 . ∴点 P 的坐标为(1,1). 解法 2 如图, 平移 2x-y-4=0 这条直线至过点 P 与抛物线相切, 则 P 点到直线的距离最短.

设 P(x0,y0),∵y′ =2x. ∴过 P 点的切线斜率 k=y′ |x=x0=2x0=2. ∴x0=1,y0=x02=1,故 P 点坐标为(1,1). 三、解答题 12.(2011· 东北三校调研)点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,试求抛物线的方程. 1 [解析] 当抛物线开口向上时,准线为 y=-4a, 1 1 点 M 到它的距离为4a+3=6,a=12, 1 抛物线的方程为 y=12x2.

1 当抛物线开口向下时,准线为 y=-4a, 1 1 M 到它的距离为-4a-3=6,a=-36, 1 抛物线的方程为 y=-36x2. 1 1 综上可知抛物线的方程为 y=12x2 或 y=-36x2. 13.P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. [解析] (1)抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.

∵P 点到准线 x=-1 的距离等于 P 到 F(1,0)的距离, ∴问题转化为:在曲线上求一点 P,使 P 到 A(-1,1)的距离与 P 到 F(1,0)的距离之和最小.显 然 P 是 AF 的连线与抛物线的交点,最小值为|AF|= 5. 即:所求距离的最小值为 5. (2)|PF|与 P 点到准线的距离相等,如图,过 B 作 BQ⊥准线于 Q 点,交抛物线于 P1 点. ∵|P1Q|=|P1F|

∴|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. ∴|PB|+|PF|的最小值为 4. 14.(2010· 福建文)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 5 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. [解析] 本小题主要考查直线,抛物线等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查 函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想、分类与整合思想. (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t
? ?y=-2x+t 由? 得 y2+2y-2t=0 ? ?y2=4x

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,

1 解得 t≥-2. 5 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 , |t| 1 可得 = , 5 5 解得 t=±1.综上知:t=1. 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. → → → → 15.设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF. (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求 N 点的轨迹 C 的方程; → → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上的三点,且|AF|、|BF|、|DF|成等差数列, 当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E(3,0)时,求 B 点的坐标. → → [解析] (1)∵MN=2MP,故 P 为 MN 中点. → → 又∵PM⊥PF,P 在 y 轴上,F 为(1,0),故 M 在 x 轴的负半轴上,

? y? 设 N(x,y),则 M(-x,0),P 0,2 ,(x>0), ? ?
y? → ? y? → ? ∴PM= -x,-2 ,PF= 1,-2 ,

?

?

?

?

y2 → → → → 又∵PM⊥PF,∴PM· PF=-x+ 4 =0, ∴y2=4x(x>0)是轨迹 C 的方程. (2)抛物线 C 的准线方程是 x=-1, → → → 由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1 → → → ∵|AF|、|BF|、|DF|成等差数列, ∴x1+1+x3+1=2(x2+1),∴x1+x3=2x2 y1-y3 又 y12=4x1, y22=4x2, y32=4x3, 故 y12-y32=(y1+y3)(y1-y3)=4(x1-x3), ∴kAD= x1-x3 = 4 , y1+y3

y1+y3 ∴AD 的中垂线为 y=- 4 (x-3) AD 中点 ∴

?x1+x3,y1+y3?在其中垂线上, 2 ? ? 2

y1+y3 y1+y3?x1+x3 ? x1+x3 2 =- 4 ? 2 -3?.∴x2= 2 =1.

由 y22=4x2.∴y2=±2.∴B 点的坐标为(1,2)或(1,-2).


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