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高中物理竞赛培训(电磁学部分)-2014


中学生物理竞赛试题

(电磁学部分)

EM-1

解答:
根据镜像法可得: R ? R ? ? ? q ? ? q q ?? q ? ? ? ? OB x ? ? ? 2 2 R R ?OA ? ?d ? ? ? x ? OB ? ( d ? OB, x ? OA )
小球所受的合力:

>? x ? 2 R sin qq? 1 q2 R / x q2 2sin(? / 2) 2 FC ? ? ???? ? 4?? 0 ( d ? x) 2 4?? 0 ( R 2 / x ? x) 2 4?? 0 R 2 (2 cos ? ? 1) 2

P

? R T A
O

? /2

B
q?

q F

?
mg

1

? ? ? ? q2 mg ) ?F? ? F cos ? mg sin ? ? mg sin ? ? ? 1? ( ? ? 2 2 4?? 0 R 2 ? (2 cos ? ? 1) ?

(1)平衡位置:
? ? ? ?F? ? mg sin ? ? ? 1? ? 0 ? 2 ? (2 cos ? ? 1) ?
sin ? ? 0



(2 cos ? ? 1) 2 ? ?

? ?0



2 cos ? ? 1 ? ? 或 2 cos ? ? 1 ? ? ?
P

? R
O

q

结论: a) ? ? 1 时,只有一个平衡位置: ? 0 ? 0 b) ? ? 1 时,有三个平衡位置:

? 01 ? 0 , ? 02 ? arccos(

? ?1
2
P

) , ? 03 ? ? arccos(

? ?1
2

)

? R
O

q

(2)稳定性:
a) ? ? 1 时,只有一个平衡位置: ? 0 ? 0 令 ? ? ? 0 ? ?? ? ?? ( ?? ? 0 )
? ? ? ?F? ? mg sin ?? ? ? 1 ? 2 (2 cos ?? ? 1) ? ?

当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 ;当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 。因此小球在 ? 0 ? 0 位置处于不稳定平衡。
P

? R
O

q

(2)稳定性:
a) ? ? 1 时,只有一个平衡位置: ? 0 ? 0 令 ? ? ? 0 ? ?? ? ?? ( ?? ? 0 )
? ? ? ?F? ? mg sin ?? ? ? 1 ? 2 (2 cos ?? ? 1) ? ?

当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 ;当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 。因此小球在 ? 0 ? 0 位置处于不稳定平衡。
P

? R
O

q

b ) ? ? 1 时,有三个平衡位置:

? 01 ? 0 , ? 02 ? arccos(
?

? ?1 ? ?1 ) , ? 03 ? ? arccos( ) 2 2

? 01 ? 0 的稳定性:

令 ? ? ? 01 ? ?? ? ?? ( ?? ? 0 )

? ? ? ?F? ? mg sin ?? ? ? 1 ? ? mg (1 ? ? )?? ? 2 ? (2 cos ?? ? 1) ?
当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 ;当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 。因此小球在 ? 0 ? 0 位 置处于稳定平衡。

?

? 02 ? arccos(

? ?1
2

) 的稳定性:

令 ? ? ? 02 ? ?? ( ?? ? 0 )
? ? ? ?F? ? mg sin(? 02 ? ?? ) ? ? 1? 2 [2 cos( ? ? ?? ) ? 1] 02 ? ?

当 ?? ? 0 时, sin(? 02 ? ?? ) ? 0 , 2 cos(? 02 ? ?? ) ? 1 ? 2 cos ? 02 ? 1 ,

?
[2 cos(? 02 ? ?? ) ? 1]2

?1 ?

? ?1 ? 0 2 (2 cos ? 02 ? 1) ? ?1
2 )位

因此 ?F? ? 0 ;同理当 ?? ? 0 时, ?F? ? 0 。因此小球在 ? 02 ? arccos( 置处于不稳定平衡。
?

? 03 ? ? arccos(

? ?1 ) 的稳定性: 2 ? ?1 ) 位置处于不稳定平衡。 2

同理,小球在 ? 03 ? ? arccos(

(3)简谐振动周期
只有 ? ? 1 时,电荷才可能在 ? 01 ? 0 附近作简谐振动。根据

?F? ? ? mg (1 ? ? )?? ? ?
可得简谐振动周期: T ? 2?

mg (1 ? ? )? s ? ? k? s ( ? s ? R?? ) R
P

m R ? 2? k g (1 ? ? )
O

? R
q

EM-2

解答:
(1)导体球壳上感应电荷的总电量 UO ? Q 4?? 0 d ? Q? 4?? 0 R ?0?

R Q? ? ? Q d

Q?

R
O

d

Q P

( 3) 据电场线的性质(电场线永不相交)和电场的叠加原理:

2? r12 (1 ? cos ?1 ) 2? r22 (1 ? cos ? 2 ) 2? r 2 (1 ? cos ? ) Q? Q ? Q? ? Q? 2 2 2 4? r 4? r1 4? r2

2

D B

r2 R ? ? Q? 2 O? O a P?

r1

?1
d

? Q r P

2? r12 (1 ? cos ? 1 ) 2? r22 (1 ? cos ? 2 ) 2? r 2 (1 ? cos ? ) Q? Q ? Q? ? Q? 2 2 2 4? r 4? r1 4? r2
cos ? ? cos ?1 ? cos ?1 ?
cos ? 2 ? ?

