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人教版高中数学课件 第二册:空间向量的坐标运算(2)(3)


z

——空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算.
i

a

A(x,y,z)

k
O j y

x

复习提问:
1、设 A ? x1 , y 1 , z 1 ?, B ? x 2 , y 2 , z 2 ?

/>B

a

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ? ? OB ? OA
2、设 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ?, b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?

A

a ? b,

?a ,

a ?b,

a // b ,

a ?b

3、①

P 为 AB 的中点
OP ? 1 2
1 3

?OA ? OB ?
?OA ? OB ? OC ?

②G为△ABC的重心
OG ?

③ P 分 AB 所成的比为 ? 即 AP ? ? PB
OP ? OA ? ? OB 1? ?

练习1、
?1 ?与 a

? ? 2 , ? 1, 2 ?共线 , 且满足 a ? z ? ? 18 的 z ? ? 1 8 ? ? 2 ? A ?1, 2 ,1 ?, B ? ? 1,3 , 4 ?, AP ? 2 PB , 则 OP ? ? ? , ,3 ? ? 3 3 ? ?3 ?三点 A ?1,5 , ? 2 ?, B ? 2 , 4 ,1 ?, C ? p ,3 , q ?共线,则 p ?

?? 4,2,?4?

3

q ?

4

(4)已知P(2,-1,3)为AB中点且A(0,4,7)求B (5)已知△ABC中,A(2,0,1),B(3,5,-2),重心 G(1,3,5),求顶点C坐标 (6) ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5)求D

一、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式
? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), 则

? ? ? 2 2 2 2 | a | ? a ? a ? a1 ? a 2 ? a 3
? ? ? 2 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b 2 ? b 3

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A ( x 1 , y1 , z1 ) 、
B ( x2 , y2 , z2 )

,则

AB ? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

d A, B ?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a ?b ? ? co s ? a , b ? ? ? |a |?|b |

a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ? a2 ? a3 ? b ? b2 ? b3
2 1 2 2 2 1 2 2

;

注意:

? ? (1)当 cos ? a , b ? ? 1

(2)当

? cos ? a

? (3)当co s ? a

? ? 时, 与 b 同向; a ? ? ? , b ? ? ? 1 时, 与 b 反向; a ? ? ? , b ? ? 0 时,a ? b 。

练习2、P42 1~3

例1

已知 A(3 , 3 , 1)、B(1 , 0 , 5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A 、B两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的坐标 x , y , z 满足的条件

练习3、P42 4(1) 习题 8

二、空间向量的应用
(1) a ?
AB ?

a1 ? a 2 ? a 3
2

2

2

2

(求线段的长)
2 2

? x1 ? x 2 ?

? ? y1 ? y 2 ? ? ? z1 ? z 2 ?

(2)a ? b ? a ? b ? 0 (3) cos a , b ?
a ?b a ?b

(证明线线垂直) (求线线夹角)

例2 在正方体ABCD ? A B C D 中,E , F 分别是
1 1 1 1

BB1 , CD的中点.求证 : D1F ? 平面ADE.

z

D1 A1

C1 B1

D
A
x

E

F
B

C

y

例3、如图,在正方体
中,B1 E1 ? D1 F1 ? 成的角的余弦值
1 4

ABCD ? A1 B1C1 D1

A1 B1 ,求 DF1 与 BE1 所

z
D1 F1 C1 E1 B1

A1

练习4、P39 10 P42 5
x
A

D

C

y

B

例4.已知点P是平行四边形ABCD所在平 ??? ? ????
A 面外一点, B ? ( 2, ? 1, ? 4 )

A D ? (4, 2, 0)

如果

??? ? A P ? ( ? 1, 2, ? 1) ,

(1)求平面 ABCD 的一个法向量;
??? ? (2)求证:A P

是平面ABCD的法向量;

(3)求平行四边形ABCD的面积.

课堂小结
1.基本知识:

(1)向量的长度公式与两点间的距离公式;
(2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法: 用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系,

(2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明。

在棱长为1的正方体 1、

作业
A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,E,F分别是

DD1, DB中点,G在棱CD上,CG= 1 CD ,H是C1G的中点,

(1)求证: E F ? B1C (3)求FH的长



4

z D1 B1 C1

(2)求EF与C1G所成的角的余弦;
A1

E

H

(4)求平面EFH的一个法向量 (用空间向量法解决以上问题)
D F G B C y

2、《名师》 P71 变式探究x

A

例1.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
D(10,14,17) 共面

练习3 9.在正方体ABCD-A1 B1C1D1中,E , F 分
别是BB1 , D1 B1的中点, 求证EF ? DA1. 证明: 建立空间直角坐标系O-xyz D1 z C1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
1? ? ?1 E ? 1,1, ? , F ? 2? ? ?2 ???? ? ? DA1 ? (1, 0,1).
? , ,1 ? 2 ? 1
F

A1
D A

B1 E

y
C

1 1? ? 1 ? EF ? DA 1 ? ? ? , ? , ? ? ?1, 01 ? ? 0 2 2? ? 2

1 1? ? 1 EF ? ? ? , ? , ? 2 2? ? 2

x

B

??? ? ???? ? ? EF ? DA1 ,

即EF ? DA1.

10.已知正方体ABCD-A1 B1C1D1 , 练习4
求证DB1 ? 平面ACD1.
D1
1

z
C1 B1

证明: 建立如图空间直角坐标系 A

则 D (0,0,0),B 1(1,1,1) A A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0), x

y
D B C

? DB 1 ? (1,1,1), AD ? ( ? 1, 01 ), CD ? ( 0 , ? 1,1) ???? ???? ? ? DB1 ? AD1 ? (1,1,1) ? (?1, 0,1) ? 0, ???? ???? ? ? DB1 ? CD1 ? (1,1,1) ? (0, ?1,1) ? 0,
? AD 1 ? DB 1 , AC ? DB 1
? DB 1 ? 平面 ACD
1

又AD1 ? AC ? A,

9.在正方体ABCD-A1 B1C1 D1中,E , F 分 练习3

? 证明: ???

别是BB1 , D1 B1的中点, 求证EF ? DA1.

B1 ???? ????? ? ???? ??? A1 ? 1 1 ? ( BB1 ? B1 D1 ) ? ( AA1 ? BD) E D 2 ? ???? C ??? 2 ???? 1 ???? ??? ? ? ? EF ? DA1 ? ( AA1 ? BD) ? DA1 ??? A ???? B ? ? 2? ? EF ? DA1 , ???? ???? ??? ???? ? ? 1 ? ( AA1 ? DA1 ? BD ? DA1 ) 即EF ? DA1. 2

???? ???? ? EF ? EB1 ? B1F

D1 F

C1

???? ? ??? ? ???? ? 1 ????? 0 0 ? (| AA1 | ? | DA1 | cos 45 ? | BD | ? | DA1 | cos120 ) ? 0 2

练习4 10.已知正方体ABCD
-A1 B1C1 D1 ,求证DB1 ? 平面ACD1.
A1

D1 B1 D A B

C1

证明:

DB 1 ? DA ? DC ? DD 1,AC ? DC ? DA AD 1 ? DD 1 ? DA

C

? DB 1 ? AC ? ( DA ? DC ? DD 1 )?( DC ? DA ) ? 0 ? DB 1 ? AD 1 ? ( DA ? DC ? DD 1 )?( DD 1 ? DA ) ? 0

???? ???? ??? ? ? ? ???? ? ? AD1 ? DB1 , AC ? DB1.

又AD1 ? AC ? A,

???? ? ? DB1 ? 平面ACD1.


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