tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省成都市外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷


四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1. (5 分)下面命题中正确的是() A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示. B. 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可以用方程(

y﹣y1) (x2﹣x1) =(x﹣x1) (y2﹣y1)表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程 表示

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 2. (5 分)一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)如果直线(2a+5)x+(a﹣2)y+4=0 与直线(2﹣a)x+(a+3)y﹣1=0 互相垂直, 则 a=() A.2 B . ﹣2 C.2,﹣2 D.2,0,﹣2 4. (5 分)在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现在 沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1、G2、G3 三点重合,重合后的点记为 G,那么,在四面体 S﹣EFG 中必有()

A.SG⊥△EFG 所在平面 C. GF⊥△SEF 所在平面

B. SD⊥△EFG 所在平面 D.GD⊥△SEF 所在平面

5. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为()

A.12

B.11

C. 8

D.﹣1

6. (5 分)已知点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值 为() A.a=﹣ B.a=﹣ C. D.a=﹣ 或 a=﹣

7. (5 分)如图,在正三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM⊥MN, 若侧棱长 SA= ,则正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积为()

A.9π

B.12π
2 2

C.16π

D.32π

8. (5 分)若点 P(﹣1,﹣1)在圆 x +y +4mx﹣2y+5m=0 的外部,则实数 m 的取值范围为() A.(﹣4,+∞) D.( ,1) B.(﹣∞, )∪(1,+∞) C. (﹣4, ) ∪ (1, +∞)

9. (5 分)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点,F 是侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1F∥面 A1BE,则 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是()

A.2

B.
2 2

C.

D.

10. (5 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =1 与二直线 l1:3x﹣4y﹣1=0 和 l2:4x+3y+1=0 都有 公共点,则 A.[﹣ , ] ]∪[ ,+∞) 的取值范围为() B. [ D.[﹣ , ] , ]

C. (﹣∞,﹣

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卷上) 11. (4 分)过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程为. 12. (4 分)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图) ,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为.

13. (4 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =3,直线 l:x+y﹣1=0,过点 M(3,4)作圆 C 关于直线 l 的对称圆 C′的二切线,且切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为. 14. (4 分)已知点 P 是直线 l:3x﹣4y+25=0 上的动点,若过点 P 的直线 m 与圆 O:x +y =9 相交于两点 A,B,则|PA|?|PB|的最小值为. 15. (4 分)有以下命题: ①过空间一定点 P 与两异面直线 a,b 都相交的直线有且只有 1 条; ②平面 α 外的直线 l 与平面 α 内的无数条直线平行,则 l∥α; ③异面直线 a,b 成角为 θ,过空间一定点 P 作直线 l 与 a,b 成角都为 的取值范围为( , ]; 的直线有 4 条,则 θ
2 2

2

2

④空间四边形 ABCD 中,AB=CD=8,M, N 分别是 BD,AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60°,则 MN=4. 其中正确命题有.

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点 C 的坐标;

(2)直线 BC 的方程. 17. (12 分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是 全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面 是全等的矩形的四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2. (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单 位:厘米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

18. (14 分)如图,四棱锥 V﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都 是侧棱长为 的等腰三角形. (1)求证:平面 VAC⊥平面 VBD; (2)若 M,N 分别为棱 VA,BC 的中点,求证:MN∥侧面 VCD; (3)试求(2)中的 MN 与底面 ABCD 所成角的正弦值.

19. (14 分)要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品,且使所用钢板张数最少? 20. (14 分)已知圆 M:2x +2y ﹣8x﹣8y﹣1=0 和圆 N:x +y +2x+2y﹣6=0,直线 l:x+y﹣ 9=0. (1)求过圆 M,N 的交点及原点 O 的圆的方程;
2 2 2 2

(2)过直线上一点作使∠BAC=45°,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上. ①当点 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程; ②求点 A 的横坐标的取值范围. 21. (14 分)已知△ ABC 和△ DBC 是两个有公共斜边的直角三角形,并且 AB=AD=AC=2a, CD= a. (1)若 P 是 AC 边上的一点,当△ PBD 的面积最小时,求二面角 P﹣BD﹣A 的平面角的正切 值; (2)能否找到一个球,使 A,B,C,D 都在该球面上,若不能,请说明理由;若能,求该球 的内接圆柱的表面积的最大值.