R (1 ? cos ? 2 ) d
2

d ? R cos ? d ? R ? 2dR cos ?
2

2

D B

a ? R cos ? a 2 ? R 2 ? 2aR cos ? R ? d cos ? d 2 ? R 2 ? 2dR cos ?

r1 r2 R ? ? Q? 2 O? O a P?
d

?1

? Q r P

? R? d 2 ? R2 cos ? ? ? ? 1? 2 2 ? ? d R d ? R ? 2dR cos ? ? ?

?R ? ?? d 2 ? R2 ? ? arccos ? ? ? 1? ? 2 2 ?? d ? R d ? R ? 2dR cos ? ? ? ?? ?

EM-3

17

第29届预赛试题

EM-4
M C
O? R/2

Q

?Q

O R B

v0
A q

R

第27届复赛试题
N

M C
O? R/2

Q

?Q

O R B

v0
A N q

R

M C
O? R/2

Q

?Q

O R B

v0
A N q

R

M C
O? R/2

Q

?Q

O R B

v0
A N q

R

M C
O? R/2

Q

?Q

O R B

v0
A N q

R

EM-5

EM-6

第30届复赛试题

EM-7

2012 国 际 物 理 奥 赛

EM-7

2012 国 际 物 理 奥 赛

以下信息有助于解答此题。液体中的分子更喜欢呆在液体中而非气液界面 处。气液界面处具有表面能U = σ S,其中S是界面的面积,σ 是表面张力 系数。液体表面的两部分间具有相互拉力 F = σ l, l是分隔两部分的直线 长度。 Part A. 一个管子 一个内直径为d的长金属管垂直朝下放置,如图所示,可导电的水从其下端 喷嘴处缓慢滴落。水的表面张力系数是σ ,密度是ρ 。有一个半径为r的水 滴挂在喷嘴处,其半径随时间慢慢增加直至重力(加速度g)作用下水滴从 喷嘴处分离。假设d ? r. i)推导水滴脱离喷嘴前的最大半径rmax ii)假设相对无穷远处,金属管的静电势能为φ ,推导当水滴半径为r时所 携带的电荷Q。 iii)假设r固定而φ 缓慢增加,水滴将变得不稳定并当其内部水压小于外 界大气压时分裂为小水滴。推导此临界电压φ max

Part B. 两个管子 卡尔文滴水起电机由两个A部分中所述管子构成,如图所示。两管的下端喷 嘴位于两个圆柱形(高为L,半径为D,L ? D ? r)电极中。各管中水滴 速率为单位时间n滴。水滴从高度H处下落到与电极交叉相连的导电桶内。 同时两个电极间连接一个电容为C的电容器。初始时系统为电中性,但是由 于最初下落的水滴带有微量的电荷导致一段时间后两个电极间电荷分布不 再均衡。 i)当电容器带电量为q时,推导从喷嘴下落的水滴带电量Q0(可利用rmax, 并忽略A-iii中所述效应) ii)寻找q随时间变化的函数q(t),假设q(0)=q0 iii)起电机的工作可由于A-iii中所述效应而中断。并且电极两端最高电 压受限于水滴与导电桶之间的静电斥力。据此推导最高电压Umax

EM-8

第25届全国中学生物理竞赛复赛题(2008年9月)
39

[解法一][原参考解答]如果电流有衰减,意味着线圈有电阻,设 其电阻为R,则在一年时间Δt内电流通过线圈因发热而损失的 能量为

?E ? I R?t
2

(1)

以ρ表示铅的电阻率,S表示铅丝的横截面积,l表示铅丝的长 度,则有

l R?? S

(2)

电流是铅丝中导电电子定向运动形成的,设导电电子的平均 速率为v,根据电流的定义有

I ? S vne
40

(3)

所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化,并不等于电 流一定没有变化,但这变化不会超过电流检测仪器的精度ΔI, 即电流变化的上限为 。由于导电电子的数密度是不变的,电流 的变小是电子平均速率变小的结果,一年内平均速率由v变为 v–Δv,对应的电流变化

?I ? neS ?v

(4)

导电电子平均速率的变小,使导电电子的平均动能减少,铅 丝中所有导电电子减少的平均动能为
2? ?1 2 1 ?Ek ? lSn ? mv ? m ? v ? ?v ? ? 2 ?2 ? ? lSnmv?v
41

(5)

由于ΔI<<I,所以Δv<<v,式中Δv的平方项已被略去。由(3) 式解出 v,(4)式解出 Δv,代入(5)式得

lmI ?I ?Ek ? ne 2 S

(6)

铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损 失的能量,即

?Ek ? ?E
由(1)、(2)、(6)、(7)式解得

(7)

m ΔI ?? 2 ne I ?t
42

(8)

前式中

?t ? 365 ? 24 ? 3600s=3.15 ?107s (9)
在(8)式中代入有关数据得

? ? 1.4 ?10 Ω ? m
?26

(10)

所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到

? ? 1.4 ?10?26 Ω ? m

(11)

本题当时评分标准:本题22分. (1)式、(3)式、(4)式各2分,(5)式10分,(7)式2分,(10)式3分, 结论(11)式l分.
43

[解法二]如果电流有衰减,意味着线圈有电阻。电阻形成的机 制是由于载流子即导电电子在导体中运动通过碰撞损失能量, 我们可以唯象地将电阻的作用等效为一阻尼力fR。考虑截面为S 长为l流以稳恒电流I的一段导体,Ohm定理给出

U ? RI
这也可视为电场力与唯象阻尼力fR的平衡,由此得到阻尼力 的表达式

U RI f R ? eE ? e ? e l l l R?? S

(1)

