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(精华讲义)数学人教版高二-选修-圆锥曲线和方程


椭圆
1、 椭圆的第一定义: 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意:若 ( PF1

? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ;若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的

轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b 2 y x2 2).当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; a b
1).当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: 注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

x2 y 2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 。 ②两种标准方程可用一般形式表示: m n x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2 x2 y2 (1)对称性:对于椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴 a b
3、椭圆: 为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对 称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:椭圆上所有的点都位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满足 x

? a, y ? b。

(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , A2 (a,0) , a2 b2 B1 (0,?b) , B2 (0, b) 。 ③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 ? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 2c c ? 。②因为 (4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? 2a a
(a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a 2 ? c 2 越小,因 此椭圆越扁; 反之, 从而 b 越接近于 a , 这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b e 越接近于 0,c 就越接近 0, 2 2 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2 x2 y2 假设已知椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ),且已知椭 a b 2 a 圆的准线方程为 x ? ? ,试推导出下列式子:(提示:用三角 c
注意:椭圆 函数假设 P 点的坐标

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

?e

1

4、椭圆的另一个定义:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

PF1 PM1
5、椭圆

?

PF2 PM 2

?e

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 与 a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)

标准方程

图形

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c

F1 F2 ? 2c

x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程 焦半径

x??

a2 c

y??

a2 c

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

一般而言: 椭圆有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线; 椭圆都有四个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点; 离心率确定了椭圆的形状(扁圆形状),当离心率越接近于 0,椭圆越圆;当离心率越接近于 1 时,椭 圆越扁。 6.直线与椭圆的位置关系 1.将直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式 ? 来判断直线和椭圆是否相 交、相切或相离。 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之 积的形式,这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法 1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程,即设法建立 a , b 或者 e, c 中的方程组,要善于抓住条件列方程。

x2 y2 y 2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ?1 ( )或 a 2 b2 a2 b2 x2 y 2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 ( a ? b ? 0 );或者不必考虑焦点的位置,直接把椭圆的标准方程设为 m n
先定型,再定量,当焦点位置不确定时,应设椭圆的标准方程为 ( m ? 0, n ? 0, m ? n ) ,这样可以避免讨论及繁杂的计算,当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。

2

但是需要注意的是 m 和 n(或者

1 1 和 )谁代表 a 2 ,谁代表 b2 要分清。不要忘记隐含条件和方程,例如: m n

a 2 ? b2 ? c 2 , e ?

c a

等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程,切勿弄混。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析,即使画不出图形,思考时也要联想图形,注意数形 结合法的使用,切勿漏掉一种情况。 【典型例题】 1、 椭圆的定义 例 1、已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 例 2、椭圆

)

x2 y2 ? ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则⊿CDF1 的周长为______ 16 9

2、 椭圆的标准方程 例 3、已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k

)

A -1<k<1 B k>0 C k≥0 D k>1 或 k<-1 例 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10,短轴长为 6; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1); (3) 经过点(5,1),(3,2)

例 5、若⊿ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB 边上的中线长之和为 30,则⊿ABC 的重心 G 的轨迹方程为______________________

3、 离心率 例 6、椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。 a 2 b2

若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为_________ 例 7、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 4、 最值问题

x2 ? y 2 ? 1 两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,则|PF1|?|PF2|的最大值为_____,最小值为_____ 例 8、椭圆 4

例 9、椭圆 _____

x2 y2 ? ? 1 两焦点为 F1、F2,A(3,1)点 P 在椭圆上,则|PF1|+|PA|的最大值为_____,最小值为 25 16

3

5、 直线和椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,试问当 m 为何值时: 例 10、已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: 4 2
(1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长. 例 11、已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 4