四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1. (5 分)下面命题中正确的是() A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示. B. 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y﹣y1) (x2﹣x1) =(x﹣x1) (y2﹣y1)表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程 表示

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: A、过定点 P0(x0,y0)的直线斜率不一定存在; B、方程是两点式的变形,注意两点式的适用条件 x1≠x2; C、不经过原点的直线的斜率可能存在可能不存在; D、过定点 A(0,b)的直线斜率不一定存在,同 A、C 一样要讨论. 解答: 解:A、由于直线过定点 P0(x0,y0) , 当直线斜率存在时,可用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示,

当直线斜率不存在时,方程是 x=x0,故 A 不正确; B、当 x1=x2 时,经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线方程是 x=x1, 此时满足方程(y﹣y1) (x2﹣x1)=(x﹣x1) (y2﹣y1) , 当 x1≠x2 时,经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线的斜率是 ,

则直线方程是 y﹣y1= B 正确;

(x﹣x1) ,整理得(y﹣y1) (x2﹣x1)=(x﹣x1) (y2﹣y1) ,故

C、当直线斜率不存在时,不经过原点的直线方程是 x=x0,不可以用方程 当直线的斜率存在时,可以用方程 表示,故 C 不正确;

表示,

D、当直线斜率不存在时,经过点 A(0,b)的直线方程是 x=0,不可以用方程 y=kx+b 表示, 当直线的斜率存在时,经过点 A(0,b)的直线可以用方程 y=kx+b 表示,故 D 不正确. 故答案选 B. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了直线的几种方程形式,我 们可以根据几种形式的直线方程的适用条件对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 2. (5 分)一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图的规则“长对正,宽相等,高平齐”即可判断出答案. 解答: 解:根据三视图的规则“长对正,宽相等,高平齐”可知:这个几何体的俯视图不可能 是 D,因为 D 中的长与宽不相等. 故选 D. 点评: 熟练掌握三视图的画法规则是解题的关键. 3. (5 分)如果直线(2a+5)x+(a﹣2)y+4=0 与直线(2﹣a)x+(a+3)y﹣1=0 互相垂直, 则 a=() A.2 B . ﹣2 C.2,﹣2 D.2,0,﹣2

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由垂直的充要条件可得: (2a+5) (2﹣a)+(a﹣2) (a+3)=0,解之即可. 解答: 解:由直线垂直的充要条件可得: (2a+5) (2﹣a)+(a﹣2) (a+3)=0, 2 化简可得 a =4,解之可得 a=±2 故选 C 点评: 本题考查直线方程的一般式与直线的垂直的充要条件,属基础题. 4. (5 分)在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现在 沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1、G2、G3 三点重合,重合后的点记为 G,那么,在四面体 S﹣EFG 中必有()

A.SG⊥△EFG 所在平面 C. GF⊥△SEF 所在平面

B. SD⊥△EFG 所在平面 D.GD⊥△SEF 所在平面

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据题意,在折叠过程中,始终有 SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,即 SG⊥GE,SG⊥GF, 由线面垂直的判定定理,易得 SG⊥平面 EFG,分析四个答案,即可给出正确的选择. 解答: 解:∵在折叠过程中, 始终有 SG1⊥G1E,SG3⊥G3F, 即 SG⊥GE,SG⊥GF, 所以 SG⊥平面 EFG. 故选 A. 点评: 线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所 有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由 求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有 关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.

5. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为()

A.12

B.11

C. 8

D.﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

分析: 作出题中不等式组表示的平面区域, 得如图的△ ABC 及其内部, 再将目标函数 z=3x+y 对应的直线进行平移,可得当 x=y=2 时,z=3x+y 取得最小值为 8.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(2,2) ,B( , ) ,C(3,2) 设 z=F(x,y)=3x+y,将直线 l:z=3x+y 进行平移, 当 l 经过点 A(2,2)时,目标函数 z 达到最小值 ∴z 最小值=F(2,2)=8 故选:C

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=3x+y 的最小值,着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 6. (5 分)已知点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值 为() A.a=﹣ B.a=﹣ C. D.a=﹣ 或 a=﹣

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

点到直线的距离公式. 直线与圆. 用点到直线的距离公式即可得出. 解:∵两点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等, ,化为|3a+3|=|6a+4|.