设导体的电阻率为ρ,则有 (2)

44

因此

e? I fR ? S

(3)

该唯象阻尼力fR与导电电子的定向运动方向相反,使得定向 运动速率逐渐减小。由Newton方程,在δt的微小时间里定向 运动速率的变化满足

?v e? I ?m ? fR ? ?t S

(4)

45

由于导电电子的数密度n是不变的,定向运动速率由v变为v+δv, 对应的电流变化δI=neSδv ,或者

1 ?v ? ?I neS
代入Newton方程(4)式得

(5)

m ?I ? ? e? I ne ? t

(6)

在本题中,持续一年的时间内电流I的变化很小,其上限为 ΔI=1.0mA<<I。可知I基本上是常数,因此由上面(5)式知其变 化是均匀的,故在一年时间Δt内

?I ?I ?? ?t ?t
46

(7)

其中 ?I

? I0 ? I ? ?t ?

。这样(5,6)式给出

m ?I ? e? I ne ?t
也就是

(8)

m ΔI ?? 2 ne I ?t
[讨论](6)式令δt→0,则

(9)

此式与解法一所得结果相同,余下部分解答同解法一。

m dI ? ? e? I ne dt
47

解此微分方程得

I (t ) ? I 0e

e2 n ? ? t m

其中I0为初始电流,题意电流I经一年时间变化甚小,原因在 于ρ很小。故经过一年时间Δt

? e n? ? I (?t ) ? I 0 ?1 ? ?t ? m ? ?
2

因此

e2 n? I 0 ?I ? I 0 ? I ? ?t ? ? ?t m
48

由此得出

m ΔI m ΔI ?? 2 ? 2 ne I 0 ?t ne I ?t
这与前结果相同。

49

EM-9
如图所示, 空间有一沿 x 轴正方向的匀强磁场, 磁感应强度大小为 B, 同时在 x ? 0 和 x ? 0 的区域分别存在沿 x 轴正方向和负方向的电场,电场强度大小与场点到 Oyz 平面的距离成正比,即 E ? ? xi ( ? 为大于零的常数, i 为沿 Ox 方向的单位 矢量) 。今有一质量为 m,电量为 ? q ( q ? 0 )的带电粒子在 t ? 0 时刻自坐标原 点以初速度 v0 在 Oxy 平面内沿与 x 轴成 600 角的方向射出。忽略重力和其它阻力 的影响。 (1)写出任意 t 时刻粒子的位置坐标。 (2)为使粒子作周期性运动, ? 、 B 、 q 、 m 必须满足什么条件? (3)若使 x< 0 区域的磁场反向,其它条件不变,则使粒子作周期性运动的条件 y 是什么?
v0

E
B

?q O
z

60

0

x

解答:

(1) 粒子沿 x 轴方向的运动: ax ? ?qE ?? q ?? x m m

所以粒子沿 x 轴作简谐振动,其角频率和周期分别为

?x ?

?q
m

, Tx ?

2?

?

? 2?

m ?q

振动方程: x ? A cos(? x t ? ? )

? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? x t ?0 ? 0 由初始条件: ? ,可得: ? 0 v ? v cos 60 ? x 0 ? A ? v0 m ? t ?0 ? 2 ?q ?
振动方程:
x? v0 2 m ?q sin t ?q m

(2)为使粒子作周期性运动,必须 pTx ? nTyz (n ? 1,2,
2? p B m 2? nm ? ?q qB

, p ? 1,2,

)

q n ? ?m p

所以,粒子能够作周期性运动的条件为: B q /(? m) 为正的有理数。

(3) x> 0 与 x< 0 区域的 B 反向 分析可知(见图) ,此时为使粒子能够作周期性运动,必须满足

1 Tx ? nTyz ( n ? 1,2, 2

)

?
B

m 2? nm ? ?q qB
q ? 2n ?m

所以,粒子能够作周期性运动的条件为: B q /(? m) 为偶数。 y y
v0 y
O

v0 y
z O z

B

q ? 2n 时 ?m

B

q ? 2n 时 ?m

EM-10
如图所示,在边长为 a 的等边三角形 ABC 所围城的区域内有一磁感应强度大小 为 B,方向垂直纸面向里的匀强磁场。有一带电量为 ? q ( q ? 0 ) ,质量为 m 的 点电荷以速度 v 沿平行于 BC 边的方向从 AB 边上的某一点 P 进入磁场。忽略重 力和其它阻力的影响。问: (1)为使点电荷在磁场区域内运动的时间尽可能长,点电荷应从 AB 边上什么 位置进入磁场?(求出入射点 P 到顶点 A 的距离。 ) (2)按照上述位置进入磁场,点电荷在磁场区域内运动的时间为多少?
A
? ? ? ? v P ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? q, m ? ? ? ? ? ? ?? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
A

A
P

v1
R O
C

D

P

E

v2

D

?B
B

B

a

?

G

C

?B
R

B

F

C

?
O (b)

(a)

0?v?

3 qaB 5 m

A v P
R D E

A

v?

3 qaB 2 m

O
v
P?

?

O?

?B
C (c )

v

P

D

B

?B
B
A

F

G

C

3 qaB 3 qaB ?v? 5 m 2 m

P

v

D

R
E

?
O

?B
R F C

?
O

?
(d )

B

G

(e)

解答:
分析: v 分三个区域: (a) 0 ? v ? v1 (b) v1 ? v ? v2 (c) v ? v2 v1 :点电荷运动轨道与 AC 和 BC 均相切时 的入射速度(图(a) ) : 2R R ? ?a? 3 2 3 R? mv1 3 ? a qB 5
v1
R O
P

A
D

E

?