【课后练习】 1、 已知直线 l:y=2x+m 与椭圆 C: 的值

x2 y2 5 15 ,求 m ? ? 1 交于 A、B 两点,求 m 的取值范围;若|AB|= 6 5 4

2、 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点,且 OA OB ? 0 ,求直线 l 的方程. 5 4

x2 y2 ? ? 1 ,过点 P(1,1) 3、 已知椭圆 ,引一弦 AB,使得 AB 被 P 平分,求 AB 的方程 20 16

4、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ, |PQ|=

10 ,求椭圆的方程。 2

4

双曲线
一、知识点讲解 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P x y F2 B2 O B1 F1 x

P 图 形 F1 A1

y O A2 F2

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 (3)双曲线的渐近线:

A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2 a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 x ? y ? 0 。 2 2 2 2

a

b

a

b

a

b

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

(4)等轴双曲线为 x ? y ? t ,其离心率为 2
2 2 2

1.注意定义中“陷阱 问题 1:已知 F 1 , F2 距离之差为 6,则双曲线的方程为 1 (?5,0), F 2 (5,0) ,一曲线上的动点 P 到 F 2.注意焦点的位置: 问题 2:双曲线的渐近线为 y ? ?

3 x ,则离心率为 2
5

【典型例题】 1.定义题:
1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心 的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相 关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.
P

y C

A

O

B

x

2. 设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△ PF1F2 的面 12
B.12 C. 12 3 D.24

积为( A. 6 3



3.如图 2 所示, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,
则P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是( A.9 B.16 C.18 D.27 )

4. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则 ?PF1 F2 a 2 b2
) (D) a ? b ? c

的内切圆的圆心的横坐标为( (A) ? a (B) ? b

(C) ? c

5. 若椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? 1 (a ? b ? 0) 有相同的焦点 F1,F2,P 是两条曲线的 ? ? 1?m ? n ? 0? 与双曲线 ? a b m n

2 2 C. m ? a

一个交点,则|PF1|?|PF2|的值是 ( A.

m?a

B.

1 ?m ? a ? 2

D.

m? a

6

2.求双曲线的标准方程
1.已知双曲线 C 与双曲线

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 的方程. 16 4

2.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程为

x 2



3.以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为_________________.

4.已知点 M (?3, 0) , N (3, 0) , B(1, 0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、 N 与圆 C 相切的两直线相交 于点 P ,则 P 点的轨迹方程为 A.x ?
2

y2 ? 1 ( x ? ?1) 8

B.x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 8

C.x ?
2

y2 ? 1(x > 0) 8

D.x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 10

3.与渐近线有关的问题
1 若双曲线 A. 2
2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( ) a2 b2
B. 3 C. 5 (
3 C. y ? ? x 2

D. 2 )
9 D. y ? ? x 4

2. 双曲线

x y ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 A. y ? ? x B. y ? ? x 3 9

3.焦点为(0,6) ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2 y2 x2 ? ?1 12 24

( )
x2 y2 ? ?1 24 12
F 1

Y

B.

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

P 2r O F 2 X

4.过点(1,3)且渐近线为 y ? ?

1 x 的双曲线方程是 2

4.几何 1.设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的 12
A. 6 3 B. 12 C. 12 3 D. 24
7

面积为(



5.求弦
1.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一弦中点为(2,1) ,则此弦所在的直线方程为 A. y ? 2 x ? 1 2.在双曲线 x ?
2





B. y ? 2 x ? 2

C. y ? 2 x ? 3

D. y ? 2 x ? 3

y2 ? 1 上,是否存在被点 M(1,1)平分的弦?如果存在,求弦所在的直线方程;如不存在, 2

请说明理由.

【课后练习】 1. 如果双曲线 (A)
4 6 3

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是( 4 2



(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

2.