∴6a+4=±(3a+3) , 解得 故选 D. 点评: 本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 7. (5 分)如图,在正三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM⊥MN, 若侧棱长 SA= ,则正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积为()

A.9π

B.12π

C.16π

D.32π

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意推出 MN⊥平面 SAC,即 SB⊥平面 SAC,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此 三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求 出球的表面积. 解答: 解:∵三棱锥 S﹣ABC 正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴MN⊥AC 又∵MN⊥AM 而 AM∩AC=A,∴MN⊥平面 SAC 即 SB⊥平面 SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球 ∴2R= ,∴R= ,∴S=4πR =
2



故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力,三棱锥扩展为 正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 8. (5 分)若点 P(﹣1,﹣1)在圆 x +y +4mx﹣2y+5m=0 的外部,则实数 m 的取值范围为() A.(﹣4,+∞) D.( ,1) B.(﹣∞, )∪(1,+∞) C. (﹣4, ) ∪ (1, +∞)
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: 直接把点代入圆的方程的左侧,表达式大于 0,并且圆的方程表示圆,即可求出 m 的范围. 2 2 解答: 解:因为点(﹣1,﹣1)在圆 x +y +4mx﹣2y+5m=0 外, 所以 1+1﹣4m+2+5m>0,解得 m>﹣4, 又方程表示圆,则有 4+16m ﹣20m>0,解得 m>1 或 m< ,
2

则有 m>1 或﹣4<m< . 故选 C. 点评: 本题考查点与圆的位置关系,注意圆的方程表示圆的条件的应用,考查计算能力. 9. (5 分)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点,F 是侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1F∥面 A1BE,则 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是()

A.2

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 综合题. 分析: 设 G,H,I 分别为 CD、CC1、C1D1 边上的中点,根据面面平行的判定定理,可得平 面 A1BGE∥平面 B1HI,结合已知中 B1F∥面 A1BE,可得 F 落在线段 HI 上,∠B1FC1 即为 B1F 与平面 CDD1C1 所成角,求出该角正切的最大值与最小值,即可得到答案. 解答: 解:设 G,H,I 分别为 CD、CC1、C1D1 边上的中点 则 ABEG 四点共面, 且平面 A1BGE∥平面 B1HI 又∵B1F∥面 A1BE, ∴F 落在线段 HI 上, 设 HI 的中点为 J 则当 F 与 J 重合时,B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值有最大值 2 当 F 与 H 或 I 重合时,B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值有最小值 2 故 B1F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中分析出 F 落在线段 HI 上,是解答本 题的关键. 10. (5 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =1 与二直线 l1:3x﹣4y﹣1=0 和 l2:4x+3y+1=0 都有 公共点,则 A.[﹣ , ] ]∪[ ,+∞) 的取值范围为() B. [ D.[﹣ , ] , ]
2 2

C. (﹣∞,﹣

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 圆(x﹣a) +(y﹣b) =1 与二直线 l1:3x﹣4y﹣1=0 和 l2:4x+3y+1=0 都有公共点, 可得圆心 C 到直线的距离小于等于半径,即可求
2 2 2 2

的取值范围.

解答: 解:∵圆: (x﹣a) +(y﹣b) =1,圆心为 C(a,b) ,半径为 1. 2 2 ∵直线 l1:3x﹣4y﹣1=0 和圆: (x﹣a) +(y﹣b) =1 有公共点, ∴圆心 C 到直线的距离:
2

≤1,即
2

…①

∵直线 l2:4x+3y+1=0 和圆: (x﹣a) +(y﹣b) =1 有公共点, ∴圆心 C 到直线的距离: ≤1,即 …②

∴作出①②不等式组表示的平面区域如图:

∴由

得 B(



) .A(2,0) .

∴由

的几何意义可得,最大值为 kAC= ,最小值为 kAB=

=﹣





的取值范围为[﹣

, ].

故选:D. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的运用,考查学生的计算能 力, 二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卷上) 11. (4 分)过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程为 x+y﹣5=0,或 3x﹣2y=0. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题.