3 qaB v1 ? 5 m
B F

?B
C

(a)

v2 :点电荷运动轨道与 AC 相切于 C 点时的入射速度(图(b) ) :

??
R?

?
3
mv2 3 ? a qB 2 3 qaB 2 m
P

A

v2 ?

v2

D

?B
B

G

C

R

?
O (b)

3 qaB (a) 0 ? v ? : 5 m

A v P
R D E

mv 3 ) AP ? PD ? R (R ? 3 qB
4 3 AP ? ? a ? ?a? R 3 3/2 2R
P?

O
v

?

入射点: P 与 P ? 之间任一点。

4 ?? ? 3 (4 / 3)? 2 4? m t? T? T? 2? 3 3qB

O?

?B
C (c )

B

F

( b)

3 qaB 3 qaB : ?v? 5 m 2 m

AP ? PD ?

3 R 3
P

A

PB ? a ?
OG ?
cos ? ?

3 R 3

v

D

3 3 3 PB ? R ? a? R 2 2 2
OG 3a 3 ? ? R 2 R 2 3a 3 ? ) 2 R 2
O

E

?
?
(d )

?B
R F C

? ? arccos(

? ? ? ? arccos(
t?

3a 3 ? ) 2 R 2

B

G

? 1 1 3a 3 ?m 1 3a 3 T ? [1 ? arccos( ? )]T ? [1 ? arccos( ? ) 2? 2 ? 2 R 2 qB ? 2 R 2

(c) v ?
BP ? x

3 qaB : 2 m

A

1 3 GC ? a ? x , GO ? R ? x 2 2
2 ? 3 ? ? 1 ? a ? x ? ? R2 ? ? R ? 2 x? ? ?? 2 ? ? ? ? 2

v

P

D

x 2 ? ( 3R ? a ) x ? a 2 ? 0 3R ? a ? ( 3R ? a ) 2 ? 4a 2 x? 2
a ? 3R ? ( a ? 3R ) 2 ? 4a 2 AP ? a ? x ? 2

?B
B

G

C

R ? 3a ? (3R ? 3a ) 2 ? 12a 2 GO ? 4
2 2 GO R ? 3a ? (3R ? 3a ) ? 12a cos ? ? ? R 4R

R

? R ? 3a ? (3R ? 3a ) 2 ? 12a 2 ? ? arccos ? 4R ? ?

? ? ? ?

? R ? 3a ? (3R ? 3a ) 2 ? 12a 2 ? ? m ? t? T? arccos ? 2? qB 4R ? ? ? ?

?
O

(e)

EM-11
图(a)所示,十二根均匀的导线联成一边长为 l 的正方体,每根导线的电阻均为 R。 该正方体在匀强磁场绕过中心且与 abcd 面垂直的转动轴以角速度 ? 作匀速转动。 已知磁感应强度大小为 B,方向与转动轴垂直。忽略电路的自感。求 (1)当正方体转动到如图(b)所示的位置(对 角线 db 与磁场同向)时,通过导线 ba 和 ad 的电 流强度。 (2)当正方体转动到如图(c)所示的位置(对 角线 db 与磁场夹角为 ? )时,通过导线 ba 和 ad 的电流强度。 (3)为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。

a?
a

b?
b l

?
d
(a)

c?
c

B

a

a

l d

d
b

l

B

?
c
(b)

?
c
(c )

?

B
b

第27届全国中学生物理竞赛决赛题

a

a
l

d
b

d

B

l

?
c
(b)

?
c

?

B
b

(c)
R
b

R
d

a R
c R

c

d

R
a

? dd ?
R d?

R
I dd ?

I b?b

? b?b
R

? cc?
R
c?

R
I cc?

b R
d? R

I a?a

? a?a
R

R

a? R
R

R

b?
R c?

a?
R b? R

解答:
(1)此时 a ?a 和 cc ? 中的感应电动势为零,
b ?b 和 dd ? 中的感应电动势为

a

l d

? b?b ? ? dd ?

2 2 ? Bl ? 2

?
c
(b)

b

B

若将 a?a 和 cc? 断开,则等效电路如图所示, 则流过 b ?b 和 dd ? 电流
R
d

a R
b

I b?b ? I dd ? ?

? b?b ? ? dd ?
4R

?

2 Bl ? ? dd ? 4 R
2

R
I dd ?

c R

I b?b

? b?b
R

流过 ba 和 ad 的电流

R d?

R

a? R
R

I ba ? I ad

1 2 Bl 2? ? I b?b ? 2 8 R

b?
R c?

此时 a ?、a 两点的电势差 U a?a ? ? I d ?a? R ? I dd ? R ? I ad R ? ? dd ? ? dd ? ?0
R

R
d

a R
b

R
I dd ?

c R

I b?b

? b?b
R

同理 c、c ? 两点的电势差 U cc? ? 0
d?

R

a? R
R

b?
R c?

这表明连接 a?a 和 cc? 不影响 ba 和 ad 中的电流。 综上可得,通过导线 ba 和 ad 的电流强度为

I ba ? I ad

1 2 Bl 2? ? I? 2 8 R

(2)此时 a?a 和 cc ? 中的感应电动势为
a

? a?a ? ? cc?