已知双曲线 C∶

x2 y 2 ? ? 1(a >0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径是 a 2 b2
(B)b (C) ab
2 2 (D) a ? b

(A)a 3.
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 以双曲线 9 16
2 2 2 2 2


2 2

A x ? y ?10x ? 9 ? 0 B. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0 C. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0 D. x ? y ? 10x ? 9 ? 0 4. 以双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是(
2 2 2 2 2 2 2 2


2 2

A. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 B. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 C. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 D. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0

3a x2 y 2 5. 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲 2 a b
线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

8

x2 y2 6. 若双曲线 2 ? 2 ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2 那么则双曲线的离心率是( a b
(A)3 二、填空题 7. 过双曲线 (B)5 (C) 3 (D) 5



x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 9 16

点 B,则△AFB 的面积为_______

x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 若双曲线上存在一点 P 使 1 (?c,0), F 2 (c,0) , a b

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c
9. 过双曲线



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M , N 两点,以 MN a 2 b2

为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为______ 10. 已知点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上, 并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到双曲线两个焦点的距 16 9

离的等差中项,那么 P 点的横坐标是_________ 三、解答题

P 是半圆弧上一点, OD ? AB , ?POB ? 30? , | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, 11. 如图, 在以点 O 为圆心,
曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.

9

抛物线
知识点 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上. 知识点 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中 P(x0,y0) p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 |PF|=x0+ p 2 p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 |PF|=y0+ p 2 p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p |PF|=-y0+ 2 p? F? ?0,-2?

p |PF|=-x0+ 2

【典型例题】
例 1 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

变式练习 1.
10

(1)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是________. (2)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则|AB|等于________.

例 2、 (1)抛物线 y2=24ax(a>0)上有一点 M, 它的横坐标是 3, 它到焦点的距离是 5, 则抛物线的方程为( A.y2=8x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=20x

)

(2)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线 的距离为________.

变式练习 2.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 B.24 ) C.36 D.48

例 3 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x1)两点,且|AB| =9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值.

变式练习 3.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若|FA|=2|FB|, 求 k 的值.

【归纳总结】
11

4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结 论: 2p (1)|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 所在直线的倾斜角); sin α p2 (2)x1x2= ; 4 (3)y1y2=-p2; (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为 2p. 3 个注意点——抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是标 准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. (2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题. (3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线 与抛物线也只有一个交点. 【拓展延伸】 例 1、下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 ____________米.

【课后作业】
一、选择题 1.抛物线 x2=(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( 5 A. 2 3 B. 2 1 C.- 2 ) 3 D.- 2

2.已知抛物线 y2=4x,若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A,B 两点,O 是坐标原点,则 △OAB 的面积是( A.1 ) B.2 C.4 D.6 ) D.以上都不对

3.直线 y=x+1 截抛物线 y2=2px 所得弦长为 2 6,此抛物线方程为( A.y =2x
2

B.y =6x

2

C.y =-2x 或 y =6x

2

2

4.已知点 M(1,0),直线 l:x=-1,点 B 是 l 上的动点,过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BM 的垂直平 分线交于点 P,则点 P 的轨迹是( A.抛物线 ) C.双曲线的一支 D.直线 )

B.椭圆

5.以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 圆心的抛物线方程是( A.y=3x2 或 y=-3x2 C.y2=-9x 或 y=3x2 B.y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x

12

6.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的 面积为 4,则抛物线的方程为( A.y2=± 4x 二、填空题 7.以抛物线 x2=-4y 的顶点为圆心,焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________. 8.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点________. 9.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________. 三、解答题 1 ? 1 10.已知圆 C 过定点 F? ?-4,0?,且与直线 x=4相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l:y=k(x+1)(k∈ R)相交于 A,B 两点. (1)求曲线 E 的方程; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. ) B.y2=± 8x C.y2=4x D.y2=8x

x2 y2 3 11.若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点在椭圆 C1 的上顶点. 4 b 2 (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,又过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.

注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之差的
13

抛物线

值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.与定点和直线的距离之比为定 值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 方 标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 (a,0),

绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离 相等的点的轨迹. y2=2px

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (─a,0), (0,b) , (0,─b) F1(c,0), F2(─c,0) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

x 轴, y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0) 2

2c

(c= a 2 ? b 2 )

2c (c= a 2 ? b 2 )

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

r ? x?
2p

p 2

2b 2 a
a2 c

2b 2 a
a2 c

焦参数

P

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