分析: 分直线的截距不为 0 和为 0 两种情况,用待定系数法求直线方程即可. 解答: 解:若直线的截距不为 0,可设为 直线方程为 x+y﹣5=0 若直线的截距为 0,可设为 y=kx,把 P(2,3)代入,得 3=2k,k= ,直线方程为 3x﹣2y=0 ∴所求直线方程为 x+y﹣5=0,或 3x﹣2y=0 故答案为 x+y﹣5=0,或 3x﹣2y=0 点评: 本题考查了直线方程的求法,属于直线方程中的基础题,应当掌握. 12. (4 分)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图) ,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 2+ . ,把 P(2,3)代入,得, ,a=5,

考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题. 分析: 求出直观图中, DC, BC, S 梯形 ABCD, 然后利与用平面图形与直观图形面积的比是 求出平面图形的面积. 解答: 解:DC=ABsin 45°= ,BC=ABsin 45°+AD= ) = + , +1, ,

S 梯形 ABCD= (AD+BC)DC= (2+ S= S 梯形 ABCD=2+ .

故答案为:2+ 点评: 本题考查斜二测画法,直观图与平面图形的面积的比例关系的应用,考查计算能力. 13. (4 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =3,直线 l:x+y﹣1=0,过点 M(3,4)作圆 C 关于直线 l 的对称圆 C′的二切线,且切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 2x+2y+7=0. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先求出圆 C 关于直线 l 的对称圆 C′的圆心坐标,再求出以 C′M 为直径的圆的方程, 2 2 与(x﹣3) +(y﹣4) =3 相减可得直线 AB 的方程.
2 2

解答: 解:设 C′(a,b) ,则
2 2

,∴a=﹣3,b=﹣2,

∴以 C′M 为直径的圆的方程为 x +(y﹣1) =18,

与(x﹣3) +(y﹣4) =3 相减可得 2x+2y+7=0. 故答案为:2x+2y+7=0. 点评: 本题考查直线方程,考查圆的方程,确定以 C′M 为直径的圆的方程是关键. 14. (4 分)已知点 P 是直线 l:3x﹣4y+25=0 上的动点,若过点 P 的直线 m 与圆 O:x +y =9 相交于两点 A,B,则|PA|?|PB|的最小值为 16. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 分析: 经 P 点坐圆 O 的切线 PD,D 为切点,则由切割线定理知:PD =|PA|?|PB|=OP ﹣ OD =OP ﹣9, 而由原点到直线直线 l: 3x﹣4y+25=0 的距离公式知: OPmin= 故|PA|?|PB|的最小值为 25﹣9=16. 解答: 解:由题意,如图所示,经 P 点坐圆 O 的切线 PD,D 为切点, 2 2 2 2 则由切割线定理知:PD =|PA|?|PB|=OP ﹣OD =OP ﹣9, 而由原点到直线直线 l:3x﹣4y+25=0 的距离公式知:OPmin= 故|PA|?|PB|的最小值为 25﹣9=16. 故答案为:16. =5,
2 2 2 2

2

2

=5,

点评: 本题主要考察了直线与圆的位置关系,考察了切割线定理和点到直线距离公式的应 用,属于中档题. 15. (4 分)有以下命题: ①过空间一定点 P 与两异面直线 a,b 都相交的直线有且只有 1 条; ②平面 α 外的直线 l 与平面 α 内的无数条直线平行,则 l∥α; ③异面直线 a,b 成角为 θ,过空间一定点 P 作直线 l 与 a,b 成角都为 的取值范围为( , ]; 的直线有 4 条,则 θ

④空间四边形 ABCD 中,AB=CD=8,M,N 分别是 BD,AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60°,则 MN=4.