2 2 ? Bl ? sin ? 2

d

l

b?b 和 dd ? 中的感应电动势为

?
c
(c)

?

B
b

? b?b ? ? dd ? ?

2 2 Bl ? cos ? 2

下面根据叠加原理计算流过 ba 和 ad 的电流。先计算 ? b?b 和

? dd ? 单独存在( ? a?a 和 ? cc? 短路)时流过各支路的电流。采用与上
述一样的方法可得此时时流过 b ?b 和 dd ? 电流 I
(1) b?b

?I

(1) dd ?

2 Bl 2? ? cos ? 4 R
d
2

a

流过 ba 和 ad 的电流
(1) (1) I ba ? I ad ?

l

2 Bl ? cos ? 8 R
c

?

?

B
b

流过 a ?a 和 cc ? 电流的电流
(1) (1) Ia ?a ? I cc? ? 0

(c)

再计算 ? a?a 和 ? cc? 单独存在( ? b?b 和 ? dd ? 短路)时流过 ba 和 ad 的电流。若 将 b?b 和 dd ? 断开,等效短路如图所示 ? a?a 和 ? cc? 单独存在时流过 a ?a 和 cc ? 电流
(2) (2) Ia ?a ? I cc ?

2 Bl 2? ? sin ? 4 R

R
c

d

R
a

流过 ba 和 ad 的电流为
I
(2) ba

? cc?
R
c?

R
I cc?

b R
d? R

2 Bl 2? ?? sin ? 8 R

I a?a

? a?a
R

R

I

(2) ad

2 Bl 2? ? sin ? 8 R

a?
R b? R

此时 b ?、b 之间和 d、d ? 之间的电势差 U b?b ? U dd ? ? 0 ,由此连接 b?b 和 dd ? 后流 过 b ?b 和 dd ? 的电流
(2) I b(2) ?b ? I dd ? ? 0

因此连接 bb ? 和 dd ? 不影响各支路中的电流。

根据叠加原理,流过 ba 和 ad 的中电流:
I ba ? I
(1) ba

?I

(2) ba

2 Bl 2? ? (cos ? ? sin ? ) 8 R

I ad ? I

(1) ad

?I

(2) ad

2 Bl 2? ? (cos ? ? sin ? ) 8 R

(3)根据叠加原理,流过 a ?a 、 cc ? 、 b ?b 、 dd ? 的电流: I a?a ? I
(1) a ?a

?I

(2) a ?a

2 Bl 2? ? sin ? 4 R

Fa?a

a

(1) (2) I cc? ? I cc ? ? I cc?

2 Bl 2? ? sin ? 4 R 2 Bl ? cos ? 4 R
2

d
Fdd ?

l

Fb?b

(2) I b?b ? I b(1) ?b ? I b?b ?

?
c
Fcc?

?

B
b

(1) (2) I dd ? ? I dd ? ? I dd ? ?

2 Bl ? cos ? 4 R
2

M ? 2 Fa?a

l l sin ? ? 2 Fb?b cos ? ? 2 ? Bl 2 I a?a sin ? ? Bl 2 I b?b cos ? ? 2 2

B 2l 4? ? 2R

EM-12

r1 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ?

r2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ?

EM-13

第29届预赛试题

EM-14

第30届决赛题

EM-15
如图所示,两无限长金属导 轨固定在水平面上,两者相 互平行, 相距为 L。 在导轨上 有三根与导轨垂直的导体细 棒 a、b、c,每根导体棒的质 量均为 m,电阻均为 R。整 个装置处在一磁感应强度大 小为 B,方向竖直向下的匀

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

?a ?

? ?b

? ? ? ? x0 2

?

? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? c ?

L

v0

? ? ? ?

? ? B ? ? ? ? ? ?

x0

强磁场中, 磁场的左右边界与导体棒平行。t ? 0 时, 导体棒 a、 b 之间距离为 x0 , b、c 之间距离为 x0 / 2 ,导体棒 a 的初速度大小 v0 ,方向与导轨平行,导体棒 b、 c 静止。 设金属导轨的电阻及导轨与导体棒之间的摩擦均可忽略不计, 磁场左右 边界之间的距离足够大(但不是无限大) ,使得在三导体棒均未离开磁场前,其 速度已趋于稳定(加速度趋于零) 。忽略导体中的电流产生的磁场。 (1)为使在运动过程中三导体棒不相碰,导体棒 a 的初速度 v0 应小于某一极限 值 vm ,求 vm ? ? 。 (2)在 v0 ? vm 的条件下,求三导体棒的最终速度( t ? ? 时的速度) 。

解答:
(1) I a ? Ib ? Ic ?

? a ? ? bc
R?R/2

?

2 BL(va ? vbc ) 3R

2 B 2 L2 (va ? vbc ) ?v Fa ? ? BI a L ? ? ?m a 3R ?t

2 B 2 L2 ?va ? ? (va ? vbc )?t 3mR
2 B 2 L2 va ? v0 ? ( sa ? sbc ) 3mR Fb ? Fc ? B ( I b ? I c ) L

sbc sa

a

b
Ib va Ic vbc
x0 2

c

2 B 2 L2 (va ? vbc ) ? 3R ?v ? 2m bc ?t B 2 L2 vbc ? ( sa ? sbc ) 3mR

L

?B
x0
x0 2

Ia

vbc

x

稳定时: va ? vbc 2 B 2 L2 B 2 L2 v0 ? ( sa ? sbc ) ? ( sa ? sbc ) 3mR 3mR
sa ? sbc ? mRv0 B 2 L2

mRv0 x ? x0 ? ( sa ? sbc ) ? x0 ? 2 2 B L

要使 a 不超过 b,必须: x ? 0 B 2 L2 x0 v0 ? mR B 2 L2 x0 vm ? mR
L
sbc sa

a

b
Ib va Ic vbc
x0 2

c

?B
x0
x0 2

Ia

vbc

x

(2)稳定时, va ? vbc ? v0 / 3 。c 到达边缘以后,c 作以速度 v0 / 3 匀速 运动,a、b 以初速度 v0 / 3 作减速运动。所以 c 的最终速度
?? vc v0 3 ? 2 BLvab ? R 3R R? 2 ? ? ab

