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湖南省2013年高中数学竞赛试题(B卷)及其解答.doc


2013 年湖南省高中数学竟赛试题 B 卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每个小题 6 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 )
2 2 1. 已知 M ? ( x, y ) y ? x ? 1, x ? R ,N ? ( x, y ) y ? ? x ? 1, x ? R , 则 M ? N ?( C )


?

?

?

?

A. ? 1?

B. ?0,1?

C. ?(0,1)?

D.1

2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?1,4] ,则在同一坐标系中函数 y ? f ( x) 的图象与直线

x ? 1 的交点个数为
A.0 3.若函数 y ? ? A. ? 6 B.1 C.2 D.0 或 1 均有可能

( B )

? x 2 ? 2( x ? 2) ?2 x( x ? 2)
B.4

,则当函数值 y ? 8 时,自变量 x 的值是 C. ? 6 或 4 D.4 或 ? 6

( D )

4. f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f (2) ? 0 , 则方程 f ( x) ? 0 在区间 (0,6) 内解的个数的最小值是 A.2 B.3 ( C ) C.4 D .5

5.函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是(C ) A. (??,2] B. [0,2] C. [1,2] D. [1,??)

6.已知实数 a , b 满足 ab ? 1 ,设 P ? 关系为 A. P ? Q B. P ? Q

1 1 a b ? ? ,Q ? ,则 P 、 Q 之间的 1? a 1? b 1? a 1? b
( B ) C. P ? Q D.无法确定 ( C ) D.以上都有可能

7.设 n 为正整数, x ? (1 ? ) , y ? (1 ? )
n

1 n

1 n

n ?1

,则
x

A. x ? y
y

x

B. x ? y
y

x

C. x ? y
y

2 8.已知 Z 为整数集,集合 A ? x x ? 3 ? ? , x ? Z , B ? x x ? 11x ? 5 ? 0, x ? Z ,

?

?

?

?

C ? x 2 x 2 ? 11x ? 10 ? 3x ? 2 , x ? Z ,则 A ? B ? CZ (C ) =
A. ?3?
2

?

?
2

( D ) D. ?3,4,5?

B. ?4?
2 2

C. ?5?
2

9.与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 4(a ? b ) ,圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 4(a ? b ) 都相切且半
2 2 2

径为 a 2 ? b2 的圆有

( C )

1

A.2 个

B.3 个

C.5 个

D.7 个 ( A )

10.设 n 为正整数,则 n ?1 ? n ? 2 ? ?? n ?100 的最小值是

A.2500 B.4950 C.5050 D.5150 二、填空题(本大题 4 个小题,每小题 6 分,共 24 分,请将正确的答案填在横线上。 ) 11.若方程 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根分别为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ?
2

2。

12.方程 1 ? x ? 12 ? x ? 5 的解为

-3



-8

a 3 ? 2013 b3 ? 2014 c 3 , abc ? 0 ,且 3 2012 13.设 2012 a 2 ? 2013 b2 ? 2014 c2 =
3

1 1 1 2012? 3 2013? 3 2014,则 ? ? ? a b c

1



14 .已知二次函数 f ( x) 满足条件 f (0) ? 1 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,则 f ( x) 的解析式为

f ( x) = x 2 ? x ? 1 。
三、解答题(本大题 5 个小题,共 66 分,要求解答有必要的过程) 15. (本小题满分 12 分) 已知 x ?

1 ? 2013 ,试求多项式 (4 x 3 ? 8x 2 ? 2008 x ? 2011 ) 2013 的值。 2 1 ? 2013 ,得 2 x ?1 ? 2013 2
2

解:由 x ?

两边平方,并整理得 4 x ? 4 x ? 2012? 0 。 又 4x ? 8x ? 2008 x ? 2011? ( x ?1)(4x ? 4x ? 2012 ) ?1 ? ?1 ,
3 2 2

所以 (4 x ? 8x ? 2008 x ? 2011 )
3 2

2013

? (?1) 2013 ? ?1。

16. (本小题满分 12 分) 设 x ? 0 , y ? 0 , 3x ? 2 y ? 6 ,试求 xy 的最大值。 解: 6 ? 3 x ? 2 y ? 2 6 xy ? xy ?

3 ( x ? 0, y ? 0) , 2

当且仅当 ?

?x ? 1 ?3x ? 2 y ? 6 ? 即? 3 时取等号。 3 x ? 2 y y ? ? ? 2 ?
3 。 2

所以 ( xy ) max ?

17. ?ABC 中, BC ? 2, AB ? AC ? 3 ,中线 AD 的长为 y , AB 的长为 x ,试建立 y 与 x

2

的函数解析式,并求其定义域。 解:依题意有 (2 AD) 2 ? BC 2 ? 2( AB2 ? AC2 ) ,即 (2 y) 2 ? 22 ? 2( x 2 ? (3 ? x) 2 ) , 整理得 y ?

x 2 ? 3x ?

7 。 2

?x ? 0 ?3 ? x ? 0 ? 1 5 ? x 满足 ? x ? y ? 1 ,解得 ? x ? 。 2 2 ?x ? 1 ? y ? ? ? y ?1 ? x
故y?

x 2 ? 3x ?

5 7 1 ( ?x? ) 。 2 2 2

18. ?ABC 的三边长分别为 BC ? 17, CA ? 18, AB ? 19 ,过 ?ABC 内的 P 点向 ?ABC 的三 条边 BC 、CA 、AB 分别作垂线段 PD 、PE 、PF , 且 BD ? CE ? AF ? 27 , 求 BD ? BF 的长度。 解:令 BD ? x, CE ? y, AF ? z ,则 x ? y ? z ? 27 ①

? x 2 ? PD2 ? (19 ? z ) 2 ? PF 2 ? 2 2 2 2 又 ? z ? PF ? (18 ? y ) ? PE ? y 2 ? PE 2 ? (17 ? x) 2 ? PD2 ?
三式相加并整理,得 17x ? 17 y ? 19z ? 487 联立①②解得 z ? x ? 1 , 所以 BD ? BF ? x ? 19 ? z ? 19 ? ( z ? x) ? 18。 19.给定两个正整数 m , n ,若正整数 k 使得存在一个以 log2 m , log2 n 和 log2 k 为边长 的三角形,我们便称 k 为“三角形好数” 。 现知恰存在 100 个三角形好数,试求 mn 的最大的可能值。 解:不妨设 m ? n ,则 log2 m ? log2 n ? k ? log2 m ? log2 n ②

?

m ? k ? mn n

又恰有 100 个三角形好数,则这些数必为 mn? 1, mn? 2, mn? 3,?, mn? 100。

m ? m n ? 100 ? ? 1 100 101 ? n 所以 ? ,即 100 ? mn(1 ? 2 ) ? 101? , ? mn ? 1 1 n ?m n ? 101? m 1? 2 1? 2 ? n n n ?
3

易知 n ? 2 时,

400 404 404 101 ? mn ? 取最大值 ,此时 。 1 3 3 3 1? 2 n

故当 m ? 67, n ? 2 时, (mn) max ? 134。

4


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