其中正确命题有②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 本题①根据空间两条直线的位置关系,判断命题的真假,得到本题结论;②根据空 间直线与平面的位置关系,判断命题的真假,得到本题结论;③根据空间三条直线的位置关 系,判断命题的真假,得到本题结论;④根据异面直线所在的角的概念,构造三角形,计算 得到 MN 的长,从而判断命题的真假,得到本题结论. 解答: 解:①过空间一定点 P 与两异面直线 a,可以得到一个平面 α, 当直线 b∥平面 α 时,过点 P 与直线 a,b 都相交的直线不存在, 故命题①是错误的; ②由线面平行的判定,平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行. 平面 α 外的直线 l 与平面 α 内的无数条直线平行,显然有 l∥α, 、 故命题②正确; ③∵异面直线 a,b 成角为 θ,过空间一定点 P 作直线 l 与 a,b 成角都为 ∴过空间一定点 P 作直线 a′∥a,b′∥b. 则直线 a′与 b′相交形成 4 个角,大小分别为 θ,π﹣θ,θ,π﹣θ. ∵过空间一定点 P 作直线 l 与 a,b 成角都为 的直线有 4 条, 的直线有 4 条,





∴ 又∵



∴θ 的取值范围为(



];

故命题③正确; ④空间四边形 ABCD 中,AB=CD=8,M,N 分别是 BD,AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60°, 取 BC 中点 P,连结 PM、PN, ∴PM∥AB,PN∥BC, =4,PN= ,

∵若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60°, ∴∠MPN=60°或∠MPN=120°, ∴MN=4 或 . 故命题④不正确. 综上,正确的命题有②③. 故答案为:②③.

点评: 本题考查了命题真假的判断,还考查了空间直线与直线的位置关系、空间直线 与平 面的位置关系,本题难度适中,属于中档题. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设 C(m,n) ,利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即 可得出; (2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 解答: 解: (1)设 C(m,n) , ∵AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y ﹣5=0.



,解得



∴C(4,3) . (2)设 B(a,b) ,则 ∴B(﹣1,﹣3) . ∴kBC= = ,解得 .

∴直线 BC 的方程为 y﹣3= (x﹣4) ,化为 6x﹣5y﹣9=0. 点评: 本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、 点斜式,考查了计算能力,属于基础题. 17. (12 分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是 全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面 是全等的矩形的四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2. (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单 位:厘米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)依题意易证 AC⊥B1D1,AA2⊥B1D1,由线面垂直的判定定理可证直线 B1D1⊥ 平面 ACC2A2; (2) 需计算上面四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的表面积 (除去下底面的面积) S1 , 四棱台 A1B1C1D1 ﹣ABCD 的表面积(除去下底面的面积)S2 即可. 解答: 解: (1)∵四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的侧面是全等的矩形, ∴AA2⊥AB,AA2⊥AD,又 AB∩AD=A, ∴AA2⊥平面 ABCD.连接 BD, ∵BD?平面 ABCD, ∴AA2⊥BD,又底面 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,根据棱台的定义可知,BD 与 B1D1 共面, 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,且平面 BB1D1D∩平面 ABCD=BD,平面 BB1D1D∩平面 A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥BD,于是由 AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得 AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1,又 AA2∩AC=A, ∴B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)∵四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形, ∴S1=S 四棱柱下底面+S 四棱柱侧面 =
2

+4AB?AA2

=10 +4×10×30 2 =1300(cm ) 又∵四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD 上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, ∴S2=S 四棱柱下底面+S 四棱台侧面 =
2