? ? Ib ?? Ia

? 2 B 2 L2 vab ?v ? ? ? I b? ) L ? ? Fa? ? Fb? ? ? B ( I a ? 2m ab 3R ?t
B 2 L2 ? ?? ? ?t ?vab vab 3mR
x a
L x0 2 b

? v0 B L sab ? ? ? vab 3 3mR
2 2

c
? Ic

?B

? Ia

? Ib ? vab
x

? vab
? sab

? vc

? ? 0时 按照上述规律运动,当 vab mRv0 B 2 L2 ? ? x0 / 2 ,即 由此可得,若 sab ? ? sab B 2 L2 x0 v0 ? 2mR a、b 的最终速度为
x a
L x0 2 b

c
? Ic

? ? vb ? ?0 va

?B

? Ia

? Ib ? vab
x

? vab
? sab

? vc

? ? x0 / 2 ,即 若 sab B 2 L2 x0 B 2 L2 x0 ? v0 ? 2mR mR b 的最终速度为
v0 B 2 L2 x0 ?? ? vb 3 6mR

v0 B 2 L2 x0 b 到达边缘以后,a 以初速度 ? 作减速运动。 3 6mR ?? ?? ?a 2 BLva ?? ? Ia ? R?R/2 3R ?? ?? 2 B 2 L2va ?va ??L ? ? Fa?? ? ? BI a ?m 3R ?t

2 B 2 L2 ?? ? ? ???t ?va va 3mR
?? v0 B 2 L2 x0 2 B 2 L2 sa ?? va ? ? 3 6mR 3mR

a
L

b
?? Ib ?? Ic ? vb

c

?B
?? sa

?? Ia

?? va
x

? vc

?? ? 0 时 按照上述规律运动,当 va

?? ? sa

mRv0 x0 ? 2 2 2B L 4
mRv0 ) ,即 2 2 B L

?? ? x( x ? x0 ? 由此可得,若 sa
B 2 L2 x0 5B 2 L2 x0 ? v0 ? 2mR 6mR

a 的最终速度为 ?? ? 0 va 若 s1?? ? x0 ? mRv0 ,即 2 2 B L
L

a

b
?? Ib ?? Ic ? vb

c

?B
?? sa

?? Ia

?? va
x

? vc

5 B 2 L2 x0 B 2 L2 x0 ? v0 ? 6mR mR
a 的最终速度为

v0 B 2 L2 x0 2 B 2 L2 ? mRv0 ? 5 B 2 L2 x0 ?? ? ? va ? x0 ? 2 2 ? ? v0 ? 3 6mR 3mR ? B L ? 6mR

综上,导体细棒 a、b、c 的最终速度: B 2 L2 x0 1) v0 ? 2mR
va ? 0, vb ? 0, vc ? v0 3

B 2 L2 x0 5B 2 L2 x0 2) ? v0 ? 2mR 6mR v0 B 2 L2 x0 v0 va ? 0, vb ? ? , vc ? 3 6mR 3 5 B 2 L2 x0 B 2 L2 x0 3) ? v0 ? 6mR mR

5 B 2 L2 x0 v0 B 2 L2 x0 v0 va ? v0 ? , vb ? ? , vc ? 6mR 3 6mR 3

EM-16
如图所示,两无限长金属导轨固定在水平面上,两者相互平行,相距为 L。在 导轨上有 n 根与导轨垂直的导体细棒,每根导体棒的质量均为 m,电阻均为 R, 各导体棒上串联一电容为 C 的电容器。整个装置处在一磁感应强度大小为 B, 方向竖直向下的匀强磁场中。 t ? 0 时,所有电容器均不带电,各导体棒的速度 大小分别为 v10、v20、 、vn 0 ,方向与导轨平行。设金属导轨的电阻及导轨与导 体棒之间的摩擦均可忽略不计,各导体棒在运动过程中没有相遇。 (1)求各导体棒的极限速度( t ? ? 时的速度) ; (2)求整个过程电路中消耗的焦耳热; (3)若在运动过程中电容器全部被击穿(电容器短路) ,则各导体棒的极限速 度是多少?整个过程电路中消耗的焦耳热是多少?

? ? ? ?

? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ?

? ? ? L ? ?

? ? ? ? ?

? C?

? C? v10 ? ?

? C? v20 ? ? ?3

C ?…… ? ? v30 ? ? ?
? ?

vn 0

?1 ?

?2 ?

? n?

解答:
(1)
?v1 ?q ? ? BLi1 ? ? BL 1 ? ?t ?t m ?q1 ? ? ?v BL m i1 q1 ? ? (v1 ? v10 ) BL m

同理
m q2 ? ? (v2 ? v20 ) BL …… m qn ? ? (vn ? vn 0 ) BL

C

q1

i2 C

i3
q2

C

q3

……
v3

in

C

qn

L

v1 1 2

v2
3

vn

n

q1 q2 ? ? ? BLv1 ? i1 R ? ? BLv2 ? i2 R ? C C ? ?i1 ? i2 ? ? in ? 0 ? 稳定时, i1 ? i2 ? ? in ? 0 ? BLvn ? q1 q2 ? BLv ? ? BLv ? ? ? 1 2 C C ? ? q1 ? q2 ? ? qn ? 0 ?

qn ? BLvn ? in R ? C

qn C

将 q1 、 q2 、 …… 、 qn 代入上式整理得
? (1 ? ? ) vn ? ? vn 0 ? ? ? (1 ? ? ) v1 ? ? v10 ? (1 ? ? ) v2 ? ? v20 ? m ( ? ? ) ? 2 2 ? vn ? v10 ? v20 ? ? vn 0 B LC ? v1 ? v2 ?

i1

C

q1

i2 C

i3
q2

C

q3

……
v3

in

C

qn

L

v1 1 2

v2
3

vn

n

(1 ? ? )(v1 ? v2 ?

? vn ) ? ? (v10 ? v20 ?

? vn 0 )
? vn 0 )

? (1 ? ? )(v10 ? v20 ? ? v10 ? v20 ?

? vn 0 ) ? ? (v10 ? v20 ?

? vn 0 ? n?

??

v10 ? v20 ? n

? vn 0

? v0

v0 ? ? v10 v1 ? 1? ?
v0 ? ? v20 v2 ? 1? ?
i1

C

q1

i2 C

i3
q2

C

q3

……
v3

in

C

qn

L

…… v0 ? ? vn 0 vn ? 1? ?

v1 1 2

v2
3

vn

n

(2)

q1 ? ?

m m v0 ? v10 (v1 ? v10 ) ? ? BL BL 1 ? ?

2 2 2 ? ? 1 v2 ? v 2 v ? ? v v ? v q ? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 10 0 10 10 0 mv10 ? mv1 ? 1 ? m ?v10 ? ? 0 ? ?? ? ? ?? m 2 2 2C 2 ? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2

2 2 ? v02 1 2 1 2 q2 1 v20 mv20 ? mv2 ? ? m 2 2 2C 2 1? ?

……
2 2 2 1 2 1 2 qn 1 vn 0 ? v0 mvn 0 ? mvn ? ? m 2 2 2C 2 1? ?

Q?

1 2 2 m(v10 ? v20 ? 2

2 ? vn 0) ?

1 2 m (v12 ? v2 ? 2

2 ? vn )?

1 2 (q12 ? q2 ? 2C

2 ? qn )

2 2 2 2 2 2 ? v20 ? ? vn ) ? nv v ? v 1 (v10 1 0 0 0 ? m ? mn 0 2 1? ? 2 1? ?

(3)不管电容器是否被击穿,任意时刻 n 根导体棒所受的合力 ?F ? BLi1 ? BLi2 ? v1 ? v2 ? 稳定时,i1 ? i2 ? 的条件是 v1 ? v2 ? v1 ? v2 ? BLin ? BL (i1 ? i2 ? ? vn 0 ? in ? 0 in ) ? 0 所以 n 根导体棒在运动过程中总动量守恒。由此可得 ? vn ? v10 ? v20 ? ? in ? 0 。 若所有电容器均被击穿,i1 ? i2 ?
? vn 。由此可得极限速度

v10 ? v20 ? ? vn ? n

? vn 0

? v0

整个过程电路中消耗的焦耳热 Q? 1 2 mn(v0 ? v02 ) 2
i1 i2 C i3
q2

C

q1

C

q3

……
v3

in

C

qn

L

v1 1 2

v2
3

vn

n

EM-17
n 个导体圆环,半径分别为 a 、 2a 、
3a 、……、 na ,单位长度的电阻均为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ?


? ? ? ? ? ? ? ? ?

r ,它们同心地固定在同一水平面上,
并处在一与圆环平面垂直,磁感应强 度大小为 B 的匀强磁场中。两长度均 为 na ,电阻可忽略的金属棒 OC 和 OD,一根固定,另一根以角速度 ? 绕 过圆心 O 且垂直于圆环平面的转轴作 匀速转动,两金属棒与各圆环保持良 好接触。忽略电路的自感。 (1)求当两金属棒的夹角为 ? 时通过
O 点的电流强度;

? ? ? ? ?

?B ? ? ? ? ? ? ?

? O? ? ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?D ? ? ?

(2)求金属棒 OC 受到的对过 O 点且垂直于圆环平面的转轴的磁力矩; (3)证明磁场对整个电路(含 n 个圆环和两根金属棒)作用的合力为零。
n 1 1 [已知: ? i ? n(n ? 1)(2n ? 1) , ? i 3 ? n 2 (n ? 1) 2 ] 6 4 i ?1 i ?1 2 n

解答:
O

?1 I ? 1
I1

?2 I? 2
I2

?i I ? i
Ii

? n ?1 I ? ?n n ?1
In Rn ?1 Rn

I

R1

R2

Ri

(1)

?1 ? ? 2 ?

1 B (ia ) 2 ? 2 ia? r ? ia (2? ? ? )r ? (2? ? ? )iar Ri ? ? 2? iar 2? ? ?i ?
I i Ri ? (?1 ? ? 2 ? ? ?i ) ? 0 ?

Ii ?

?1 ? ? 2 ?
Ri

I ? I1 ? I 2 ?