+4× (AB+A1B1)?h 等腰梯形的高

=20 +4× (10+20)? =1120(cm ) , 2 于是该实心零部件的表面积 S=S1+S2=1300+1120=2420(cm ) ,
2

故所需加工处理费 0.2S=0.2×2420=484 元. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱、棱台的侧面积和表面积,着重考查分 析转化与运算能力,属于中档题. 18. (14 分)如图,四棱锥 V﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都 是侧棱长为 的等腰三角形. (1)求证:平面 VAC⊥平面 VBD; (2)若 M,N 分别为棱 VA,BC 的中点,求证:MN∥侧面 VCD; (3)试求(2)中的 MN 与底面 ABCD 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据平面与平面垂直的判定定理证明即可; (2)根据线面平行的判定证明即可; (3)先找过 M 与平面 ABCD 垂直的直线,然后找线面角进而求解. 解答: (1)证明:如图(图 1)连接 AC,BD 且设 AC∩BD=O,连接 VO ∵ABCD 是正方形, 则 AC⊥BD,且 O 是 AC、BD 之中点, 又由已知有 VA=VB=VC=VD, 则有 VO⊥BD,VO⊥AC 而 VO,AC?平面 VAC 且 VO∩AC=O, 则 BD⊥平面 VAC, 又 BD?平面 VBD, 则平面 VAC⊥平面 VBD (2)如图 2,取侧棱 VD 之中点 E,连接 ME,CE, ∵M,N 分别为棱 VA,BC 的中点,且底面 ABCD 是正方形 ∴ME∥NC,且 ME=NC, 则 MNCE 是平行四边形 则 MN∥EC,又 MN?侧面 VCD,CE?平面 VCD ∴MN∥侧面 VCD (3)如图 3,过点 M 作 MH⊥AC 垂足 H,连接 HN 由(1)知 VO⊥底面 ABCD,且 VO?平面 VAC, 则平面 VAC⊥底面 ABCD, 则 MH⊥底面 ABCD, ∴∠MNH 为 MN 与底面 ABCD 所成角 由(2)知 MN=CE,而由 E 为 VD 之中点,且 得 ,

又在△ VAC 中可得 则 在 Rt△ MNH 中,

,而 M 是 VA 之中点,

, .

即 MN 底面 ABCD 所成角的正弦值为

点评: 本题主要考查面面垂直、线面平行的判定与性质,线面所成角的求法. 19. (14 分)要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品,且使所用钢板张数最少? 考点: 简单线性规划. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: 根据条件设第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,钢板总数 z 张,建立约束条件和目标 函数,利用线性规划的知识进行求解即可.

解答: 解:设需要第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,钢板总数 z 张,则



标函数 z=x+y 作出可行域如图所示,作出直线 x+y=0.作出一组平行直线 x+y=t(其中 t 为参数) . 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线, 经过直线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 由于 和 ,直线方程为 .

都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数, 不是最优解.

所以,可行域内点

经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点) ,且与原点距离最近的直线是 x+y=12.

经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8) ,它们是最优解. 故要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是 截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两 种方法都最少要截两种钢板共 12 张.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用条件建立约束条件和目标函数,利用目标函数 的几何意义求最优解,考查学生解决应用问题的能力. 20. (14 分)已知圆 M:2x +2y ﹣8x﹣8y﹣1=0 和圆 N:x +y +2x+2y﹣6=0,直线 l:x+y﹣ 9=0. (1)求过圆 M,N 的交点及原点 O 的圆的方程; (2)过直线上一点作使∠BAC=45°,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上. ①当点 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程; ②求点 A 的横坐标的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 根据题意, 设所求圆的方程为 2x +2y ﹣8x﹣8y﹣1+λ (x +y +2x+2y﹣6) =0 (λ≠ ﹣2) ,把原点代入即可得出. (2) )①当点 A 的横坐标为 4 时,则点 A(4,5) ,而圆心 M(2,2) ,可得 ,又 ∠BAC=45°,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上,圆心 M 到边 AC 所在直线的距离为 , 设边 AC 所在直线的方程为 y﹣5=k (x﹣4) , 利用 解得 k 即可. ②A 点在直线 l: x+y﹣9=0 上, 设点 A (m, 9﹣m) , 则 边 AB 过圆心 M, 且 B, C 在圆 M 上, 且圆 M 的半径为 , 可得 , 而∠BAC=45°, , ,
2 2 2 2 2 2 2 2

解得即可. 2 2 2 2 解答: 解: (1)根据题意,设所求圆的方程为 2x +2y ﹣8x﹣8y﹣1+λ(x +y +2x+2y﹣6) =0(λ≠﹣2) , 又所求圆过原点 O,则﹣1﹣6λ=0,得

所求圆的方程为

,即

(2)①当点 A 的横坐标为 4 时,则点 A(4,5) ,而圆心 M(2,2) ,则 又∠BAC=45°,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上, 则圆心 M 到边 AC 所在直线的距离为 设边 AC 所在直线的方程为 y﹣5=k(x﹣4) , ∴ ,解得 k=﹣5 或 . ,



则边 AC 所在直线的方程为 y﹣5=﹣5(x﹣4)或 即 5x+y﹣25=0 或 x﹣5y+21=0. ②∵A 点在直线 l:x+y﹣9=0 上,设点 A(m,9﹣m) ,则



, ,

而∠BAC=45°,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上,且圆 M 的半径为 则 ,解得 3≤m≤6.