1 B (ia ) 2 ? ? ?i ? Ba? ? 2 ? i ? (2? ? ? )iar ? (2? ? ? )r 2? ? Ba? n(n ? 1) ? Ba? ? In ? (1 ? 2 ? ? n) ? ? (2? ? ? ) 2 ? (2? ? ? ) r

(2)
I i? ? I i ? I i ?1 ? ? In ?

? Ba? (i ? i ? 1 ? ? (2? ? ? )

? n) ?

(n ? i ? 1)(n ? i ) ? Ba? 2 ? (2? ? ? ) r

1 (n ? i ? 1)(n ? i )(2i ? 1) ? B 2 a 3? M i ? BaI i?(i ? )a ? 2 4 ? (2? ? ? ) r
2 3 ? B 2 a 2? n (n ? i ? 1)(n ? i )(2i ? 1) 1 2 2 ?B a ? M ? ? n (n ? 1) ? ? (2? ? ? ) r i ?1 4 8 ? (2? ? ? ) r


2 3 3 ? Ba? 1 2 2 ? (2? ? ? )iar 2 ?B a ? P ? ? I Ri ? ? [ i] ? n (n ? 1) ? M? 2? 8 ? (2? ? ? ) r i ?1 i ?1 ? (2? ? ? ) r n 2 i n 2 3 1 2 2 ?B a ? M ? n (n ? 1) 8 ? (2? ? ? ) r

? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? C ? ? ? ? ? ? ? ?


? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

O

?1 I ? 1
I1

?2 I? 2
I2

?i I ? i
Ii

? n ?1 I ? ?n n ?1
In Rn ?1 Rn

? ?

?B ? ? ? ? ? ? ?

? O? ? ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

I

R1

R2

Ri

?D ? ? ?

FOC
( 3)
( n ? i ? 1)(n ? i ) ? B 2 a 2? Fi ? BaI i? ? 2 ? (2? ? ? ) r FOC ?

C

FOC

?B a ? (n ? i ? 1)(n ? i ) ? ? (2? ? ? ) r i ?1 2
2 2 n

O ?

F1

?

1 ?B a ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 ? (2? ? ? )r
2 2

FOD
FOD
D

FOD ? FOC

F1 ? 2 FOC cos

? ??
2

1 ? B 2 a 2? ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) sin 3 ? (2? ? ? ) r 2

Ci
? B a? i ?l ? (2? ? ? )r j
2

?Fyj

?F j
?Fxj

?j
?l j
Ii

?Fj ? BI i ?l j ?

ia
O

?Fxj ? ?F j cos ? j ?

? B a? i ?l j cos ? j ? (2? ? ? ) r
2

ia
Di

? B 2 a? ?Fyj ? ?Fj sin ? j ? i?l j sin ? j ? (2? ? ? )r

? B 2 a? ? B 2 a? 2? B 2 a 2? 2 ? Fix ? ? ?Fxj ? i ? ?l j cos ? j ? iCi Di ? i sin ? (2? ? ? )r j ? (2? ? ? ) r ? (2? ? ? ) r 2 j
Fiy ? 0

2? B 2 a 2? ? n 2 1 ? B 2 a 2? ? F2 ? ? Fix ? sin ? i ? n(n ? 1)(2n ? 1) sin ? (2? ? ? ) r 2 i ?1 3 ? (2? ? ? ) r 2 i ?1
n

?F ? F2 ? F1 ? 0

EM-18
证明任意形状的平面载流线圈(单匝)在匀强磁场中所受到的合力为 零,所受到的对线圈平面内任一转动轴的合力矩大小为
M ? BIS sin ?

式中 B 为磁感应强度的大小, I 为线圈中电流强度,? 为线圈的法线方 向与磁感应强度方向的夹角。

a) B ? en
ΔFi1 ? BIΔli1 sin ? i1 ? BIΔhi

ΔFi 2 ? BIΔli 2 sin ? i 2 ? BIΔhi ΔFi1 与 ΔFi 2 大小相等,方向相反,所以

ΔFi =ΔFi1 -ΔFi 2 ? 0
M i =ΔFi1 xi1 ? ΔFi 2 xi 2 ? BIΔhi ( xi1 ? xi 2 ) ? BIΔSi
O

F? ? ? ΔFi ? 0
i

M ? ? ? M i =BI ? ΔSi ? BIS
i i

?li1

? i1
xi1

Δhi

?li 2 ? i 2 xi 2
B

I
O?

b) B || en
ΔFi1 ? BIΔli1

O

ΔFi1x ? ΔFi1x sin ? i1
? BIΔli1 sin ? i1 ? BIΔhi

ΔFi 2 x ? ? BIΔli 2 sin ? i 2 ? ? BIΔhi
ΔFix =ΔFi1x +ΔFi 2 x ? 0

?li1

? i1
xi1

Δhi

?li 2 ? i 2 xi 2
B

Fx = ? ΔFix ? 0
i

同理
Fy ? 0

I
O?

F|| ? Fx i ? Fy j ? 0

由于 ΔFi1 与 ΔFi 2 与转动轴在同一平面内,力臂为零,所以

M || ? 0

B

c) B 与 en 成任意交角 B ? B? ? B|| 根据叠加原理
F ? F? ? F|| ? 0

B||

en

?

B?

M ? M ? ? M || ? B? IS ? BIS sin ?

EM-19

第29届决赛题

EM-20

2013 国 际 物 理 奥 赛


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