即点 A 的横坐标的取值范围为[3,6]. 点评: 本题考查了直线与圆的相交问题、圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分)已知△ ABC 和△ DBC 是两个有公共斜边的直角三角形,并且 AB=AD=AC=2a, CD= a. (1)若 P 是 AC 边上的一点,当△ PBD 的面积最小时,求二面角 P﹣BD﹣A 的平面角的正切 值; (2)能否找到一个球,使 A,B,C,D 都在该球面上,若不能,请说明理由;若能,求该球 的内接圆柱的表面积的最大值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

分析: (1)取 BC 之中点为 O,连接 AO,DO,由已知得 AO⊥BC,AB⊥AC,AO⊥DO, 从而 AO⊥平面 BCD,作 PH⊥BC 于 H,HE⊥BD 于 E,连 PE,则∠PEH 是二面角 P﹣BD﹣ C 的平面角,由此能求出二面角 P﹣BD﹣A 的平面角的正切值. (2)取 BC 中点 O,则 OA=OB=OC=OD,存在以 O 为球心,半径 的球,由此能求出 球的内接圆柱的表面积的最大值. 解答: 解: (1)取 BC 之中点为 O,连接 AO,DO, ∵AB=AC=AD=2a 则 AO⊥BC,又 AB⊥AC,则 在△ BCD 中,∵ , 则 ,且
2 2 2






2

在△ OAD 中,∵AO +DO =4a =AD ,则 AO⊥DO, 又 BC∩DO=O,且 BC,DO?平面 BCD,则 AO⊥平面 BCD 作 PH⊥BC 于 H,HE⊥BD 于 E,连 PE, PH⊥平面 BCD,PH⊥HE,得 PE⊥BD, 则∠PEH 是二面角 P﹣BD﹣C 的平面角, 设 PH=x=CH,∴ ∴ , ,

∴ , ∵ 此时 ,∴ 时,S△ PBD 最小, ,则 ,

过点 O 做 OF⊥BD 于 F,连接 AF,得 AF⊥BD, 则∠AFO 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, 因 O 为 BC 之中点,且 则 , , ,

设二面角 P﹣BD﹣A 的平面角为 θ,则 θ=∠AFO﹣∠PEH, ,即二面角 P﹣BD﹣A 的平面角的正切值为 (2)取 BC 中点 O, ∵△ABC 和△ DBC 是两个有公共斜边 BC 的直角三角形, 则 OA=OB=OC=OD, 则存在以 O 为球心,半径 的球, 设该球的内接圆柱的底面半径为 x,高为 y, 则有 .





所以该球的内接圆柱的表面积的最大值为



点评: 本题考查二面角 P﹣BD﹣A 的平面角的正切值的求法,考查球的内接圆柱的表面积 的最大值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.


推荐相关:

四川省成都市外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

求该球 的内接圆柱的表面积的最大值. 四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 12 个小题,每...


四川省成都市外国语学校2014-2015学年高二上学期期中

求该球 的内接圆柱的表面积的最大值. 四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 12 个小题,每...


四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷_数学_高中教育_教育专区。四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期中数学试 卷一.选择题...


四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期中数学试...


四川省成都外国语学校2014-2015学年高二数学上学期期中试题

四川省成都外国语学校2014-2015学年高二数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。成都外国语学校高 2016 届第三学期半期考试 数学试题注意事项: 1、本堂考试 ...


四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

四川省乐山外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有...


四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

四川省乐山外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有...


四川省成都外国语学校2014-2015学年高一数学上学期期中试题

四川省成都外国语学校2014-2015学年高一数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。成都外国语学校 2014—2015 学年度上期期中考试 高一数学试卷注意事项: 1、本...


2014--2015成都嘉祥外国语学校五年级上期期中数学试卷及详解

2014-2015 学年四川省成都市嘉祥外国语学校 五年级(上)期中数学试卷 一、我会填. (每空 1 分,共 30 分) 1. (4 分) 是 又不是合数. 既是质数,又是...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com